问题驱动 自主建构 促进生长

周红亚

［摘  要］ “铅垂高”这一数学模型在生产与生活中有着重要的应用，具有广泛的研究价值. 研究者以生长数学理念为指引，结合教学实际精心设计指向深度学习的问题链，让学生在问题的驱动下自主建构“铅垂高”这一数学模型，并提供机会让学生灵活应用该模型解决不同背景的实际问题，促进学生思维生长，提高学生的学习品质.

［关键词］ 问题链；思维生长；深度学习；铅垂高

教学立意

1. 价值立意

“铅垂高”这一概念虽然在教材中没有出现，但是其在解决问题的过程中经常出现，是解决某些数学问题的重要工具，具有一定的探究意义. 在教学中，教师若仅将“铅垂高”作为数学模型让学生简单套用，则学生的学只能停留于模仿和套用上，很难体现其教学价值，难以引发有深度的学习. 为了改变这一局面，教师应设计有效的问题情境，让学生在问题的驱动下主动构建“铅垂高”这一实用型工具，以此让学生通过经历数学模型的建构过程，深化对知识的理解，提高数学应用水平，落实数学素养.

为了引导学生经历“铅垂高”这一数学模型的建构过程，教师应设计生长路径明显的数学问题，帮助学生深入理解这一数学模型的基本特征及现实意义，同时通过多场景、多角度、多层次的探索帮助学生了解不同问题的区别与联系，揭示问题的本质. 另外，教师应创设一些独立思考和合作交流的时间和空间，帮助学生更好地发现问题、提出问题、拓展问题、感悟问题，运用问题促进学生思维生长，提升学生的综合学力.

2. 教学方法

对于“铅垂高”，其最初形态为“绝对值”，然后是“平面直角坐标系”，其广泛应用于解斜三角形面积的问题中. 在学习过程中，应引导学生追根溯源，让学生在知识发现、发展和应用过程中深刻理解知识，提升学生发现、分析和解决问题的能力. 基于以上内容的逻辑分析，教学中可以专题的方式展开，让学生在任务的驱动下主动思考、主动交流、主动建构，通过运用任务驱动、分析讨论等多种“以生为主”的教学活动的开展，培养学生自主学习能力，让学生学会合作、学会学习.

教学过程

1. 专题复习，建立逻辑关联

例1  如图1，请指出A，B，C，D各点分别表示的数，计算两点间的距离，并说一说你的计算过程.

例2  如图2，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D各点的坐标是什么？请分别求出线段AB，CD，AD，BC的长度，并说一说你的计算过程.

师生活动：例题给出后，教师让学生独立思考，然后点名让基础较为薄弱的学生呈现计算结果及解题过程. 从学生反馈来看，学生能够灵活运用绝对值和平面直角坐标系中平行于坐标轴的两点之间距离的表示方式写出两点之间的距离.

设计意图  通过上述两个例题的设计，了解学生对已有知识的掌握情况，并结合学生的实际反馈进行有效的指导，以此扫清知识障碍，感悟知识间的逻辑联系，为接下来探究“铅垂高”这一数学模型做铺垫.

2. 问题变式，深化“铅垂高”的理解

问题场景：已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，3）.

问题1  如图3，点P为抛物线上一动点，且仅在直线BC的上方运动，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，设点P的横坐标为m，求线段PD的长（用含m的代数式表示）.

问题2  如图4，点P为抛物线上一动点，且仅在直线BC的下方运动，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，设点P的横坐标为m，求线段PD的长（用含m的代数式表示）.

问题3  点P为抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，设点P的横坐标为m，求线段PD的长（用含m的代数式表示）.

师生活动：上述三个问题难度不大，教师先让学生独立完成，然后以小组为单位让学生交流探究结果，最后对学生的探究结果进行点评、归纳. 当然，一些基础较为薄弱的学生面对动点问题时容易产生畏难情绪，基于此，教师要及时启发和指导，并鼓励学生进行互动交流，以此通过相互启发、相互帮扶消除学生的畏难情绪，提高学生学习信心.

设计意图  上述三个问题构成了一个变式题组，审视题目不难看出，点P的位置虽然不同，但是其结构相同，以此通过“变与不变”加深对“铅垂高”表示方法的理解. 三个问题逐层呈现，逐层递进，让学生在探究中体会“铅垂高”表示上的细微区别，使学生的思维自然生长，为接下来引出三角形面积问题做好铺垫.

3. 问题驱动，促进思维生长

问题4  通过前面问题的探究，大家对“铅垂高”这一模型已经有了一定的了解，你能说一说“铅垂高”可以解决哪些问题吗？

问题5  请设计几个利用“铅垂高”求三角形面积的问题.

结合已有经验易知，“铅垂高”是解决三角形面积问题的重要工具. 在教学中，教师没有直接呈现相关的三角形面积问题让学生求解，而是将题目设计主动权交给学生，让学生以上述问题场景为背景，设计对应的求三角形面积的问题，让学生在设计问题的过程中体会“铅垂高”的工具意义，提高学生学习的积极性. 在教师的启发和引导下，在原有问题的基础上学生设计了如下对应的三角形面积问题.

问题6  如图5，点P为抛物线y= -x2+2x+3上一动点，且仅在直线BC的上方运动，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，连接PC，PB，设点P的横坐标为m，求△PBC的面积（用含m的代数式表示）.

问题7  如图6，点P为抛物线y= -x2+2x+3上一动点，且仅在直线BC的下方运动，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，连接PC，PB，设点P的横坐标为m，求△PBC的面积（用含m的代数式表示）.

问题8  已知点P为抛物线y=-x2+2x+3上一动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，连接PC，PB，设点P的横坐标为m，求△PBC的面积（用含m的代数式表示）.

师生活动：在教师的引导下，学生改编原有问题——将求线段的问题改编为求三角形面积的问题. 教师整理并投影展示上述三个问题，然后预留时间让学生以小组合作的方式解决问题. 在解题过程中，有些小组遇到了障碍，教师启发学生将一个三角形的面积转化为两个三角形面积的和或差，这样各个小组便顺利地解决了问题. 解题后，教师预留时间让学生对解题过程进行对比分析，进而揭示问题的本质，让学生掌握解决此类问题的通法.

设计意图  此环节引导学生将线段问题转化为三角形面积问题，使数形结合更加紧密. 对于上述三个问题（问题6、问题7、问题8），无论点P在何位置，△PBC的面积最终都可以转化为线段OB与线段PD的乘积的一半，而这里的OB为定值，因此解题关键就是求线段PD的长. 分析至此，问题迎刃可解. 这样以不同背景为依托，让学生感受“铅垂高”在解决此类斜三角形问题中的妙用，提高学生学习积极性.

问题9  以上各题所研究的均为过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，然后用点P的横坐标来表示PD的长. 如果将问题“变一变”，如图7，过点P作PE⊥BC，垂足为E，那么此时线段PE的长是否依然可以用点P的横坐标来表示呢？

问题10  在问题9的基础上，用点P的横坐标还可以表示什么呢？能否表示△PDE的周长和面积呢？

设计意图  通过以上问题的解决，让学生发现“斜高”与“铅垂高”同根而生，紧密联系. 这样由平行到垂直，引导学生将相关知识进行合理的串联，拓宽学生的视野.

问题11  如图8，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP，交线段BC于点Q，设点P的横坐标为m，求（用含m的代数式表示）.

问题12  如图9，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接OP，交线段BC于点Q，连接PC，记△PCQ的面积为S，△OCQ的面积为S，设点P的横坐标为m，求（用含m的代数式表示）.

设计意图  上述两个问题有一定难度，教师可以启发学生联想相似三角形和“等高”模型，引导学生用线段PD加以 表示，让学生进一步感知“铅垂高”在解决三角形面积问题中的价值. 解题后，教师应有意识地引导学生总结归纳解题过程，让学生发现上述问题虽然形式不同，但是其求解方法前后一致，以此在深化知识理解的同时，提高学生举一反三的能力.

在教学过程中，教师可以根据实际学情确定是否继续进行拓展延伸. 若学生通过独立思考和合作交流能够顺利解决以上问题，教师还可以继续拓展，延伸出定值，如问题1到问题3，若PD=2，求点P的坐标；又如问题6到问题8，若△PBC的面积为定值2，求点P的坐标；抑或在问题9的基础上，给出PE的长为2，求点P的坐标；对于问题11，不妨给出=1，求点P的坐标. 当然还可以将问题推广为求最值的问题，如点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，PD，S，PE，，是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 这样引导学生从不同角度分析与探究问题本质，既有利于知识的深化，又能帮助学生积累丰富的活动经验，促进学生数学思维的生长.

4. 体验感悟，促进知识的升华

在数学教学中，若想让学生学会学习，仅仅靠讲授和练习是不够的，还要预留时间让学生进行反思与感悟. 在本节课教学中，教师从学生最近发展区出发，结合学生实际学情设计问题链，使学生在问题链的驱动下掌握了核心的基础知识，锻炼了学生的解题技能. 同时通过有效的归纳总结让学生体会许多看似不同的问题，其解题方法却有异曲同工之妙，以此激发学生学习数学的积极性. 在归纳总结环节中，教师又设计了如下问题引导学生回头看.

（1）本节课我们主要复习了哪些内容？

（2）通过以上问题的解决，你有何发现？问题最后落在了何处？

（3）解决问题的过程中运用了哪些数学思想方法和策略？

设计意图  反思与回顾是课堂教学的重要一环，是完善认知、内化能力的主要途径. 该环节若仅预留时间让学生总结归纳而不进行有效的指导，可能难以达到预期. 基于此，教师结合教学内容及教学目标精心设计问题，让学生在问题的引领下积极思考、积极交流，以此理清知识的来龙去脉，逐步建立完善的认知结构，提升分析和解决问题的能力.

教学反思

复习课不仅要让学生知道知识和方法从哪里来，还要让学生知道知识和方法到哪里去，在脑海中形成清晰的知识脉络，以便学生能够灵活应用相关知识解决问题. 在本节课教学中，教师精心设计问题链，引导学生回顾“绝对值”和“平面直角坐标系”相关内容，让学生感悟知识间的逻辑联系. 在此基础上引出“铅垂高”的应用，以此通过对问题的深入探究建构起知识与方法的“前世今生”，逐步形成完整的知识结构，提高学生的数学应用水平. 因此，在复习教学中，教师应重视合理地引入问题链，充分发挥问题在诱发学生思考，启迪学生智慧，优化学生认知结构等方面的价值，提高复习教学有效性. 为了充分发挥问题链的积极作用，教师在设计问题链时应重视以下几点.

1. 问题设计应体现生长

在传统复习教学中，为了实现“多讲多练”的教学目标，部分教师在复习课堂的选题上呈现出一定的随意性，使课堂上出现了一些重复题或无太大关联的问题，而重复的练习容易造成思维疲劳，而关联不大的问题会影响思维的自然生长，这样的复习课堂看似丰富多彩，其实学生的收获甚微，影响复习效果. 因此，教师在设计问题链时，应注意问题的梯度性和生长性，使学生的思维潜移默化地发散和生长. 在本节课教学中，教师引导学生用点P的横坐标表示“铅垂高”PD后，还可以让学生思考若PD为确定值时，点P的坐标是什么？在此基础上进一步延伸，让学生思考“铅垂高”是否存在最值，以此通过有效的拓展延伸，让学生的思维自然生长.

2. 问题设计应回归本原

在本节课教学中，教师从不同角度引导学生发现、提出问题，并引导学生利用不同方法解决问题，以此通过多角度分析和全方位探讨让学生对如何应用“铅垂高”处理三角形面积问题了然于心. 如求PD的长和△PBC的面积，点P的位置虽然不同，但是其构造方式相同，解题思路相同，应用的数学思想方法也相同，这样通过全方位探讨让学生对“铅垂高”的理解更加透彻，促进学生深入思考，提高学生分析和解决问题的能力.

总之，在复习教学中，教师应精心选题，合理设置问题链，有意识地呈现知识的“前世今生”，以此让学生全方位地理解知识，建构完善的知识体系，提高课堂教学有效性.