问题突破过程及解后反思的教学建议

李美兰

［摘  要］ 二次函数与几何题的探究过程，建议分成三个阶段，教师引导学生完成“过程探究—解后反思—拓展强化”，通过解题指导，让学生掌握类型题的分析思路、解题方法. 研究者从问题综述，设计阶段性教学环节；示例探究，实施解题过程；解后反思，挖掘题型特征；拓展探究，深化解题体验等方面进行阐述，并提出相应的教学建议.

［关键词］ 二次函数；几何；三角函数；面积；数形结合

问题综述

二次函数与几何综合在中考中十分常见，问题涉及众多的知识考点，如二次函数的性质，几何性质、面积模型、三角函数等. 该类问题常作为压轴题综合考查学生对知识的理解和处理问题的能力.

解题教学中，建议分三个阶段实施，引导学生探究问题、总结方法、拓展变式，体验解题过程，培养解题思维.

阶段一：解题过程探究，分步引导突破. 该阶段精选典型问题，引导学生分析问题，体验思路构建，初步感知问题.

阶段二：解后反思问题，总结类型题解法. 该阶段需要引导学生对问题特征、解法深入反思，总结解题思路，形成相应的解题策略.

阶段三：进行拓展引导，提升思维品质. 该阶段引导学生拓展探究，进一步结合相关问题进行强化练习，培养学生的数学思维.

示例探究

1. 问题呈现

问题：已知抛物线y=x2-2x+m的顶点A位于x轴上，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若=，求△COD的面积；

（3）如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得tan∠PCO=2，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

2. 分步突破

本题目为二次函数与几何相结合的综合题，涉及了抛物线、直线、三角形等几何要素，融合了二次函数、一次函数、三角函数等相关知识. 题设三问，各自独立又存在一定的联系，解析时建议采用分步突破的策略，结合题设条件逐步深入.

第一步：交点分析，联立求解

第（1）问求解抛物线的解析式，根据条件可知抛物线的顶点位于x轴上，可推知其图象与x轴仅有一个交点，即Δ=0，可得b2-4ac=（-2）2-4×1×m=0，解得m=1，所以抛物线的解析式为y=x2-2x+1.

第二步：比值条件转化，面积模型构建

第（2）问为设定平行线，以及线段比值条件，求解三角形的面积，需要转化条件，构建面积模型，具体如下.

去除其中的抛物线，提取关键线段，如图3所示. 根据题意可知OA=OB=1，可推知△AOB是等腰直角三角形. 以CD为斜边作等腰直角三角形DEC，由于CD=3AB=3，则DE=CE=3.

设C（t，t2-2t+1），则D（t-3，t2-2t+4），由于点D在抛物线上，则（t-3）2-2（t-3）+1=t2-2t+4，可解得t=2. 当t=2时，y=22-2×2+1=1，可求得点C（2，1），D（-1，4）.

延长DE交x轴于点G，作CF⊥x轴于点F，如图3中的虚线. 采用面积割补拼接法求△COD的面积，可将其表示为S=S-S-S，分步求其面积，则S=S-S-S=×（1+4）×3-×2×1-×1×4=，所以△COD的面积为.

第三步：假设验证存在，相似构建推导

第（3）问是关于点的存在性问题，涉及了三角函数知识，可采用“假设—验证”的思路，提取其中的特殊模型，转化求解，具体如下.

假设存在满足条件的点P，去除非相关图象，作直角三角形COE，使∠COE=90°，作CG⊥x轴于点G，作EF⊥x轴于点F，如图4所示.

点C（2，1），则OG=2，CG=1，所以tan∠OCG=2，可得∠OCG=∠EOF，从而可证△COG∽△OEF，由相似性质可知===2，由于OC=，可推得OE=2，OF=2，EF=4，所以点E的坐标为（-2，4），利用待定系数法可求得CE的解析式为y=-x+. 联立直线与抛物线解析式求交点，即x2-2x+1=-x+，可得x=2（舍去），x=-. 当x=-时，y=-2-2×

-+1=，所以点P的坐标为-

，

.

解后反思

上述对一道二次函数与几何综合题开展过程探究，挖掘问题特征，结合核心条件开展分步突破. 其中后两问为核心之问，属于典型问题，其解法思路具有一定的探究价值，下面从两方面开展解题反思：一是对问题特征进行挖掘；二是从解法角度进行思考总结.

1. 挖掘问题的特征

上述问题是二次函数与几何的综合题，图象中融合了抛物线、一次函数、几何图形，以函数图象相交为背景，构建三角形，形成了复杂的函数与几何图象.

第（2）问的核心条件涉及了两线平行和线段比值关系，是与几何平行相关的面积问题，最为显著的特征为其中的平行关系.

第（3）问则是关于点的存在性问题，涉及了三角函数值，所以也是与三角函数相关的存在性问题，解题的关键是转化其中的三角函数值.

2. 思考问题的解法

核心之问在解析突破时均需充分把握问题特征，基于核心条件进行思路构建. 整体上采用了数形结合的思维方法，解析条件，解图建模，结合图象推理条件，构建思路，下面具体分析问题的解法特点.

第（2）问求解三角形面积时，采用了面积割补拼接法，将所求几何面积拆解为几个易求图形面积的组合，再利用面积公式求解. 其中隐含了数学的等价转化思想.

第（3）问探究点的存在性问题，整体上采用了“假设—验证”的方法思路进行思维顺推. 对于其中的三角函数值条件，利用其几何意义转化为角度关系. 同时提取其中的相似模型，利用模型性质进行关键线段、点的推导. 实际上解题时构建了“一线三直角”相似模型，即隐含了一组相似三角形和三个直角三角形.

另外，图象解析采用了模型拆解、提取的方式，即针对问题条件，排除了其中无关的几何要素，提取其中的核心条件来构建模型，重点突出，特征鲜明.

拓展探究

二次函数与几何相关的综合题题型众多，对于考查三角形面积、三角函数值的压轴题，突破解析的思路是一致的，均可以采用上述的策略：数形结合解析问题、提取构建模型解析、等价转化变量条件. 下面结合一道综合题进行进一步探究.

例题抛物线y=x2-4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.

（1）直接写出点B和点D的坐标；

（2）如图5，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO=时，求点P的坐标；

（3）如图6，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0

思路引导：上述同为二次函数与几何综合题，同时涉及三角函数值转化与面积模型构建，问题解析可以结合上述的解法策略，数形结合分析，提取构建模型，转化条件突破.

（1）求点的坐标，考查基础知识. 可令y=x2-4x=x，求出x的值即可得出点B的坐标. 再将函数y=x2-4x化作顶点式，即可得出点D的坐标；

（2）解析三角函数值条件求点坐标，考查三角函数值的转化方法. 同样可构建模型进行转化，即过点D作DF⊥y轴于点F，易得tan∠DOF=，又因为tan∠PDO=，所以∠PDO=∠DOF. 后续分两种情况进行讨论：情形1，当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴；情形2，当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，分别求出点P的坐标即可.

（3）构建三角形，求两者的面积之比的最大值，考查了模型构建与最值分析技巧. 可分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，利用三角形的铅锤模型表示三角形的面积，可得S=QK（x-x），S=MN（x-x）. 结合点Q的横坐标为m，可表示出，进而转化为与参数m相关的二次函数，再利用其性质即可求最值.

评析  上述围绕二次函数与几何综合中的三角函数值、面积模型开展拓展探究，第（2）问同样是将三角函数值条件转化为等角条件；第（3）问则是利用三角形的铅锤模型来求解面积. 针对其中的核心条件进行转化分析构建，整体上采用数形结合的分析方法，提取构建模型.

教学思考

上述对一道二次函数与几何综合题进行了解题探究，开展分步突破、解后反思、拓展探究，总结了类型题的解题思路，对于学生的备考有极大的帮助. 而在实际教学中，教师还应注意整合问题考点知识，设问引导探究，下面提出几点建议.

1. 挖掘问题考点，整合知识定理

函数与几何综合题是众多知识考点的融合，涉及众多的定理、定义，是模型与方法的综合构建，问题突破需要挖掘其中的知识考点，准确定位问题类型，并在此基础上探索问题解法. 解题教学中，教师要注意引导学生解析问题条件，确定问题类型. 可设计两个环节：环节一，拆解问题条件，逐个解读分析，尤其是其中的核心条件；环节二，根据问题条件确定教材的知识定理，完成问题定位. 而在复习教学中，教师要注意引导学生对章节知识进行整合，构建系统的知识网络.

2. 设问引导探究，构建解题策略

解题探究过程建议教师采用设问引导、分步构建的策略，即围绕问题条件设置引导性问题，让学生深入思考，探索解题思路. 而在设问引导时需要关注两点：一是注意问题应具有启发性，逐步深入；二是注意问题应具有连续性，通过设问引导学生掌握其中的构建思路. 而在解题指导完成后，教师还需注意进一步引导学生思考，让学生反思解题过程，总结解题方法，如条件转化的技巧、模型构建的方法等.

3. 关注数形结合，掌握模型构建

上述二次函数与几何综合题的探究过程中，整体上运用了数形结合、模型提炼构建的方法，即数形结合分析问题，确定解题思路，模型提炼构造辅助分析突破. 两种方法技巧在解析该类问题中十分有效，教师要注意方法引导，让学生掌握方法精髓以及使用思路. 具体教学中可从以下两方面进行：一是关于方法概念的讲解，让学生理解对应的含义；二是关于方法使用技巧的讲解，可结合具体的问题，引导学生体验使用过程，感悟方法技巧.