注重知识的整体建构，提升学生的核心素养

［摘  要］ 初中几何教学时，除了要让学生学会逻辑推理，有时也要让学生注重几何知识之间的整体联系及几何研究的基本方式方法，教师要注重几何知识之间的整体建构，让学生在更深层次去了解几何，使学生不仅能掌握数学知识，还能从更高层面去提升数学思维，进而提升核心素养.

［关键词］ 整体建构；逻辑推理；数学方式；一般到特殊

《义务教育数学课程标准（2022版）》指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构与体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解. 初中数学中的图形与几何部分体系成熟，脉络清晰，特别是从三角形的研究转到对四边形的研究，很适合对研究思路、内容、方法进行类比整体化建构，提升学生的关键能力和学科素养.

笔者之前参加了张家港市教师发展中心组织的初中数学优质课评比的比赛，比赛课题是苏科版教材八年级下册“矩形、菱形、正方形”（第一课时），现将本课的教学过程及笔者对本课整体化建构的思考予以呈现.

教学过程

1. 数学发展，概念建构

问题1：我们回望一下前面学习的三角形，有一般三角形与特殊三角形，请你动手画一画.

追问1：从一般三角形怎么得到直角三角形？

学生1：在一般三角形的基础上增加一个条件，让其中一个内角等于90°.

追问2：从一般三角形怎么得到等腰三角形？

学生2：在一般三角形的基础上增加两条边相等，这样就得到了等腰三角形.

教师：让一般三角形的边或角具有特殊的数量关系，就会呈现我们要研究的特殊三角形，这是我们数学上研究几何图形的一般过程（如图1）.

问题2：我们在研究了平行四边形之后，接下来应该研究什么图形？

学生3：如果把平行四边形的边或角的数量关系特殊化，就可以得到今天我们要研究的图形.

追问3：你能类比图1三角形的研究过程动手画一下平行四边形的研究路线图吗？

（学生独立完成后组内讨论，小组代表展示成果，如图2）

教师：本课考虑对平行四边形的角特殊化进行研究，想一想，我们把平行四边形的一个内角特殊化之后，这个特殊的平行四边形我们认识吗？

学生4：这是小学学过的长方形.

教师补充：在中国的传统文化中有“矩为方之器”“矩不正，不可为方”的古语，其中的“矩”是古代画直角的一种工具，到了初中我们会把小学学过的长方形换一种叫法——矩形. 这是比较专业的叫法，也是本节课要研究的几何对象.

教学思考：获得诺贝尔文学奖的石黑一雄说过：人不应该那么快就忘记以前的知识，应该时不时地看看过去，才能更好地认识事物［1］. 数学学习也是一样的，本部分回望前面三角形知识的学习过程，从一般三角形到等腰三角形、直角三角形，认识几何对象的研究思路，通过自己画平行四边形的研究路线图来感悟从一般到特殊的研究数学图形的思想方法，进而提升学生对数学学习的理性认识. 今天所学也是类比三角形研究过程去研究特殊的平行四边形，让学生感受到几何上的数学思维前后是具有共通性的，有规律可循，既有利于促进学生的思维迁移能力提升，也有利于学生将这种经验形成一种惯性帮助其建构其他的数学知识. 同时，通过教师讲述“矩”的古时含义让学生感受到数学传统文化的魅力，增强学生对自己国家文化的认同感，提升文化自信.

2. 课堂生长，多维思考

问题3：我们在前面学习的平行四边形是如何研究的？

学生5：先学平行四边形的定义、表示方法，再学平行四边形的性质，然后是平行四边形的判定，最后是应用.

教师补充：我们本节课要研究的矩形和前面学习的平行四边形的过程是一致的，不光是矩形，很多几何图形的研究也是这个过程，即研究定义、表示方法、性质、判定、应用.

追问1：矩形的定义应该是什么呢？

学生6：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

追问2：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，它还具有哪些特殊的性质呢？请你用简洁的文字语言表达一下.

活动1：请各小组讨论研究矩形的性质，并将研究结果整理好上台交流.

（得到矩形的性质可能如下：①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角相等且都等于90度；③矩形的对角线互相平分且相等；④矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤矩形被两条对角线分割成的四个小三角形是等腰三角形，并且它们的面积相等；……）

追问3：你是如何得到矩形的性质的？

学生7：猜想、观察、度量.

教学思考：卜以楼说，生命的价值在于成长，教育的价值也在于促进学生的内生生长，所以数学教学的价值在于提供与学生内生生长、生命成长相匹配的正能量. 问题3承平行四边形的学习流程启矩形的学习流程，在整体视角下对矩形的内容进行了展望. 活动1给学生提供了能够协同学习的机会，让学生在协同学习中碰撞出不同的思维火花，进而在学生的心中种下用数学的方式去看世界的种子. 因此，在交流合作中学生学会用数学的思维思考问题，进而内化成数学核心素养. 慢慢地，通过不断的积累形成学生的数学精神，实现数学育人的任务.

3. 互动生成，归纳论证

问题4：刚才得到的结论是否是真命题？怎么办？

学生8：可以用几何推理去验证.

教师：猜想—验证—归纳是数学研究中常用的一种思想方法.

活动2：请各小组从刚才直观操作得到的结论中选择一条进行逻辑推理，并派一个代表上台讲述你们小组的推理论证.

追问1：这些结论都是真命题，哪些可以作为矩形的性质？

教师补充：几何图形的性质是组成图形的基本要素（边、角）或相关要素（对角线）之间的数量关系和位置关系以及图形的整体对称性，矩形的性质以矩形的对称性和矩形的边、角、对角线之间的数量关系和位置关系为主. 像上面的第5条性质一般不作为矩形的一条性质，但它是真命题.

学生9：矩形既是中心对称图形又是轴对称图形.

学生10：矩形的四个角都是直角，对角线相等.

教师：老师用几何画板对刚才所得的性质再次进行验证. 验证矩形的四个角都是直角（如图3），验证矩形的对角线相等（如图4）.

追问2：你能把刚才的文字语言转换成符号语言吗？

学生11：符号语言是“因为矩形ABCD，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°”.

学生12：符号语言是“因为矩形ABCD，所以AC=BD”.

教学思考：史宁中教授曾提出数学教育的终极目标是“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］. 活动2让学生经历完探索、提炼、归纳后，对所得到的性质进行推理验证，提升学生的逻辑推理能力，笔者还借助几何画板的演示和实物图形的运动方法来验证矩形的性质，由此加深学生对矩形性质的直观想象. 这里学生讲解的“生动”与教师用几何画板验证的“师动”充分让课堂成为师生共同成长的地方. 追问2把矩形性质的文字语言转换成符号语言. 这一流程充分凸显了用数学的语言表达图形性质，用数学思维去思考图形问题，慢慢地，学生就会用数学的眼光去观察这个世界.

4. 学生生慧，感悟提升

问题5：如图5，矩形ABCD的对角线相交于点O，且AC=2AB，求证：△AOB是等边三角形.

变式：如图5，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4 cm，求矩形对角线的长.

（教师示范例题，学生独立完成变式）

追问1：通过一个例题和一个变式你能说说运用矩形性质时常常与什么图形有联系？

学生13：等腰三角形和直角三角形.

教师：这和初一学的多边形转化成三角形的研究是一脉相承的，矩形也常常转化成特殊三角形来研究，初中几何中最基本的图形就是三角形. 就像方程中的多元方程常常转化成一元方程一样.

问题6：通过本节课的学习，你有什么感悟？接下来我们将会学什么？如何学？

学生14：类比，归纳，转化是数学学习的重要方法.

学生15：接下来会学到矩形的判定.

学生16：会类比平行四边形的判定来学习矩形的判定，从边、角、对角线来研究.

学生17：还会学菱形、正方形.

学生18：我知道会学它们的定义、性质、判定.

教学思考：教师通过对问题5中的例题进行讲解、板书、示范传授本节课的数学知识、数学技能，这是数学教学中必不可少的一个环节. 学习知识的最终目的是要转化为能力，例题作为引领示范的重要环节，在教学过程中担负着把知识转化为能力的重要使命. 因此，例题的选择要体现基础性、代表性、层次性和发展性，好的例题，不仅可以加深学生对概念、性质的理解，培养学生解题的通性通法，而且还可以加强对学生的思维训练，提高学生分析问题和解决问题的能力. 追问1让学生感受到矩形的问题常常与等腰三角形或直角三角形有关，提炼出一般解题的思考方向. 问题6可以了解学生本节课的学习情况，引导学生形成本章节的知识结构图，也展望了下节课要研究的内容，使学生感受几何教学的一贯性与整体性，从而提升学生对数学知识的整体建构能力.

参赛感悟

章建跃先生指出，高水平的教学设计和好的数学教学必须建立在“三个理解”的基础上：理解数学、理解学生、理解教学［3］.

1. 我为什么要到那里去？

知识整体建构的前提是要理解数学，要把握需建构的数学内容的本质，特别是对所建构内容蕴含的数学思想、数学方法、数学精神要有深入的理解. 如本节课我们研究矩形，作为教师就有必要思考“为什么要研究矩形”的问题，如果连教师也不清楚为什么要研究矩形，只告诉学生这是考试要考的，或是教科书上这么安排的，那如何让学生去理解我们所教的知识，去喜欢我们所任教的学科？因此，教师必须理解数学，了解数学知识中包含的数学思维，挖掘数学知识中的立德树人的价值观资源，这样才能让学生逐步以数学的眼光去看现实世界，进而用数学的思维去提出问题和解决问题，最终用数学的语言来和这个世界对话.

2. 我怎样才能去那里？

知识整体建构的关键是理解学生，作为教师就需要换位思考，站在学生的角度去想，如“小学时数学老师教的是长方形，为什么到了初中就叫矩形”，使学生正确认识矩形的定义的由来，理解矩形的定义. 教师还要全面了解学生的思维规律. 学生现在已经具备和掌握了哪些相关的知识技能和数学思想方法，要完成本节课的建构还需要具备哪些数学知识和数学方法，这两者之间的差异就是教师需要去思考的，思考为学生提供怎样的台阶，多少个台阶，就可以让学生通过自己的努力去消除这些差异，调动学生的积极性，发展其潜能，使其达到教师预想的目标，从而科学高效地完成本节课的教学目标，实现学生思维能力的发展.

3. 我是否到了那里？

知识整体建构的重中之重是理解教学，数学育人价值的实现，学生数学素养的发展，都依赖于教师的教学，比如如何选择和使用合适的教学情境，如何安排好教学时序，如何精心设计有质量的问题等. 很多时候教师会忽略定义、定理的生成过程，只强调它们的运用过程. 本节课如果直接用生活情境引入矩形，给出矩形定义后便进入矩形的性质和讲解习题，就会破坏数学知识从发生到发展过程背后的数学思维，也会割裂图形与几何中的一般研究思路“从一般到特殊”，使学生合作探究、独立思考的机会大大削减，慢慢地，很多学生会陷入被动学习的状态中. 数学有其学科特点，以数学的方式开展教学，能让学生认识到学习矩形这个知识是源于数学知识本身的发展，或实际生活中确实有的情景. 本节课选择先类比对一般三角形到特殊三角形的研究，让学生认识到今天学的矩形知识是源于对平行四边形的一个内角特殊化，是数学知识发展的必然. 再类比对平行四边形性质的研究，让学生认识到几何图形的学习总是从边、角、对角线等一些基本要素入手，得到与它们有关的性质. 最后展望下节课应该研究什么，如何研究？由此让学生了解并掌握数学上研究几何图形的一般套路.

结束语

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中明确给出了核心素养的概念——“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”. 在2021年全国两会上锡山高级中学校长唐江澎讲了这样一段话：好的教育，就是应该是培养终身运动者、责任担当者、问题解决者和优雅生活者. 笔者作为一名一线教师，也会对现在的数学教学进行反思：一讲到底，按部就班，题海战术，挤占时间，是否还适合现在的时代和学生；在数学教学中能不能让学生成为一名有责任的担当者，一名能用数学知识解决问题的思想者，一名具有审美能力的品鉴者. 数学教学应该要从解题教学向育人教学转变，通过数学教学培养学生成为全面发展的人，为他们赢得未来，这是我们努力的方向.

参考文献：

［1］潘红玉. 生长数学：新时代数学教育的行为自觉（续）——访本刊编委卜以楼老师［J］. 中学数学教学参考，2021（05）：2-5.

［2］尤文奕. 以数学的方式开展新知教学［J］. 中学数学教学参考，2020（11）：5-7.

［3］章建跃. 研究三角形的数学思维方式［J］. 数学通报，2019，58（04）：1-10.

作者简介：张志华（1981—），本科学历，中学一级教师，市学科带头人，从事初中数学教学实践研究.