留白式教学：给学生数学思维时空

孙振飞 陆曼 田英杰

［摘  要］ 留白式教学是新课标深入推进背景下颇具成效的教学模式，适当合理的留白可以激发学生的学习兴趣，促使学生主动参与到学习活动中来，提高学生的思维能力，提升学生的核心素养. 文章以“将一个分数拆为几个不同的单位分数之和”为例，分析留白式教学在初中数学教学中的具体实施步骤和要点，并从留白的艺术、补白的策略以及留白的指向三个方面进行思考，以期对初中数学教师实施留白式教学提供一些帮助.

［关键词］ 留白式教学；思维时空；核心素养.

央视频道有这样一则公益广告，奶奶正在教孙女水墨画，孙女说：“奶奶，这里还有空，我再画些树吧？”奶奶回答道：“要适当留白才好看. ”孙女问：“什么叫留白？”奶奶让孙女在空白处画些飞鸟试试. 孙女照做后惊喜地发现：“奶奶，画面变广阔了. ”奶奶说：“画画要留白，人生也一样. ”“留白”是艺术作品创作中常用的一种手法，指书画艺术创作中为使整个作品画面、章法更为协调精美而有意留下的相应空白，留有想象的空间. 初中数学课堂教学也应追求“留白”的艺术.

然而，当前初中数学教学仍然以传统的教学模式为主，没有摆脱“满堂灌、反复练”的枷锁. 在教师“教”的层面：单纯增加课堂容量，延长上课时间，却没有真正揭示出数学本质，学生难以形成完整的知识结构体系；过多关注知识与技能，采取单向灌输方式，课堂上几乎没有留给学生真正独立思考的时间，忽略了情感态度与价值观的培养；忽视作业与教学实际情况、学生生活问题的融合，削弱了学生的学习兴趣；过分强调对分数的考评，忽视了对学生综合素养的评价. 在学生“学”的层面：缺乏主动学习的积极性，处于被动接受的状态，“等教师讲、靠教师教”是学习数学的常态；把作业当作任务去完成，以“刷题”达到“熟能生巧”的目的去应付考试；缺失克服困难的坚韧品质、创新意识以及科学精神.

核心素养呼唤初中数学留白式教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对教与学提出了更高的要求：“要引导学生在发现问题、提出问题的同时，会用数学的眼光观察现实世界；在分析问题的同时，会用数学的思维思考现实世界；在用数学方法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界. ”［1］因此，教师必须努力转换教学角色，变革教学方式，选择能引发学生思考的教学模式，要让学生能够在实践、探究、体验、反思、合作、交流的学习过程中感悟出数学基本思想，积累基本活动经验，从而促进核心素养的形成. 而留白式教学可以很好地激发学生的好奇心和求知欲，使学生积极主动地参与到数学课堂活动中来，在探究问题的过程中，寻找解决问题的办法，体验成功的乐趣，建立数学学习信心，感受数学的魅力.

1. 初中数学留白式教学的内涵

初中数学留白式教学是指留给学生足够的时间和空间以进行数学思考，在学生自主学习的基础上，通过教师的引导，更好地理解基本知识，掌握基本技能，揭示数学方法，感悟数学思想，建构知识体系，培养高阶思维能力，提升数学核心素养的教学方法. 首先，从时间上讲，给足学生独立思考的时间，教师要“让位”乃至“退位”，切实转变为课堂的组织者、参与者、合作者. 从另一方面来说，留白式教学更加追求自由性和包容性. 这种“自由”就是要求教师创设更加开放的教学环境，激发学生的学习热情，促使学生主动参与课堂学习，让学生拥有更多自我展示的机会，在交流中享受学习的快乐，在鲜活的课堂生成中自主成长乃至“野蛮”生长，更好地释放学生的自由. 这种“包容”是指课堂中要允许多种观点并存，让学生勇于挑战课本，敢于向权威说“不”，“师道尊严”应该演变为师生共长；教师要正视班级中不同层次学生的存在，允许个人发展程度有快慢与高低，通过学生之间的互帮互助，促进每一位学生都能在原有基础上有所提高与进步.

2. 初中数学留白式教学的特征

目前，初中数学留白式教学主要具有激励性、情境性、多样性、包容性等四个特征. 激励性是指课堂的适当留白符合初中生对未知世界充满探究欲望、思维活跃、表现欲极强的年龄特点，有利于激发学生的想象力和创造力，促进学生主动思考；情境性是指课堂留白无法孤立存在，是作为一个整体被学生所感知的，受到诸如课堂氛围、教师表情、学生反应等具体情况的影响；多样性是指课堂留白赋予了课堂更多的不确定性和更广阔的自由度，鼓励学生对同一个问题有自己独到的思考和见解；包容性是指课堂留白并不预设标准答案，取消了对学生思维约束的框架，激发学生思维的火花，是对学生个体生命价值的尊重.

初中数学留白式教学案例剖析

本文中的案例取材于沪教版六年级上册第二章“分数”中的探究活动——“将一个分数拆为几个不同的单位分数之和”. 这节课通过让学生对4个问题进行探究，归纳总结出将一个分数拆为几个不同的单位分数的方法.

探究1引导学生思考如何将直接拆为两个不同的单位分数之和，因为分子3可以直接拆为分母4的两个不同因数之和，所以可以拆为与的和. 探究2先放手让学生去尝试如何将拆为两个不同的单位分数之和，由于不能像那样直接拆分，这和学生的已有认知产生了冲突，从而引发学生主动思考，使学生在不断尝试、碰壁、再尝试中总结出“不能直接拆分的要先扩分再拆分”的方法与策略. 探究3是探究2的变式：将拆为三个不同的单位分数之和. 将学生的思维推向了高潮. 在学生独立思考和小组交流之后，让学生们面向全班进行展示，以期呈现出拆分方法的多样化，展现出探究过程中学生思维的多元化，充分体现了课堂的包容性和学习的自由度. 上述三个探究活动都是将一个指定的分数按要求拆分成不同的单位分数之和，尽管课堂中教师已经给予了比较大的留白时空，但依然有教师刻意留白的痕迹. 探究4则是请学生写出一个自己喜欢的分数，并将其拆成差的形式. 从形式和情境来看，探究4有两处留白：其一，所拆分的分数是开放的，让学生自己设定一个分数，是投学生之所好，激发了学生探究的热情；其二，由“和”变为“差”，一字之差，达到了“一石激起千层浪”的效果. 从思维能力来看，与前三个探究活动相比，探究4需要打破思维惯性，更注重对逆向思维的考查，但在策略上又有“异曲同工之妙”，强化了对学生思维能力广度与深度的训练.

基于以上分析，不难看出这4个探究活动很好地体现了留白式教学的诸多特征，接下来就以此典型案例为例，肤浅地剖析其在留白式教学中的具体运用. 本节课的大致流程如下：

1. 情境引入时“留白”

为了达到“留白”的效果，在本节课的导入环节，选取了“分面包”的故事作为引子，创设出符合学生认知基础和已有经验的情境：将5个面包平均分给6个人，每个人分得多少？学生依据分数知识与除法意义很容易得到答案：每个人可分得个面包. 接着笔者故作高深地问道：那么3000多年前的古埃及人是怎样分的呢？学生的好奇心一下子就被吊了起来. 笔者故意停顿了少许时间，在学生面面相觑、窃窃私语中娓娓道来：不知道了吧！古埃及人先将3个面包平均分成6份，每人分得个面包，再将剩下的2个面包平均分成6份，每人分得个面包，所以每个人分得+个面包.

这里设问的目的，并不是要让学生去尝试回答这一问题，而是为了激发学生一探古埃及人为啥用这么“笨”的方法进行等分的原因，尽快进入课堂学习的角色. 在充分吊足学生“胃口”的基础上进一步讲述古埃及分数发展的历史，并通过对比东西方同时期的数学发展状况，体会到数学漫长的发展史是何等艰辛，同时了解我国古代人民的数学智慧，增强民族自豪感.

新知识的导入是课堂教学的重要环节之一，能否成功导入在很大程度上关系着整节课的成败. 数学学科是一门比较抽象的学科，特别是涉及数学概念教学时，学生常会觉得枯燥无味，这就要求教师能够巧妙设置悬念，也就是所谓的“留白”，激起学生学习新知识的欲望.

2. 探究问题时“留白”

课堂学习是学生进行探究的主阵地，笔者设计的4个探究问题层次分明，分步设置“留白”，让学生通过独立思考、自主探索、小组合作等方式把知识和方法内化，再通过对话、追问、展示、交流、教师引导、师生合作等方式“补白”.

对于探究1“将拆为两个不同的单位分数之和”，学生容易得到正确答案，即==+=+. 但是得到这道题目的答案并不是本次探究的核心目标，而是引导学生从这道题中“以小见大”，归纳总结出一般的规律和方法. 为此，采用问题链追问方式“留白”，并在学生回答中不断修正达成“补白”效果.

教学片段如下：

师：你能给大家讲讲你是如何成功拆分的吗？

生1：将3拆成1与2的和，再约分就行了.

师：很好！能不能总结一下，此类分数拆为两个不同的单位分数之和的方法？

生1：（支支吾吾，词不达意）……

师：大家仔细观察一下，分子1和2与分母4有怎样的关系？

生2：它们都是4的因数，且它们不相同.

生3：也就是说，我们要将分子拆为分母的两个不同因数的和.

探究2“将拆为两个不同的单位分数之和”是探究1的变式，放手让学生自己尝试. “留白”之一是要让学生意识到“不能像那样直接拆分”，对此学生容易想到可以通过扩分将分子1进行变化；“留白”之二是对“分子为1的分数或分子不能拆分为分母的两个不同因数的和的分数”的拆分方法进行总结. “补白”流程如下：首先，展示学生的多种拆分方案，===+，===+=+，===+=+，…. 其次，尝试从这些方案中“悟”出并归纳方法，即不能直接拆分的要利用分数基本性质进行扩分，从而转化成探究1的情况来解决.

探究3“将拆为三个不同的单位分数之和”是对探究2的进一步研究. 较之前的两个探究，该探究关键在于培养学生灵活应用已有方法深度解决问题的能力，重在方法的展示和策略的“补白”. 以下展示两位同学的不同解法及教学片段.

生4：因为==+=+，===+=+，所以 =++.

生5：===++=++.

师：请两位同学分别说说你们的想法.

生4：我先把拆成+，再把拆成两个不同的单位分数之和，通过前后两次扩分与拆分，就拆成3个不同的单位分数之和.

生5：我通过一次扩分，将分子变为6，然后将6写成1、2、3这三个数的和，进而写成分母都是72的3个不同分数之和，再约分就可以了.

生6：也就是有两种策略：一种是分步拆分，还有一种是一步拆分，但不管哪种方法，都需要扩分，且分子中的加数都必须是分母的因数.

生7：还需补充一点，探究3用到了化归思想，转化为探究1和探究2去解决.

探究4“写出一个喜欢的分数，并将其拆成差的形式”给了学生天马行空、自由发挥的空间，学生的探究激情再一次被点燃. 学生主动互相交流拆法，并比较谁的拆法更简便，争着展示他们的成果，最终形成了解决问题的策略. 策略1：将分子写成两个数的差，并且被减数和减数都是分母的因数；策略2：利用加减法互为逆运算，可以在拆分为和的基础上变为减法，例如，由=+得=-或=-. 该探究既培养了学生“转化”“逆向思考”等数学思维能力，还激发了学生学习数学的兴趣. 数学千变万化，细品其中奥妙，方感乐在其中.

3. 评价时“留白”

课堂中的“留白”在学生“补白”之后，不管其质量的高与低，教师都要舍得投入足够的时间与精力，组织多种方式及时进行评价，这是学生持续开展深度学习的“加油站”或“补给站”. 评价时可以采用学生自评、小组互评、教师评价等多主体评价的方式，以及多维度的过程性评价和增值性评价的方式，着重体现学生“补白”结果水准的高低和“补白”过程中思维的流畅度与深刻度. 评价时忌通篇一律的“你好棒！”“大家都很厉害！”等表面性的语句，这种缺乏针对性、浮于表面的表扬也许能让学生一时半刻获得满足感，但长此以往则会给学生“假大空”的敷衍之感. 正确的做法是在学生“补白”的关键思路处、方法思想归纳处进行总结提炼，使做出“补白”的学生和其他同学能真真切切地感受到这种表扬是发自内心的，是老师或同伴对其能够进行探究思考，并获得创新发现的由衷赞赏. 此外，正向的评价也可以或应该进一步通过“留白”激发学生继续深度思考以促进深度学习的有序开展. 比如，探究3环节中，在学生展示并总结出方法后，笔者顺势提问：“以上两位同学都是将扩分后拆分，由于扩分的方式多种多样，是不是就有无数种拆分的方法呢？”对学生刨根问底，能引起他们无限遐想，这就是一种高级的评价. 再如，在本课小结时，着重在学生对拆分探究过程的体会处“留白”，让学生感悟与品味“经历”数学学习的酸甜苦辣，并将这种体味记录在课后的数学日记中，这是成长的“留白”，是对学生核心素养更深层次的培养.

4. 拓展问题时“留白”

课堂教学虽然结束了，但学生的思维还在延续中，正所谓“余音绕梁也”！课后拓展其实也是课堂教学的一部分，教师要善于拓展问题延伸课堂，引导学生利用课上所学知识解决问题，使学生对其所学内容有更深入的思考和更深刻的认识.

比如，本节课最后留给学生一道思考题：如图1，早在公元前三千多年前，古埃及人就创造并使用了分数，他们将分数符号称为“荷鲁斯之眼”. 其中，右眼角表示，代表气味；眼球表示，代表对光的视觉和感觉；眉毛表示，代表思想；左眼角表示，代表听觉；睫毛表示，代表味觉；眼泪表示，代表触觉.  “荷鲁斯之眼”各部分所表示的分数之和是多少？请尝试用多种方法加以解决. 这既和课堂开始时的情境引入相呼应，也是课堂延续的好素材. 课堂是孕育知识的摇篮，课堂之外有更加广阔的天地，如果教师经常给学生在课后留一个“白”，那么学生的课外生活将会更加绚丽多彩.

初中数学留白式教学反思

1. “留白”的艺术

数学是优美的艺术，数学教学更要讲究艺术性，在教学中适当“留白”则能将这份艺术淋漓尽致地体现出来. 从“留白”产生的角度来看，可分为两类：一是在学程设计时的预设，二是在学程实施中的生成. 预设“留白”质量的高低，反映的是教师对新课程理念的把握、对教材架构的整体认知以及对学生学情的准确定位. 课堂生成的“留白”，考查的是教师把控与驾驭课堂的能力，能否敏锐地捕捉到课堂中稍纵即逝的契机. 当然，“留白”的提出者也不完全是教师，学生的“留白”更显得弥足珍贵，这是学生主动思考后的鲜活生成，更有“补白”的价值. 从“留白”所期望达成的效果来看，有以下几类：①可以巧设悬念“留白”，让学生的已有知识和经验与新情境形成冲突，使学生在好奇心理作用下产生要把这些空白填补的强烈欲望. ②可以在学生参与空间上“留白”，让学生经历充满挑战的过程，从初见有趣现象时的好奇，到发现问题时的迷茫，再到经历探究过程的挑战，最后品味成功的喜悦. ③可以在学生自我反思处“留白”，解题后注重对方法的反思，每节课的小结加强对数学思想的感悟，课后日记记录学习数学的顿悟，章节完毕时对知识体系主动建构，等等. 从“留白”实施的原则来看，要遵循如下几点：学生会的不教；学生说明白的不重复；学生不会的加强引导启发，尽量让学生能发现与解决；学生反复尝试也发现不了的，教师要“不吝赐教”. 一句话：少讲多引导，教是为了不教.

2. “补白”的策略

“留白”不易，“补白”则更难. 首先，要明确“补”的主体，毫无疑问应该是学生，教师的自问自答严格意义上讲不是“补白”，对促进学生理解数学的价值不大，只有学生采用自主探究、独立思考等方式“悟”出来的东西才能真正填补其认知上的空白区域. 由于学生在个体经验、数学水平上存在差异，不同学生对知识的理解、方法的总结、思想的感悟是参差不齐的，这时候需要发挥学生群体的合作精神，在相互交流中加深对问题的认识. 其次，在“留白”教学中教师只是暂时的“退位”，绝不能“失位”，要全程参与到学生“补白”的过程中，在知识混淆处帮助学生明辨是非，在思维方法卡顿处帮助学生梳理思路，在思想渗透处帮助学生化隐为显…… 有时甚至要不吝讲解，极尽教师“补白”的功效. 在“补白”的过程中，一定要学会等待，再多留出点时间，也许就能静待花开. “留白”和“补白”不仅在数学教学中具有启迪学生思维的作用，在任何课型中都可以加以使用，其不仅仅只是一种教学方法，已然演变为一种教学原则.

3. “留白”的指向

“留白”是一种智慧，更是一种情怀与境界.  “留白”的指向之一是彰显教育本质，遵循育人规律. “留”的是数学知识的空白，更广一点说，“留”的是探究未知世界的激情；“补”的是数学中的某个技能、方法或思想，更是对学生主体地位的发挥和独特个性的张扬，是对鲜活生命的尊重、欣赏与期许. “留白”的指向之二是培养学生高阶思维和数学核心素养. 新课标强调“学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程”［1］，这其实就是“补”的精髓所在. 教师要想方设法引导学生积极主动地参与学习过程，鼓励每个学生“动”起来，下放学习主动权给学生，给每个学生提供思考、创造、表现和取得成功的机会，从而促进学生发展.

“恰是未曾着墨处，烟波浩渺满目前”. 在我们的数学课堂上，请让一个空间给学生自己去填补、请放一段时间让学生自己去安排、请丢一个问题给学生自己去解决、请造一个机会让学生自己去把握、请留一个困难让学生自己去琢磨，学生一定会展现出他们的智慧，而我们的课堂也将收获更多意料之外的精彩.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022 年版）［S］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

基金项目：上海市普陀区教育科研2022年度重点课题“指向深度学习的初中数学单元教学策略的研究”（课题编号为JA2022302，主持人为孙振飞）.

作者简介：孙振飞（1971—），正高级教师，普陀区初中数学学科带头人，主要从事中考命题研究以及初中数学教学研究工作.