生长数学视角下中学数学概念教学

蔡华远 程玉林

[ 摘 要 ]“生长数学”教学主张，强调对学生学习过程中生命自觉责任的关注，将教学定位锚定在学生生命绽放的层次，注重从生命的视角去播下数学的种子，然后生根发芽，直至枝繁叶茂，最终长成参天大树，这也就实现了“用数学的精巧来演绎生命的精彩”.当面对概念教学而选择了生长数学视角的时候，可以发现在该视角下，数学概念及其教学需要重新审视，其伴随着两点认识：初中数学概念的建构过程有着显著的生长特征，概念教学过程中的生长主要表征为思维的生长.生长数学特别强调从问题中生长思维，这一点与上面所阐述的数学概念过程中的生长主要表征为思维生长一脉相承.生长数学还强调在探究的过程中促进学生学力的生长，实际上数学概念的教学也充满探究性，将概念教学过程设计为具有问题解决性质的探究过程，客观上也就可以促进学生学力的生长.

[ 关键词 ]初中数学；生长数学；概念教学

基金项目：2022年晋江市基础教育教学改革专项课题“生长数学视角下高中数学概念教学的案例研究”（JJ2022-ZX03）.

在课程改革大潮的涌动下，作为基础学科之一的数学学科诞生了很多教学主张.这些教学主张一边衔接着国家层面的课程改革思想，另一边衔接着课堂层面的具体教学，表现出了极强的生命力.其中，江苏省特级教师、正高级教师卜以楼老师提出的“生长数学”教学主张，强调对学生学习过程中生命自觉责任的关注，将教学定位锚定在学生生命绽放的层次，注重从生命的视角去播下数学的种子，然后生根发芽，直至枝繁叶茂，最终长成参天大树，这也就实现了“用数学的精巧来演绎生命的精彩”.在这样的比喻中，生长数学的理念得到了充分体现.学生建构并运用数学知识的过程就是一个生命生长的过程，而在生长数学的视角下去实施数学教学，自然也就让数学教学的过程蕴含着生命的意义.

概念教学是数学教学的有机组成部分，概念教学的质量影响着整个数学教学的质量.对初中数学教学来说，一定要重视概念教学，学生学习数学概念的过程，不仅是知识筑基的过程，还是数学思想方法感悟的过程，是数学学科核心素养落地的基础.《义务教育数学课程标准（2022年版）》提到数学学科核心素养发展的内涵要素包括：让学生学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界.在数学概念教学的过程中，学生的数学眼光会得到激活，数学思维会得到培养，数学语言的理解与运用能力自然也能得到提升.因此，数学概念教学中蕴含着数学学科核心素养的所有要素，如果能够让学生的数学概念形成过程具有生命生长的意义，那么这样的概念教学也就拥有了生长数学的视角.下面以华东师大版义务教育教科书数学七年级下册“轴对称”概念教学为例，谈谈笔者对生长数学的理解，并试图彰显生长数学视角下初中数学概念教学的应有意义.

生长数学视角下的数学概念再审视

众所周知，数学概念是数学知识体系的核心要素，学好数学概念是学好数学、用好数学的前提.但是从实际情形来看，概念教学在整个初中数学教学体系中的应有地位却没有得到凸显，其中的一个重要原因就是应试.应试导向下的初中数学教学，概念教学被边缘化，原本属于概念教学的时间被节省出来用于“刷题”，而学生在刷题过程中所形成的能力，也确实在很大程度上支撑学生获得较高的考试分数.这样的现实在带来较好应试效果的同时，客观上又让学生在数学学习的过程中难以获得生命体验，学生所经历的数学概念建立过程自然也就没了生命的意义.所以，当面对概念教学而选择生长数学视角的时候，可以发现在该视角下，对数学概念及其教学需要重新审视.对此笔者有以下两点认识：

认识一，初中数学概念的建构过程有着显著的生长特征.

纵观初中数学体系中的概念，可以发现相当一部分数学概念都源于日常生活或生产需要，因此如果能够从学生的生活出发，从学生能够理解或体验到的生产过程出发，去确定数学概念建构的起点，然后经过数学抽象以及数学语言等的运用过程，就可以帮助学生建立起对一个个数学概念的认识.所以，从生长数学的视角来看，数学概念并不是用数学语言所描述的冷冰冰的概念，而是学生从经验系统当中一步步经过思维加工而获得的具有生命力的概念.如果能够让学生经历这样的建构过程，那么数学概念就会在学生的数学知识系统中表现出较强的生命力，学生便更能够读懂这些概念，更能够在相应的场合中将这些数学概念自如运用，这本身也是数学概念表现出生命生长意义的体现.

认识二，概念教学过程中的生长主要表征为思维的生长.

将学生建构数学概念的过程演绎为生命生长的过程，一方面呼应生长数学的基本理念，另一方面是在新课改的背景下构造初中数学课堂教学的应有愿景.人们常说“思维是世界上最美的花朵”，纵观数学发展的历史，具有一定初中数学教学经验的教师都能够意识到，数学概念的建构过程对学生的思维有着极高的依赖程度，如果在数学概念学习过程中，学生没有思维参与，那么学生所学到的数学概念只能是一个个文字，很难真正读懂数学概念的内涵.反之，数学概念的建构过程，一定伴随着学生的思维不断深入的过程，这样一个过程与学生思维的生长紧密联系在一起，从而让概念建构与思维深入之间形成良好的互相依赖以及互相促进的关系.于是，数学概念的教学过程就可以表征为学生思维生长的过程，这自然也凸显了生长数学的应有内涵.

生长数学视角下的概念教学再实践

通过上面两点分析可以发现，生长数学的提出，实际上基于“教育即生长”以及课标要求，源于如今很多数学课堂忽视学生能力培养的现实.进一步的研究则表明，生长数学的目的是改变如今“教学过渡技巧化、内容过渡肤浅化、知识过渡碎片化”的数学课堂状况.从数学概念的教学入手，可以给试图进入生长数学范式的教师提供更多的研究抓手，自然也能够让学生在概念学习的过程中获得更好的体验.

“轴对称”是初中数学中的基本概念，表征着平面几何中图形的基本关系.从当前初中生生活经验的角度出发，可以发现在学生的经验系统中存在着不少与轴对称相关的素材，这些素材可以成为轴对称概念教学的起点.与此同时，应当注意到，学生在生活中所获得的关于轴对称的认识，更多地依赖于具体的图形，学生还很难用数学语言去描述.因此，轴对称概念的教学过程，又是将学生的形象认识转化为抽象认识、让学生用数学语言表征轴对称表象的过程.如果能够实现这样的教学思路，那么也就能够体现出生长数学的基本特征.

生长数学特别强调从问题中生长思维，这一点与上面所阐述的数学概念建构过程中的生长主要表征为思维生长一脉相承.那么对于轴对称概念的教学而言，如何去设计问题并让学生的思维得到生长呢？笔者以为可以这样设计教学：

首先，给学生提供2～3个生活中的轴对称场景.此时可以参考教材的相关设计，比如“山倒映在湖中”，这就是对称景象.当有了2～3个例子作为钥匙的时候，学生就能够打开经验系统中与轴对称相关的大门.几乎所有学生都能举出若干个轴对称的生活例子.

其次，让学生抽象自己所举的例子.这里所说的抽象自然是指数学抽象，也就是将例子中与“数”和“形”（此时主要是“形”）无关的因素如颜色、亮暗等除掉，只留下“形”的特征.这样得到图形后，再进一步让学生去分析与归纳，学生就会发现所有经过抽象的图形都具有一个共同特征，那就是“沿某条直线对折，对折后的两部分能够完全重合”.当这一认识形成时，就意味着轴对称图形的表象在学生的大脑中变得非常清晰，“完全重合”能够成为学生判断图形是否对称的重要指标，而用来对折的那条“直线”也成了学生判断轴对称图形的重要依据.当学生有了这样的认识后，教师就应当引导学生借助数学语言去描述，于是轴对称图形、对称轴的概念也就呼之欲出了.

分析上面这样一个轴对称概念的建立过程，可以发现学生的思考是循序渐进的，从生活中的轴对称图形到数学中的轴对称图形，从用图片来表征轴对称图形到用图形来表征轴对称图形，再到用文字来表征轴对称图形，意味着学生的思维从形象向抽象切换，从低阶向高阶切换.这自然是思维的生长，充分体现了生长数学的特征.

从数学概念的学习到数学思维生长

从上面的理论分析以及案例解读中，可以发现一个明显的线索，那就是学生在体验生长数学的过程中，总会存在一个时空足够的数学抽象过程，这一点对于初中生而言至关重要.作为数学知识体系基石的数学概念，在学习的时候不直接从抽象的图形或文字入手，而是从学生有感知、有经验的生活场景入手，那就更容易激活学生的思维——此时的思维自然是形象思维.初中生在思考问题的时候，往往是从形象思维切入的，因此这样的概念教学设计非常符合初中生的认知规律.

与此同时，生长数学视角下的概念教学，有着显著的伴随思维生长而生长的特征.从学生开始感知生活事物的那一刻开始，学生的形象思维就被激活；当学生面对多个事物需要分析的时候，异中求同的体验会让学生的思维逐步从形象走向抽象；当学生的分析有了结果的时候又需要进行综合和归纳，必要的时候还会进行演绎，于是抽象思维的特征会更加明显，思维生长也在同步发生.

如果把数学概念的建立过程理解为问题解决的过程，那么学生经历分析问题的过程，就可获得数学思维的生长.数学概念的建立过程能否理解为问题解决的过程？这是一个值得思考的问题，对这个问题的回答也反映了教师的教学理念.如果认为数学概念的学习就是数学概念定义的解读，那么自然谈不上问题解决；如果认为数学概念的学习是学生用数学思想方法，借助思维加工事物，最终抽象得出共性认识的过程，那么这样的概念教学就是问题解决的教学.很显然，生长数学的理念决定概念教学应当取后一种理解，这样才能够让概念建立的过程成为促进学生思维生长的过程.

实际上，数学概念建立的过程是非常复杂的，其中每一个环节都需要学生思维深度参与.生长数学还强调在探究的过程中促进学生学力的生长，实际上数学概念的教学也充满探究性.比如上面所举的轴对称概念教学的例子，生活中自然存在的轴对称景象能够给人带来美的感受，人们在生活与生产中也会借助轴对称来满足自己的审美需要.其中的核心元素就是轴对称，而从生活向生产过渡，除了思维的演绎，具体到学生学习过程中就体现为学力的生长.因此，如果将概念教学过程设计为具有问题解决性质的探究过程，客观上也就可以促进学生学力的生长.

用反思来保证生长数学的可持续性

初中生具备一定的反思能力，在经历了体验感很强的概念学习过程后，能够透过概念的建立过程认识到其中的思维存在，是保证生长数学具有可持续性的关键.这一点依赖于学生的深度反思，与之相对应的学习过程可以称为反思性学习.

反思性学习是学生对自己的学习活动过程的再思考与再审视，能促进学生对数学深层次的理解，萌发更强烈的数学创新意识，获得数学学习生长的力量.在包括概念教学的所有努力中，教师都有必要去引导学生进行反思，反思的对象主要是指数学概念的建立过程，如果要说得更细致一点，还包括问题是如何提出的、自己是如何思考的、在描述数学概念的时候又是如何从生活语言向数学语言过渡的……所有这些问题的重新思考与深度反思，都能够促使学生在回顾概念建立过程的同时，对相关的数学思想方法，甚至对数学学科核心素养内涵要素所涉及的内容有所感知.此时即使学生不能用专业的数学语言来描述自己的感受，也一定能够形成更好的数学课程认识与数学学习认识，这也就提高了学生的学习效益，是学生思维生长甚至生命生长的另一个注脚.