关于中点四边形模型的探究思考

2024-06-28孙锴

数学教学通讯·初中版 2024年5期

关键词：菱形中点矩形

孙锴

[ 摘要 ]中点四边形模型是初中数学探究的重点，涉及三角形中位线定理、特殊图形的判定定理等知识.解读模型、总结结论、应用强化对于提升学生的知识水平和解题能力有极大的帮助.文章探究中点四边形模型，开展模型教学思考，提出相应的教学建议.

[ 关键词 ]平行四边形；中点；模型；菱形；矩形

中点四边形模型是一种特殊的几何模型，该模型以四边形的中点为基础构建，形成的新图形为平行四边形，且增加几何条件可形成特殊的平行四边形.本文将深入探究中点四边形模型，并结合实例突破解题探究.

引例探究

引例：如图1所示，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，顺次连接E，F，G，H四点，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

点评：上述探究四边形EFGH的形状，即任意四边形中点连线所得图形的形状，根据上述结论可知为平行四边形.实际上上述题目涉及中点四边形模型，即依次连接四边形四边的中点，所得四边形即为中点四边形，其知识核心为三角形的中位线的性质定理.

模型总结

中点四边形模型在初中数学中十分常见，增设条件不同，所获得的平行四边形不同，可将平行四边形演变为菱形、矩形、正方形，下面深入探究，总结模型.

中点模型1——矩形

增设条件：对角线垂直（图2中BD⊥AC）.

结论：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形.

证明：点M，N，P，Q分别是任意四边形ABCD四边的中点，由引例结论可知四边形MNPQ为平行四边形.

由于AC∥PQ，则∠2=∠1=90°.又知MQ∥BD，所以∠3=∠2=90°.可证四边形MNPQ为矩形.

中点模型2——菱形

增设条件：对角线相等（图3中BD=AC）.

结论：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.

中点模型3——正方形

增设条件：对角线平行且相等（图4中BD⊥AC，且BD=AC）.

结论：对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.

证明：根据模型2的思路可先证明四边形MNPQ为菱形，再结合模型1的结论可证明其为矩形，进而可证明其为正方形.

解题探究

上述具体探究了三种特殊的中点四边形模型，即菱形、矩形、正方形成立的条件，并总结结论，探索证明过程.而在实际考查时，中考模型问题的题型多样、综合性强，下面结合实例具体探究、解析.

1.模型中的综合探究

例1 在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形（如图5所示）.

（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的：

①当对角线AC = BD时，四边形ABCD的中点四边形为形；

②当对角线AC⊥BD时，四边形ABCD的中点四边形是形.

（2）如图5，在四边形ABCD中，已知∠B =∠C = 60°，且BC = AB + CD，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.

思路分析：上述为几何中较为特殊的中点四边形模型问题，题设两问，分别探讨特殊条件下四边形的形状.解析探究时要结合中点四边形模型的相关知识，结合题设条件按照“四边形→平行四边形→特殊图形”的思路来证明.

过程解析：（1）①该问探究“对角线相等”条件下的中点四边形形状，可连接AC，BD，利用三角形中位线定理来证明四边形EFGH是平行四边形，再证明其为特殊图形.

连接AC，BD，如图6所示.已知点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD，FG∥BD，所以EH∥FG.同理可证EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形.

已知对角线AC=BD，所以EH= EF，可证四边形ABCD的中点四边形是菱形.

②该问探究“对角线垂直”条件下的四边形形状，把握其中的垂直关系即可.

当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，所以四边形ABCD的中点四边形是矩形.

（2）该问探究等角关系及线段关系下的中点四边形形状，可证明其中的全等三角形，再利用其结合第（1）问的条件来得出结论.

解后评析：上述以中点四边形模型为背景开展几何探究，题设两问，设定不同条件来探究四边形的形状.解析探究时，要充分利用图形的性质条件，作辅助线构建模型.上述解析过程涉及矩形、菱形的判定和中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形及菱形的判定定理是解题的关键.

2.新定义中的模型探究

例2 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫中点四边形.

（1）如图7（a），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 .

（2）如图7（b），P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC= PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点.猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.

（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）.

思路分析：上述以新定义的命题形式考查中点四边形模型，解析探究时要理解新定义，即中点四边形的定义，挖掘其中的性质定理.后续探究时要充分利用设定条件，按照“四边形→平行四边形→特殊图形”的思路来逐步探究.

过程解析：（1）该问证明中点四边形的性质，实则考查对新定义的理解，利用三角形的中位线定理即可推出结论.

（2）该问进一步设定条件，涉及等边、等角条件，猜想验证中点四边形EFGH的形状.探究时可提取其中的特殊三角形，利用其性质来推导结论.

结合第（1）问可知中点四边形EFGH是平行四边形，所以平行四边形EFGH是菱形.

（3）该问进一步变更条件探究中点四边形的性质，分析猜想可知其为正方形，则可按照“特殊四边形→菱形→正方形”的思路逐步证明.

解后评析：上述以新定义的形式考查中点四边形模型，问题整体上具有关联探究的特点，所涉三小问之间具有相关性，其结论可以互通互用.解析突破时要理解定义、合理猜想、严谨论证，利用特殊四边形的证明思路，作图建模，推导论证.

教学思考

上述围绕中点四边形模型开展探究，总结模型结论，探索证明思路，并结合实例进行拓展探究，整个过程对于强化学生基础知识，培养探究能力极为有利.同时模型的探究思路具有一定的教学参考价值，下面结合教学实践进一步思考，提出几点建议.

1.以基础知识为探究出发点

几何模型探究是初中数学教学的重要内容，有利于几何知识整合与重构，可帮助学生梳理知识网，强化知识基础.模型探究时要以基础知识作为出发点，立足教材的性质定理，引导学生思考，逐步构建模型.以上述中点四边形模型为例，探究时立足三角形中位线定理、平行四边形判定定理，构建几何模型.具体教学中要注意两点：一是引导学生理解定理，掌握定理本质；二是让学生体会模型的构建过程，感悟模型结构.

2.将模型总结作为探究关键

几何模型探究中要注意总结归纳，即总结模型特征、证明思路、几何结论，探究时按照“特征分析、定理证明、结论总结”的思路来开展.以上述中点四边形模型为例，从引例入手呈现构建过程；分步探究总结模型的三种情形，并加以证明.因此，教学中教师要注意引导学生总结模型，掌握模型问题的探究思路.可分如下三个环节来开展：一是构建探索，引导学生探索模型特征；二是开展模型“猜想—验证”，培养学生的思维能力；三是总结模型结论，指导学生总结归纳，生成几何结论.

3.将应用强化作为教学重点

“应用强化”是模型探究的重要环节，应作为教学的重点，即针对几何模型精选问题，引导学生开展解题探究，应用模型知识及分析思路来处理问题，提升学生的知识应用能力.以上述中点四边形模型的解题探究为例，从“知识综合”和“新定义拓展”两大视角设定问题，按照“思路分析—过程解析—解后评析”的思路进行解题探究.探究过程中注意学生的思维培养，渗透数学的思想方法，提升学生的综合能力.