立足基本图形 提升解题能力

姚正江

[ 摘 要 ]基本图形是解决图形问题的基础，“两相等线段共用一端点”这一基本图形在初中数学几何解题中具有重要地位.文章以该基本图形的专题复习教学为例，分别从“开门见山，揭露主题”“借助图形，夯实基础”“应用图形，深化理解”“例析图形，提升能力”四个方面展开教学与分析.

[ 关键词 ]图形；解题；教学

学生通过学习要掌握且能应用一些基本图形来解决问题.教师在实施教学时要有意识地强化学生对图形的应用意识，引导学生从基本图形中发现问题、描述问题，以发展空间想象力.为此，笔者在初三复习阶段，对基本图形进行了探索，对利用基本图形提升数学解题能力展开了教学与研究.本文以“两相等线段共用一端点”的复习教学为例展开阐述.

开门见山，揭露主题

如图1，线段AB，AC拥有一个公共的端点A，形成∠BAC，本节课就以这个常见图形为例，展开对基本图形的专题复习.

设计意图 这是一个常考常新的基本图形，在日常练习或检测中比较常见，本节课以此为专题复习的起点，门槛较低，便于各个认识水平层次学生的理解.

借助图形，夯实基础

教学设想 引导学生从这个基本图形出发展开联想，发现含有该结构的简单图形，分析图形间的异同点，增强对图形关联性的认识，以提升解题能力与空间想象力.经交流，学生列举出如下含有该基本图形结构的常见图形：①含有中点的线段；②等边、等腰三角形；③正方形、菱形；④扇形.如图2，扇形比较特殊，它是在图1的基础上增加了一条曲线.

设计意图 要求学生自主总结包含“两条相等线段共用一端点”的基本图形，为接下来的复习专题研究奠定基础，并特别强调扇形的特殊性，以发展学生的归类能力，让学生感悟从特殊到一般的数学思想.

应用图形，深化理解

之前在学习基本图形时，教师并没有将具有特殊结构的图形作为教学的重点，所以大部分学生都没有深入探索过这些特殊图形.复习教学时，教师可带领学生适当地增加对特殊图形的研究，以拓宽学生的视野，深化学生对平面几何的理解.如筝形、对角互补的四边形等.

例1 如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=2，CD=4，∠B=∠D=90°，则BD的长是多少？

将“相等线段共用同一端点”这个结构应用到对角互补的四边形中，可让学生对对角线与边长的关系产生深刻认识.因此，这是一个值得探索的问题.

为了引发学生对该基础图形的认识，笔者由浅入深地设计了问题串，以启发学生的思维.

问题1 从动态的角度来观察上述图形的构造（即延长DC至点E，使AD=EC），图形发生了什么变化？

预设：可将△BEC视为△BDA围绕点B旋转之后而获得的.

问题2 图3中存在“两条等长线段共用一个端点”的基本结构吗？该结构在解决问题中起到了怎样的作用？

问题3 问题中所提到的四边形对角互补具有怎样的作用？

预设：∠BCE=∠BAD.

问题4 通过以上分析可以发现，图形位置的变化，有效启发了我们的思维，若一开始我们就从旋转的角度来分析问题，那么在本题中旋转的契机在哪儿？

预设：因为明确存在“相等线段共用一个端点”的基本结构，因此可视为将BA围绕点B旋转到BC，同时△BDA则旋转到△BEC的位置.

问题5 点E为什么落在了DC的延长线上呢？

预设：因为∠BAD和∠BCD是互补的关系，因此∠BAD的对应角∠BCE和∠BCD为互补的关系.

问题6 由图形位置变化可发现新图形的产生，具体会产生什么新的图形呢？

预设：△DBE为等腰直角三角形.

问题7 你是如何获得∠EBD= 90°这个结论的？

预设：根据AB与BC的夹角为90°而得.

设计意图 “两相等线段共用同一端点”的基本结构为学生展示了动态变化的多种可能，而图形位置的变化则带来了更多新的解题思路，让解题获得了多种可能.两条线段夹角度数问题对新的图形中的角具有直接影响，因此可以此作为模型为后续例题教学服务.

例析图形，提升能力

例2 如图4，若点E，F分别为正方形ABCD的边DC，AD上的点，已知CE+AF=EF，那么∠EBF的度数是多少？

为了让学生充分认识到本节课所探索的基本图形具有怎样的作用，教师可设置一些复杂的图形，鼓励学生从中探寻基本图形.如对于例2，就能从与正方形结合的图形中发现基本图形.

例3 如图5，△ABC为一个等腰直角三角形，且D是斜边AC上一点，那么AD，BD，CD之间存在怎样的数量关系？

除此之外，教师还可以引导学生从类似结构（等腰直角三角形）中发现端倪，以提高学生的空间想象力，或通过变化两线段夹角的大小，引导学生观察并总结新图形中角度的变化情况.

例5 如图7，已知△ABC中的∠A为直角，D是BC边的中点，且DE⊥DF，DE与AB相交于点E，DF与AC相交于点F，分析线段EB，EF，FC之间存在怎样的数量关系，并说明理由.

例7 如图9，已知△ABC为⊙O的内接等边三角形，P为圆上一动点，请证明：AP = BP + CP.

例8 （去除常见图形） 如图10，已知△ABC中的AB边与AC边相等，将线段BC围绕着点B逆时针旋转60°，可得线段BD，若∠ABE= 60°，∠BCE=150°：

（1）请判断△ABE为怎样的一个三角形，并证明；

（2）连接DE，若明确∠CED= 45°，则∠BAC的度数是多少？

设计意图 例8去掉了等边三角形，只留下了最基本的图形结构，将结构的核心凸显出来.如此设计，是为了进一步强化“两相等线段共用同一端点”这个基本图形在解题中的重要性.

结语

几何是发展学生空间想象力的基础，也是初中数学教学的重点与难点内容之一.事实证明，任何一个复杂图形都是由最基本的图形经过变式而来的，引导学生建立基本图形，并从中抽象模型对锻炼学生的解题能力与数学思维具有深远的影响.

本节课作为初三复习中的一次尝试，笔者从专题的角度带领学生由浅入深地分析基本图形，不仅有效提高了复习成效，还显著加强了复习内容的综合性与关联性.学生通过对基本图形的提炼、应用、感悟，进一步拓宽了视野，发现了解决问题的本质.