走进多函数几何，方法探究总结

曹玉利

[ 摘 要 ]多函数几何综合是中考的重点和难点问题，常作为压轴题出现，可综合考查学生的基础知识与综合能力.探究解析时需要把握知识关联点，数形结合解析函数与图象，提取模型转化条件.多函数综合题的解析思路十分重要，文章结合实例开展探究总结.

[ 关键词 ]多函数；数形结合；图象

问题探究

1.问题呈现

（1）求直线BD的解析式；

（2）E是线段BD上的一个动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在抛物线对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE，OP，PQ，求OP+PQ+QE的最小值；

（3）如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′，C″B，记C″B与x轴形成的较小夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求出此时点C″的坐标.

2.考点解析

上述为抛物线综合题，涉及函数与几何的相关知识，可归为多函数几何综合题，即包括了二次函数与一次函数的相关知识.题设三问，每问各自独立又具有一定的关联，探究解析时要深入解读条件，结合图象分析.

第（1）问求解直线BD的解析式，考查待定系数法.

第（2）问求解线段和的最小值，为线段最值问题.题干设定动点，构建折线，涉及点的对称，考查对称转化、动点模型构建等知识.

第（3）问求解点的坐标，涉及三角形翻折、平移等知识，属于几何动态问题，考查几何翻折、平移特性，函数背景下的几何动态分析转化是破题的关键.

3.思路突破

对于多函数几何综合题，可以采用分步突破的策略，即对特定问题条件进行针对性解析，把握关键信息，构建模型，逐步突破，下面具体探究.

第一步，待定系数求解析式

第（1）问求解直线BD的解析式，可先求出点B，D的坐标，假设出直线BD的解析式，再分别代入即可求解.

②线段和最值求解：如图4所示，作点E关于y轴的对称点N，EM⊥AB于点M，连接MN，交对称轴于点P，交y轴于点Q.由于点M，O关于对称轴对称，可得OP=PM.又知点E和点N关于y轴对称，则QE= QN，所以有OP + PQ + QE = PM + PQ + QN.

解后探究

上述基于一道函数与几何综合题开展解题探究，其中问题涉及多函数，主要探究二次函数与一次函数的图象，分析抛物线与直线的位置关系.其中后两问是问题的核心之问，解析过程与探究思路具有一定的参考价值，下面进一步探究解法.

1.关于第（2）问的解法探究

问题的第（2）问探究线段和最值，涉及三条线段，解题的核心知识是“两点之间，线段最短”，即构建线段共线，确定最值情形.上述解析的关键有两点：一是推导关键点的坐标，构建三角函数模型，借助三角函数来推导几何角，求出两线段和的最值，确定关键点的坐标；二是开展对称转化，构建线段共线，确定最值情形.

后续对于与线段和相关的最值问题，可按照如下步骤进行思路构建：

第一步，数形结合分析函数图象之间的位置关系，把握其中的几何特性；

第二步，充分提取图象中的几何模型，如相似模型、直角三角形模型、全等模型，进行线段关系转化；

第三步，把握线段的位置关系，开展对称转化，分析共线条件，构建共线模型，确定线段最值情形，完成求解.

2.关于第（3）问的解法探究

问题的第（3）问探究几何运动中点的坐标，其中三角形经历了翻折与平移，需要从“数”与“形”双重视角解读其中的几何运动.即翻折与平移过程中图形的形状并未发生变化，同时函数的解析式存在一定的关联.上述解析的关键有两点：一是把握翻折与平移的几何特性，推导几何条件；二是提取其中的相似模型，基于相似三角形对应边成比例构建方程，解方程求点的坐标.

后续对于与几何运动相关的综合问题，可按如下步骤进行思路构建：

第一步，理解几何运动过程，基于运动规律推导几何条件；

第二步，整合几何条件，提取其中的几何模型，挖掘隐含条件；

第三步，数形结合分析和转化条件，构建思路解题.

3.关于多函数综合题的解题策略总结

多函数综合常作为压轴题在中考中出现，通常融合一次函数、反比例函数与二次函数中的两种或三种，具体解析时要把握函数的图象和性质，逐步推理解析，有如下三种破解策略.

策略1：数形结合解析.对于多函数几何问题，可采用数形结合的分析策略，即审题、读题、理解图象，把握图象挖掘隐含条件，利用图象模型来转化条件.

策略2：把握对应关系.函数解析式与图象之间存在一定的关联，探究解析时可从“数”与“形”两个视角来解读.如联立函数解析式构建方程，所求点的坐标即为函数图象的交点，解的个数即为交点的个数.也可反向利用交点个数来解析方程解的个数.

策略3：提取模型简化.多函数几何问题的综合性强，解题时可以采用模型提取的方式，即简化图象，提取特殊模型，利用模型来转化条件.如提取图象中的全等或相似模型，直角三角形或等边三角形模型，利用模型特性来分析与转化条件.

拓展探究

上述总结了多函数问题的解题策略，以及典型问题的解题方法，下面结合实例进一步探究，强化解法，积累解题方法.