在活动中培养几何直观

曹建英 唐珺

[ 摘 要 ]根据陶行知先生的“知行合一”理念，为探索育人方式，丰富学生的学习方式，激发学生的学习兴趣，文章通过一节动手拼图课从“形”的角度引导学生对整式的乘法进行再认识，在拼图过程中积累活动经验，培养几何直观.

[ 关键词 ]数形结合；几何直观；整式乘法

基金项目：江苏省中小学教学研究第十四期课题“融合理念下初中数学学科德育的实践研究”（2021JY14-L08）.

问题提出

陶行知认为“行是知之始，知是行之成”“教学做合一”.《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程……学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”.本文以“拼图：整式的乘法再认识”教学为例，通过操作实验、合作探究等多种学习方式，让学生在活动中学习、感悟、体会数形结合思想方法，从而培养几何直观.

苏教版教材七年级下册（2013年）第9章“整式乘法与因式分解”中“整式乘法”一课都是通过两种不同方法计算长方形的面积得到等式，也就是采用“算两次”的思想，目的是借助图形的直观，使学生易于发现结论.这样的情境引入固然可以，但缺乏思考性，比如，是如何想到将整式乘法与图形面积联系起来的呢？所以实际教学时教师要融合这一章和前一章“幂的运算”，从数学内部发展的需要（从整式的加减到整式的乘除）出发，根据乘法运算律探讨获得整式乘法法则.在整式乘法课程结束后再安排一节活动课，一方面带领学生从“形”的角度再认识整式乘法，另一方面为后续学习因式分解做铺垫.当然，活动课前也存在多种疑虑：首先，学生刚学完整式乘法，如何实现从“数”的研究转为“形”的研究？其次，当个别学生在拼图中遇到阻碍时，是个别指导还是集体交流？会不会因此影响教学进度，完不成教学任务？最后，既然是活动课，那么学生要用的导学单肯定和其他课不一样，如何设计活动课的导学单更利于学生使用？

教学之策

基于以上疑虑，笔者首先确定了导学单的样式——模仿物理和化学学科自制了一份类似的实验报告；其次，整式加减以及整式乘法的运算法则都是类比有理数的，所以这节课依然顺着这个思路，用类比思想从“数”的角度开始研究；再次，对于课堂中部分学生拼图时出现的典型问题，先通过小组合作解决，组内不能解决的再集体展示、交流、思考.具体教学流程如下.

1.以数启思

问题1 你如何理解6这个数？

追问：“6=2×3”这样的形式能不能从几何的角度来理解呢？

预设：可以表示长为3、宽为2的长方形的面积.

问题2 3a？b（a>b>0）又可以怎样理解？

预设：3ab=3a？b，表示长为3a、宽为b的长方形的面积；

或3ab=a？3b，表示长为a、宽为3b的长方形的面积.

【设计意图】 本节课的起点依然是整式，与之前探索整式乘法一样，借助数的研究过渡，追问就起着承上启下的作用.通过对数字6的理解，教师启发学生思考整式3a？b（a > b > 0）的意义，可以说是顺势而为，学生易于理解和接受.问题2则将学生引入活动课，激发了学生的学习热情和好奇心.

2.以拼助想

问题3 如图1，有三种卡片：A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（边长为b的正方形）、C型卡片（长为a，宽为b的长方形）.

请用这三种卡片拼出长为3a、宽为b的长方形和长为a、宽为3b的长方形，并把它们画在报告单上，注意标上必要的线段的长度.

预设：学生独自探索，尝试拼出这两种长方形，并完成报告单；教师巡视，对个别拼图困难的学生进行指导；最后引导学生根据所画图形从几何角度理解整式乘法的意义，即如果将3ab = 3a？b反过来看，3a？b = 3ab就是之前所学的单项式乘单项式，从几何角度看，等式左边表示一个长为3a、宽为b的长方形的面积，而等式右边表示3个长为a、宽为b的长方形面积之和.

例1 根据整式乘法的几何意义，请尝试用这三种卡片拼图，并完成相应的实验报告：

（1）2b（a+b）；

（2）（a+2b）（a+b）；

（3）（a+b）？？2.

预设：学生先独立思考，再小组交流，最后由代表展示成果，教师不做个别指导.教师明确要求在拼图前，根据乘法算式的特征猜想即将拼成的长方形的特征；通过师生交流，大家一致认为先拼一边，再去凑另一边，最后一定是一个长方形；学生投影展示拼成的效果图以及用到的材料；学生根据两次计算图形面积得到以上三个整式相乘算式的结果.

【设计意图】 七年级的学生正处于由具体的形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段，因此说出以上几个整式相乘的几何意义很容易，但要直接画出相应的长方形肯定有困难，所以画图前他们还是像引例那样先拼图，拼完后再照着画.著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展.”教学时，教师要让学生在实践中感知“我拼出来了”“我会画”.最后通过观察图形特征，计算图形面积，获得算式结果，旨在培养学生的几何直观.

3.以变激趣

问题4 请尝试用这三种卡片拼出长为（a + b）、宽为（a - b）的长方形，并完成报告单.

例2 根据整式乘法的几何意义，请尝试用这三种卡片拼图，并完成相应的实验报告：

（1）（3b-a）（a+b）；

（2）（a-b）？？2.

预设：学生独自或小组合作完成.

【设计意图】 例1中几个算式括号内的式子只涉及加法，可以先拼一边，再拼另一边，学生不断尝试，最后拼成一个大长方形.拼接时只需一张接着一张，无缝隙、无重叠续拼就可以了.而例2中括号内的式子含有减法，且式子比问题4的要复杂些，当学生在合作解决问题4的过程中积累了一定的拼图经验以后，会对例2有更浓的探究兴趣，并生发出征服难题的欲望.

4.以练增智

已知图4是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图5的形状拼成一个正方形.

（1）图5中阴影部分（正方形）的边长等于多少？

（2）请用两种不同的方法求图5中阴影部分的面积.

（3）观察图5，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

（m+n）2，（m-n）2，mn.

（4）根据（3）中的等量关系，解决以下问题：若a+b=6，ab=3，求（a-b）2的值.

【设计意图】 有了前面的活动经验，学生在掌握了“数”与“形”的关系后，易于从图形面积的角度解决此问题，这能很好地培养学生的几何直观，同时能让学生明白学数学是为了用数学，体现数学的应用价值.

5.以思促能

知识层面：通过这节课，你对整式的乘法有何新的认识？

方法层面：在拼图过程中，你积累了哪些活动经验？

能力层面：你的哪些能力得到了锻炼或提高？

【设计意图】 学生根据问题分享各自的想法，起到回顾整节课并进行反思的目的.

报告单见表1.

教学反思

1.帮助学生积累活动经验

陶行知在《教学做合一下之教科书》中给“做”下了一个定义：“做”是在劳力上劳心.因此，“做”含有三个特征：行动，思想，新价值之产生.

在例1的拼图环节，有的学生拼的方式与预设的不同，如图6，教师首先要肯定这样的拼法完全正确——虽然和预设的图7不同；其次，要鼓励那些拼出图8但没有继续往下拼的学生，要鼓励他们有一路走到底的勇气，成功仅一步之遥；最后，要帮助学生总结拼出图形的方法，不能一味地让学生尝试，要让学生在不断尝试后学会沉淀成功的经验：先根据学过的整式乘法计算出算式的结果，根据每一项及其系数预测需要用到的卡片类型和张数，缩小选择的范围，再来拼，这样较容易；拼的时候要注意一行行对齐，有利于画图.这就符合“做”的前两个特征，即从“行动”到“思想”.接着，让学生往深处思考：能否不通过拼而直接画出如（a + b + c）2的长方形，并依据图形得到结果？这样这节课活动的目的就算真正达到了——“拼是为了不拼”，体现“做”的第三个特征——新价值之产生.

2.关注思想方法，培养几何直观

本节课是体现数形结合思想的大好机会，华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合千般好，数形分离万事休.”教学中教师要多引导学生积累从“数”与“形”两个角度认识数学的经验.数形结合是研究数学问题的常用方法，更是培养学生几何直观的最佳途径.史宁中教授也曾说过，“数学结论是看出来的，不是证出来的”，这就说明几何直观的重要性和优越性，它有助于学生探索解决问题的思路，能帮助学生借助图形的直观得到结论.