指向“返朴归真”的数学教学

王昌林　杨坤林　刘成龙

[摘要]从三个视角阐述“返朴归真”的数学教学：一是返教学方法之朴，归理念之真；二是返教学设计之朴，归过程之真；三是返教学手段之朴，归技术之真．

[关键词]返朴归真；数学教学；两角差的余弦公式

近年来，“研究性学习”“深度学习”“项目式学习”等新的课堂教学组织形式如雨后春笋般地呈现在大众视野．这是教育不断发展、进步的结果，引发了一些传统教学组织形式的变革，这些新的课堂教学组织形式也存在一些问题，例如．缺少数学味道．严重忽视学情，过分追求课堂热闹，滥用信息技术，等等．这些问题严重偏离了我们一直以来所倡导的真实、自然、质朴、深刻的中学数学课堂．尽管教育随时代的进步在不断变化，但是教育的基本规律亘古不变，课堂教学的基本功能也未曾改变，所以理性、朴实的数学课堂教学仍然是时代的主旋律，为此．笔者提出“指向‘返朴归真的数学教学”．下文以“两角差的余弦公式”的教学为例．从三个视角阐述“返朴归真”的数学教学；返教学方法之朴，归理念之真；返教学设计之朴，归过程之真；返教学手段之朴．归技术之真．

返教学方法之朴，归理念之真

1．深刻把握学情．以学生实际为中心

奥苏贝尔曾说：“影响学习的唯一重要因素就是学习者已经知道了什么．要探明这一点．并据此进行教学，”因此．掌握学生真实的学情．并以此设计教学才是合理且有效的．“两角差的余弦公式”的教学，现有很多好的教学模式，可以照搬吗？答案是否定的．这是因为不同的学生具有不同的学情，“返朴归真”的教学是去掉外在装饰，恢复知识原本的质朴状态，选择适合学情的“两角差的余弦公式”的教学模式，在教学中，应以学生实际为中心．思考诸如此类的问题：为什么要学习两角差的余弦公式？学生具备哪些知识和经验呢？与两角差的余弦公式一脉相承的知识有哪些？怎么教学两角差的余弦公式？等等．

2．制定教学目标，以课程标准为准绳

章建跃博士曾将数学教育的“目标域”细化为三个层次：课程目标、单元目标以及教学目标，其中．教学目标是微观目标．简单来说就是课堂教学目标．想要上好一堂课，教学目标的制定尤为关键，那么如何制定呢？《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称“新课标”）指出：“教学目标制定要突出数学学科核心素养，要结合特定教学任务．思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点．”因此，可将两角差的余弦公式的教学目标制定为：经历两角差的余弦公式的推导过程．感受两角差的余弦公式的文化背景与证明的多样性．知道两角差的余弦公式的意义．

3．研究教材内容，以编者意图为抓手

对比人教A版新老两套教材可以发现，人教A版必修4（老教材）中的“两角差的余弦公式”一节内容编排在平面向量之后．而人教A版必修第一册（新教材）中的“两角差的余弦公式”一节内容之前没有编排平面向量，因此对现行的“两角差的余弦公式”的教学设计，就不能应用平面向量这一工具进行．在两角差的余弦公式的证明中，新教材舍弃了老教材中的三角函数线以及平面向量的证明方法．而是借助单位圆利用两点间的距离公式进行证明．这样的改变不仅是强化单位圆的地位．更是教材编排上的“返朴归真”．三角函数线以及平面向量对两角差的余弦公式的证明固然是不错的方法，但其中的三角函数线在实际讲解中较为烦琐，也脱离了最初学习三角函数的基本路径．单位圆贯穿新教材必修第一册的第五章，学生可借助前面几节内容的学习经验进行探索．充分体现数形结合思想方法．有利于从整体上把握“三角函数”一章内容．

返教学设计之朴，归过程之真

1．问题引入．激发动机

问题1 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图1所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间的距离约为60米．从点A观测电视发射塔的仰角（∠BAD）约为60°，从点A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°．求这座电视发射塔的高度．

评注 问题1改编自人教A版必修4第124页的章节引入问题．通过把质朴、真实的生活情境抽象为数学问题，让学生感受到数学就在身边，进而发展学生的应用意识．充分体会学习两角差的余弦公式的必要性．

2．直观感知．先猜后证

问题2 审视问题1发现．求电视发射塔的高度则需要求cos15°的值．即cos（60°-45°）的值，能否根据45°．60°的三角函数值表示cos（60°-45°）？

评注 大多数学生很难用45°，60°的正弦值或余弦值表示出cos（60°-45°），设计问题2意在让学生有犯错的体验和经历．充分感受学习就是在不断犯错、纠错的真实过程中不断完善．

追问1：观察表1中的数据，同学们有什么发现？

追问2：请同学们猜想，如何运用30°，45°，60°等特殊角的三角函数值计算cos15°？

追问3：请同学们猜想，α，β的三角函数值与cos（α-β）有什么关系？

意图 涉及α-β的余弦值的问题，一般考虑联系单位圆或平面向量知识求解，但由于新教材将平面向量安排在本节内容之后．因此构造如图2所示的单位圆进行证明．

设单位圆与x轴的正半轴相交于点A（1，0），以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，终边分别与单位圆相交于点P1（cosα，sinα），A，（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sm（α-β））．连接A1P1，4P.运用几何画板动态演示．将扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合，根据圆的旋转对称性可知AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1．根据两点间的距离公式得[cos（α-β）-1]2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，化简得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．当α=2kπ+β（k∈Z）时，易证明上式成立，所以，对于任意角α，β，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

评注 追问1给出cos30°三组表达形式．方便学生从熟悉的特殊三角函数值入手，在设计表格数据时按其顺序排列两角差的余弦公式．有助于学生快速找到数据间的关系，从特殊到一般是获得结论的一般方法．有助于学生提升自主探究能力，这一过程．可谓水到渠成，质朴无华．

3．历史溯源，文化浸润

新课标指出：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义．以及与数学相关的人文活动，”将数学文化．尤其是数学历史搬入课堂．让数学活动充满历史厚重感，既是对数学发展历史的传播，又是对数学历史的尊重．体现了回归本真之心．

溯源1 3世纪末．亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》中给出了这样一个命题；如图3所示，设H是以AB为直径的半圆上的一点．CE是半圆上在点H处的切线．CH=HE.CD和EF为AB的垂线，D，F是垂足，则（CD+EF）．CE=AB．DF．令∠COH=β，∠HOF=α，则∠EOF=∠FOH-∠EOH=α-β．这样在平面几何中发现两锐角差的余弦公式.

溯源2 20世纪90年代末，美国《数学杂志》开辟了“无字证明”专栏（ProofWithoutWords），如图4所示，可以直观得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

评注数学史家M·克莱因（Mor-risKline）指出：在教科书和学校的课程中．都将“数学”看作一系列毫无意义的、充满技巧性的程序．数学如果脱离了其丰富的文化基础．就会被简化成一系列的技巧．它的形象也就被完全歪曲了．通过溯源1与溯源2中的图形的展示．可以让学生从简洁的几何图形中发现两角差的余弦公式，同时也为后面学习两角差的正弦公式提供了证明参考，充分发挥了平面几何图形的直观性，通过在教学中渗透数学文化，让学生了解数学的发展历程．引导学生认识和感悟数学的文化价值．树立文化自信、提升人文素养．

4．注重反思，提升认识

新课标将数学基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验简称为“四基”，发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力简称为“四能”．并以此作为学生进一步学习以及未来发展应具备的能力．在溯源环节．学生掌握了溯源1与溯源2的共同特征，并通过参考帕普斯提出的命题、美国《数学杂志》的“无字证明”，获取了证明经验、方法和技能．

证明 如图5所示，P为单位圆上一点，过点P分别作OP，与x轴的垂线，垂足分别为C与B;过点C作x轴的垂线，垂足为A;过点P作AC的垂线，垂足为D．由此可得．∠ACP=∠BOC=α．因为OP=1，所以OB=cos（α-β），oc=cosβ，PC=sinβ，则DP=PCsinα=sinαsinβ，OA=OCcosα=cosαcosβ．由于OB=OA+AB=OA+DP，因此cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

评注 单位圆是定义三角函数、推导同角三角函数基本关系式和诱导公式、理解三角函数的性质、作三角函数图象等内容的直观载体和重要工具．因此．引导学生运用单位圆进行证明，有利于回归本章节教材的编写意图和逻辑起点．

5．分层作业，尊重差异

层次1 梳理本节课所涉及的两角差的余弦公式的证明方法．

层次2 查阅资料．给出两种有别于本节课涉及的两角差的余弦公式的证明方法．

层次3 尝试探究两角和的余弦公式.

评注 通过分层布置差异化、高质量的作业．让不同的学生在数学学习中有不同的选择，从而实现不同的发展．这既体现了作业的价值．又回归了教育的初心．

返教学手段之朴，归技术之真

1．注重课堂板书演示．展示思维逻辑

随着信息技术的发展，电子课件，白板的广泛使用给教学带来了便利．随之而来的也有一些问题．例如。课件演示代替板书，使得板书越来越少，甚者还出现了“零板书”的现象，众所周知．板书作为辅助教学的一种基本手段．是教师的一种基本技能．它能全面展示教学过程．是教学活动的重要组成部分．事实上，在复杂而细腻的教学活动中．板书从来不是孤立存在的对象，而是凝聚思想、知识、技能、艺术等诸多因素的综合体，它既是对知识的再加工．又是对教学艺术的再创造，同时还是对教学过程以及逻辑关系的再现．

如图6所示．这是两角差的余弦公式探究过程的板书．有利于学生“慢思考”和“再思考”，例如，学生在教师板书的过程中思考，避免由于PPT展示过快造成思维困境．同时．学生在教师完成讲解后，利用板书“再思考”，从而实现思维的“再深化”，因此．只有以发展学生为前提，尊重学生的身心发展规律．遵循教学的基本原则，把握学科的基本特征，才能更好地把握板书的价值，发挥板书育人的作用．

2．规范运用信息技术，提升课堂效率

新课标的实施建议中的第5条明确指出：重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果．例如．利用计算机展示函数图象、几何图形运动变化过程；利用计算机探究算法、进行较大规模的计算；从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果．帮助学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率．现代信息技术在数学教学中是学生学习和教师教学的重要辅助手段，其具有直观、形象等特点．恰当运用可以提升课堂效率．例如，本课运用几何画板可以快速准确地呈现单位圆，以及验证学生对cos15°的猜想．如图7所示，不仅加深学生对两角差的几何印象．更能引发学生的探究兴趣，因此，现代教育技术的合理使用对开阔教学思路、提高教学效率、激发学习兴趣发挥着重要作用，但值得注意的是数学课不是计算机课，规范运用信息技术是十分必要的．我们不能用技术的演示代替学生的思考和教师的讲解．

3．“互联网+教育”，融合信息时代便捷

互联网的蓬勃发展．使得“互联网+教育”成为一种必然．与传统课堂相比较，互联网可以将课堂有效前置和延后．在传统教学中，学生的学习资源局限于教材和教辅资料．学生甚至教师几乎不会通过其他途径获取更多的学习或教学资源，传统课堂对学生的信息反馈比较滞后，且不够准确．而“互联网+教育”下的课堂．教师通过平台的数据分析，可以快捷、准确地获取学生的真实学情，从而有针对性地制定课堂教学方案．同时，“互联网+教育”下的课堂之前．教师可以利用互联网平台收集学生对课前任务的完成情况并作数据分析；课堂之中，教师可以及时根据学生的反馈情况，对教学方法与内容难度进行适当调整；课堂之后．根据不同学生的作业反馈．为学生推送个性化的练习与探究性的学习素材．例如，本课后的层次2和层次3的作业学生直接完成有一定困难．教师可以引导学生运用互联网平台进行资料查阅、在线讨论和成果反馈．

基金项目：2022年内江市教育局高校基础教育研究专项课题“指向数学核心素养发展的复习课教学研究”；2022年内江市社科规划项课题“中小学教师有效教育科研的提升策略研究”．