对一道等差数列一题多解问题的思考

摘要：数学学习不仅要学会基本的知识、思想和方法，更重要的是要学会地思考问题，以一道课本例题为例，不仅对知识、思想和方法进行了梳理，还展示了学习过程中对这个问题不同解法的完整思考过程。

关键词：等差数列  课本例题  数学思考

1 问题提出

在数列学习过程中，选择性必修第二册4.2.2《等差数列的前n项和公式》第21页例7提供了以下解法。

题目1已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？

这个题求等差数列的首项和公差，条件给了两条关于该数列前n项和的条件，由本课所学知识，我们可以用等差数列前n项和公式列方程组，求解便可得出首项和公差。

下面是解答过程。

解法1 由题意，知

S10=310， S20=1220。

把它们代入公式

Sn=na1+d，

得[10a1+45d=31020a1+190d=1220]

解方程组，得[a1=4d=6]

所以，该等差数列的首项为4，公差为6。

这是课本上给出的比较常规的解答，建立方程组求出两个基本量。结合等差数列及等差数列前n项和的性质，我对这道例题进行深入的思考和研究，并想出了以下解法。

2 方法拓展

2.1利用Sn的特征

思考1  已知Sn=na1+[n（n-1）2d]，那么把它展开整理一下可得关于n的一元二次方程，即Sn=An2+Bn（A，B为常数），其中A=[d2]，B=a1-[d2]，由此，可以找出解该题的另一种思路，利用A，B代替a1，d，间接求解。

解2  由上述公式，得

[S10=100A+10B=310S20=400A+20B=1220]

解方程组，得[A=3B=1]

由A，B含义得[a1=4d=6]

2.2利用[Snn]的特征

思考2  已知Sn=na1+[n（n-1）2d]，那么整理可得[Sn]= [d2]n+（a1-[d2]），此时公式为关于n的一次函数，因为等差数列可与一次函数相互转化，所以此公式可以转换为公差d=[d2] 的等差数列，可由等差数列的性质解出此题。

解3 由上述公式，得[S1010=31S2020=61]

解得d′=[S2020-S101010]=3

所以[d=2d′=4a1=4]

2.3利用等差数列性质

思考3  已知{an}为等差数列，那么Sn，S2n-Sn，S3n- S2n，……为等差数列，公差为n2d，由此可解此题。

解4 由上述性质，得

S10，S20-S10，S30-S20……

已知[S10=310S20=1220]

所以

S20-S10=910

所以

d′=n2d=100d=600

解得

d=6

再代入公式，得

S10=10a1+270=310

解得

a1=4

综上[d=6a1=4]

3 一题多解

思考4 这里给出了本题四种不同的解法，相对于课本上提供的解法1，这些解法比较简单，但是需要建立在对基础知识充分掌握的基础上。下面结合历年一道高考题，我们研究一下这些方法的应用。

题目2 （2010辽宁高考文科 14题）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=

解1 由Sn=na1+[n（n-1）2d]，得

[3a1+3d=36a1+15d=24]

解方程组，得[a1=-1d=2]

所以

a9=15

解2 由Sn=An2+Bn（A，B为常数），得[9A+3B=336A+6B=24]

解方程组，得[A=1B=-2]

由A，B含义得[a1=-1d=2]

解3 由[Snn]= [d2]n+（a1-[d2]），得

[S33=1S66=4]

解得

d′=1

所以[d=2d′=2a1=-1]

解4 由上述性质，得

S3，S6-S3，S9-S6……

已知[S3=3S6=24]

所以

S6-S3=21

所以

d′=9d=18

解得

d=2

再代入公式，得

S3=3a1+6=3

解得

a1=-1

综上[d=2a1=-1]

由题目2证明，此四种方法适用于大部分等差数列求解问题，今后面对此类求首项与公差的题目，便可以由题目已知，灵活运用四种方法求解。

4 结束语

通过这次对课本例題的研究，我发现自己对等差数列的公式、性质的认识更上一层楼，并且发现了对于等差数列来说，可以从多种角度去看待一道等差数列的题目，从等差数列中感受熟悉的函数知识、代数法则，以及数列本身的性质，这使我以后再面对不会的数列题目时可以发散思维，去联系更多的知识。并且，通过此次研究，我发现了每道题背后都蕴含命题人的思想与心血，因此，在后面的数学学习生活中，我会用更加认真的态度来对待数学，并怀着敬佩的心理求解数学题。

教师评语：等差数列前n项和可以看成等差数列的重要性质，在高考中具有举足轻重的地位。孙晨淇同学运用了基本量、待定系数、性质应用等一系列方法对课本一道例题做了多种方法的推广，并结合一道历年高考题对方法做了进一步的研究和论证。“双减”背景下，一题多解的学习方式有利于加强学生思考的深度、广度和高度，学生在对等差数列前n项和公式的理解的基础上，提升灵活运用公式解决问题的能力。

指导老师： 潘文超