数学学具开发与应用：促进学生深度学习

冯征

［摘  要］ 学具开发与应用是学生数学学习的重要组成。在小学数学教学中，教师要引导学生开发趣味性学具、模型性学具、齐整性学具等，学具开发与应用能为学生的数学学习导航、助力、蓄能。学具开发为学生的数学学习打开了一扇门，能促进学生的深度学习。

［关键词］ 小学数学；学具开发；学具应用；深度学习

学具是学生数学学习的重要载体、媒介，对于提升学生数学学习效能具有重要的意义和价值。学具的不足、不到位会导致学生数学学习的肤浅，教师必须重视学具的引进、开发和使用。学具开发、使用能促进学生数学“深度学习”，学具不仅是学生的学习辅助手段，更是学生数学学习的重要组成。学具的开发彰显着学生的本质力量，体现着学生的生命实践智慧。传统的数学教学往往不注重学生的学具开发，而仅仅是让学生将现成的学具拿来使用。这种对学具的教学态度，遮蔽了学具的智力开发功能，导致学生在使用学具的过程中对其内在原理一无所知。开发学具不仅能让学生理解数学知识，还能激发学生的数学思维，引发学生深度探究数学知识。

一、开发趣味性学具，让学具为学生学习导航

开发小学数学学具能激发学生的数学学习兴趣，能调动学生的数学学习积极性。趣味性的学具指学具不仅“有意义”，而且“有意思”，使其成为激发学生数学学习兴趣、调动学生数学学习积极性的重要载体。好的学具能为学生的数学学习导航，数学学具是学生数学学习的“导航仪”“方向盘”“发动机”；好的学具往往既具有趣味性，又富含知识性，能助推学生深度思考与探究。

比如教学“观察物体”时，笔者开发了一种新颖的、独特的学具——“贴满双面胶的硬纸板”（贴贴板）。这样一种简单的操作便捷的学具，能激发学生的数学学习兴趣，为学生的数学学习导航。“贴贴板”是学生学习的媒介、载体，让学生能有效地、快捷地将从正面、侧面、上面看到的形状呈现出来，便于学生互动与交流，学生可以迅速地摆放出“从正面看到的形状”“从上面看到的形状”“从侧面（左面、右面）看到的形状”等。当笔者呈现出由小正方体方块组合成的组合形体时，学生会在头脑中迅速将所观察到的三视图借助“贴贴板”展示出来。这样的学具不仅具有实用性，而且具有灵活性。学生在学习中反复操作，在反复操作中深化对立体图形的“三视图”的认知、把握。这样的“玩中学”“学中玩”的学具应用能有效提升学生的数学学习效能。借助这样的学具，学生的数学学习兴趣盎然。

趣味性的学具不仅是学生数学学习的点缀，更是学生数学学习的助推器，是学生数学学习的动力引擎。教师要充分发挥趣味性学具的导学功能，彰显趣味性学具的导学价值，让趣味性学具发挥应用的功能、功效。开发、应用趣味性学具，要求教师在教学中潜心研究数学知识，研究学生数学学习的具体学情，将教学目标、要求、内容等寓于趣味性学具之中。

二、开发模型性学具，让学具为学生学习助力

学生数学学习的过程就是对数学知识进行自主建构、创造的过程。在小学数学教学中，教师要引导学生开发模型性学具，比如引导学生制作“厘米尺”“量角器”“时间尺”“天平”等。开发模型性学具关键是要引导学生充分经历模型建构的过程。模型性学具的开发、创造能发展学生的高阶思维，促进学生对数学知识的深度理解。在学具开发过程中，教师要引导学生不断修正学具、改进学具、完善学具，让学具真正成为学生数学学习的“利器”。

以“量角器”的学具建构、创造为例，在教学“角的度量”时，教师借助问题不断引发学生的认知冲突。从“两个角的大小比较”引入“参照角的确立、1°小角的建立”；从“用1°小角去测量角的大小”到“将若干个1°小角连接起来，建构一个量角器的雏形”；从“读数的方便”的内在心理需求到“给量角器标注刻度”的实践；从“量角器的摆放”到“给量角器两圈刻度”等。在实践的过程中，有的学生感觉单刻度读数比较方便，于是设计了单刻度的量角器；有的学生感觉两重刻度操作比较方便，因而设计了双刻度的量角器。当学生自主建构、创造了“量角器雏形”之后，不仅对“角的度量”的本质、对“量角器”的本质有了深刻的理解和把握，能自主地、自然地用自己研发的“量角器雏形”去测量角的大小，而且对“测量”“测量工具”的本质有了相应的理解和把握。这样的模型性学具的开发，对学生的数学学习迁移、应用具有重要的意义和作用。

学者李政道说：“自己做的仪器永远比买来的好。”研发模型性学具的过程，从本质上说就是引导学生复演数学知识诞生的历程。教师要引导学生因需造材、因序改材、因用创材。通过对学具的创造性开发，助推学生更好地进行数学思考、探究。在这个过程中，教师要赋予学生充分的时空、权利，引导学生大胆地猜想、尝试、探究，鼓励学生积极地实践。模型性的学具应当成为学生本质力量的感性显现，成为学生生命实践活动的智慧结晶。在小学数学教学中，教师应当引导学生积极开发模型性学具，并乐在其中。

三、开发齐整性学具，让学具为学生学习蓄能

齐整性学具是能集中反映数学知识本质的学具。齐整性学具“负作用小”“干扰性弱”，有利于学生数学学习的“正迁移”。在数学学习中，学生常用的小棒、小圆片、小方块、钉子板、几何模型等是具有齐整性特质的学具。在数学教学中，教师要引导学生开发齐整性学具，让齐整性学具为学生的数学学习助力、助能。学具的有效开发、巧妙使用，能促进学生的认知、思维等的进阶，能促进学生数学学习力的提升，促进学生数学核心素养的生成。

比如教学“长方体和正方体的认识”时，笔者引导学生借助结构化素材，制作齐整性学具。学生以小组为单位开展群体性的研讨、协商，通过开发齐整性学具促成学生的数学学习感悟。比如，“面与面相交的线叫作棱”“棱和棱相交的点叫作顶点”等。同时，通过引导学生开发齐整性学具，融入表面积、体积等相关的概念内涵，能为学生后续学习长方体、正方体的表面积、体积奠定坚实的基础。

借助这样的结构化素材，学生能搭建一个长方体框架，进而能认识到长方体有3组棱，每组有4条棱，一共12条棱；能认识到长方体有8个顶点，每一个顶点都有3条棱相交；能认识到长方体有6个面，每2个面相交于1条棱；能有序地数长方体的12条棱，并能巧算长方体的棱长总和，用相交于同一个顶点的3条棱的长度和乘4；能感悟到长方体的表面积就是长方体各个面的面积总和，可以用前面加上面、加右面面积的和乘2；能感悟到衡量长方体的大小就是看长方体中能放置几个小正方体的方块等。结构化的材料有助于学生制作学具，在制作学具的过程中，学生不再是被动地、肤浅地接受知识，而是主动地建构知识。在制作长方体学具的过程中，学生能发挥自我的空间想象力，能突破自我的思维定式、想象定式。

学具是学生数学学习的重要支撑，也是学生数学学习的有机组成。教师要积极引导学生认识学具、制造学具、创造学具，要积极引导学生改造学具、应用学具等。引导学生对学具进行深度加工、建构和创造等，是教师教学的应有之义、应然之举。开发数学的齐整性学具，要求教师发掘数学知识的本质，充分利用学生身边的资源、素材等，激发学生开发学具的热情，让学生的学具开发成为“做思学共生”“学玩创一体”的活动。教师要为学生的学具研发打造平台、提供保障、创造契机。从某种意义上说，学生学具制作的过程本质上就是数学学习的过程。“小学具”蕴含着“大学问”，能体现学生数学学习的“大世界”。

学具开发为学生的数学学习打开了一扇门。教师要充分发挥学生的主体作用，引导学生对学具进行开发、改进、优化、完善、创新。同时，教师要当好学生学具开发的领头羊、领路人，引导、鼓励、支持、助推学生的学具开发、制造。趣味性学具、模型性学具、齐整性学具等是学具的重要类别，它们能为学生的数学学习导航，能为学生的数学学习助力，能为学生的数学学习蓄能。对学具进行开发、优化、创新，必将引发学生的学习变革，让学生的数学学习走向深度、走向深刻。教师要充分调动学生的学具开发、应用的積极性，充分发挥学具的育人功能。