画里有话：“可视化”视域下数学学习活动的设计

程娅

［摘  要］ 设计怎样的活动才能实现“学为中心”和破解分数教学“单位”理解、“量”“率”两难的困境？文章以“分数的意义”一课教学为例，尝试设计多维活动，以比画出来、画出来、说出来等形式清晰地表征学生的思维。

［关键词］ 可视化；高观点；大空间；主问题；思想性

随着课程改革的不断深入，“由教转向学”“学为中心”“让学生经历学习历程”“让学习真正发生”等观念已成为教师的共识，越来越多的教师开始关注学生的“学”，力图设计丰富多样的活动为学生的探索活动提供支撑。但在具体教学中，教师要怎样设计教学活动才能看得见学生思考的过程、看得见学生思维的发展，这是困惑教师的一大难题。

分数是小学数学课程的重要内容之一，理解分数的意义是學生数学概念发展的重要里程碑。但是分数的意义，尤其分数“单位”非常抽象。因此，许多教师尝试设计丰富的活动来破解分数的教学困境。该设计怎样的学习活动才能看得见学生的思考，看得见思维的发展呢？本文以“分数的意义”一课为例，探索“可视化”视域下数学学习活动的设计要领。

一、游戏引入，“划”里有话，渗透本质意象——让学生思考“划”出来

师：咱们玩一个游戏“说一不二”，活跃一下气氛。（手势比画“1”）说一个数字？

生1：1。

师：这是几？（手势比画“2”）

生2：2。

师：（摇头）我们的游戏是说“1”不“2”，只说“1”，可以怎么说？

生3：1对。

生4：1双。

师：这样呢？（手势比画“5”）

生5：1个手掌。

师：学得很快！那这些呢？（出示一群鸟、一排路灯的图片）

……

师：学习数学离不开对数的研究，今天我们一起来研究有关数的问题。1、2、3、4……这样的数是自然数，把3和4组合在一起，你想到了什么数？

生6：34、43、3.4、4.3。（整数、小数）

生7：我还想到了、。

师：这是分数，三年级时我们就学过分数，回顾一下分数，你都知道些什么？

设计意图：从学生认知角度界定，数数的方法有两种：一种是一个一个地数，另一种是一群一群地数。这两种数法的“单位”不同，对应于分数学习的两个阶段，即以一个为单位“1”与以一群为单位“1”。新课伊始，教师以“说一不二”的有趣游戏激发学生的学习兴趣，在各种手势的比画中向学生渗透单位“1”的意象，调动学生参与的积极性和主动性，达到“未成曲调先有情”的境界，看似简单的活动，不仅让学生真切地体会到“数学在身边”，而且很巧妙地蕴含了整体“1”的内涵。游戏活动不仅帮学生唤醒了原有的生活和知识经验，而且为下面的初步感知单位“1”做好铺垫。教师以3和4的组合，引导学生从自然数、小数、分数自然地认识过渡到分数这个主题上来。

二、画图表征，唤醒旧知，找到认知起点——让学生思考“画”出来

活动要求：画图表示。

展示，如图1。

图1

师：图1中的①图涂色部分是3个正方形，为什么还用来表示呢？

生1：这里是把4个正方形看成一个整体，用“1”来表示，涂色部分就是。

师：表示一个整体，我们可以在这些正方形的外面画一个圈。（示范画集合圈）

师：那么图1中的②图，你是怎样想的？

生2：把一个蛋糕平均分成4份，取其中3份，就是。

师：这里的圆除了可以表示一个蛋糕，还可以表示什么？

生3：月饼、烧饼……任意物体。

师：（出示平均分的长方形）这也可以表示吗？和刚才的有什么相同之处？

生4：其实都是把一个物体平均分成4份，取其中的3份，只是表示的物体不一样或是形状不一样。

师：图1中的③图，这里的3份可以用表示吗？

追问：如果用这条线段表示1米、1分米、1千克呢？

（总结对比）

师：观察这些不同的表示方法，它们有什么相同和不同的地方吗？

生5：它们的相同点在于都是把一个物体或一个整体看作“1”，都是把“1”平均分成4份，其中的3份都可以用来表示。

生6：不同点在于平均分的对象不同，有的是一个物体，有的是一个图形，有的是一个计量单位，还有的是几个物体组成的一个整体。

设计意图：表征概念是学生理解和建立概念的重要方式，这一过程中任何单一的表征方式都是不够的，教师要鼓励学生用多种方式去表征同一概念。操作表征有利于学生理解分数先分后取的过程性本质，初步认识分数的时候教师可以采取这种教学方式。本课是学生在三年级两次认识分数后的再次认识，画图表征，给不同学生表征同一分数的不同样态提供了开放的素材。通过让学生独立表征典型分数，唤醒他们对分数的意义的个性化理解。这种开放的活动设计，既是教师对学生真实认知水平的一次前测，也为课堂教学提供了多元而丰富的学习资源，并为进一步揭示单位“1”的概念做好了铺垫。画图表征让学生在不同表征的基础上进一步比较，抽象出分数的本质的内涵和广阔的外延。

三、分类比较，画里有话，凸显本质意义——让学生思考“说”出来

活动要求：画图表示或。

（选取学生作品并进行分类，分为分母相同、分子相同两类）

师：仔细观察图2中的4幅图，有什么相同？

生1：分母都是8。

师：为什么都可以用表示？

生2：都是平均分成了8份。

师：所以产生了，这些分数里面分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，我们把表示1份的分数称为分数单位。

图3

师：仔细观察图3，有什么相同？

生3：分子相同。

师：为什么分子会相同？

生4：因为都取了3份。虽然平均分的份数不一样，但是都取了3份，所以分子都是3 。

师：就是都取了3个分数单位。

设计意图：学生在概念形成的过程中需要一定数量的经验，在这一过程中起主要作用的是分类和抽象。上述环节，通过对分数的再次表征和分类比较找相同点和不同点，让学生感知分子、分母对分数的不同影响，找到影响分母、分子的共同点，顺应了学生的思维。从教学的实践来看，这既是一个挑战性的数学任务，也是一个趣味性的数学活动。许多学生感觉不可思议，分子是几都不知道，怎么画呢？教师运用这个信息不完整的“符号”，加上语言的激励，引发学生深度思考分母表示的含义、与分数单位之间的密切关联以及分子和分数单位之间的密切关联。同时，因為信息的不完善，给学生创造分数提供了多种可能，为教学分数单位提供了开放的素材。

数起源于“数（shǔ）”，分数的测量意义就在于分数可以看成是单位分数累加的结果，也就是说分数可以是“数”出来的。所以，活动中教师有意识地带领学生一个一个地数分数单位，感知分数单位的叠加，这些活动对学生感受数学抽象的过程、领悟概念的本质内涵十分有益。

四、总结完善，图里甄别，完善概念意象——让学生思考“辨”出来

师：说一说分数表示什么意思？

生1：（尝试总结）它表示把一个图形、一个计量单位、一个整体（教师点拨：就是“单位1”）平均分成几份（教师点拨：换一个词可以说“若干份”），取其中的几份。（教师点拨：为了解决不能“取”的情况，可以换一个词说“表示”）

师：谁能将同学们说的概括一下，到底什么是分数？

生2完整地总结叙述。

学生结合课件说，教师直观演示（如图4）：小时表示的是把1小时平均分成3份，取其中的2份。

师：把1小时看作了单位1，1节课的呢？

生3：表示的是把1节课平均分成3份，取其中的2份。

师：把1节课看作了单位1。单位1还可以这样逐渐累加，分数单位也逐渐递增，产生新的分数，你能说说表示的意思吗？

生4：就是把1小时平均分成3份，“取”其中的4份。

师：“取”这个词语用在这里还恰当吗？

生5：应该是把1小时平均分成3份，“表示”其中的4份。

设计意图：核心素养落实到数学上不仅是要让学生用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，还要用数学语言表达世界。在学生初步感知核心概念后，教师一是要引导学生自己归纳概括分数的意义，培养其归纳概括能力，将所学的知识点进行分类、总结，并形成一套便于自己使用的知识体系，培养学生用数学的思维去分析世界；二是要鼓励学生畅所欲言，从用生活的语言去描述世界到用数学的语言去描述世界，是学生用数学语言表达世界的体现。此外，练习不是做得越多就越好，有比较才会有甄别，这个辨分数活动强调了单位“1”不同，对于分数意义也不同。同时，让学生感知多个单位“1”的累计和叠加，为后续认识假分数埋下伏笔，对为什么要用“表示”一词来总结分数的意义做出呼应。

五、图里深化，类比想象，拓展认知边界——让学生思考“想”出来

师：（出示小棒，如图5）看着这些小棒，你想到了哪一个数？

生1：、、、……

师：只看到了分子是1的分数吗？

生1：这些都是分数单位，因为我只要看到这些就能说出所有的分数。

师：了不起，一下子把所有分数都说完了。孩子们，这里还有别的数吗？

生2：（急切地举手）我看到了1 （给所有小棒比画了一个集合圈）。

师：你认识了单位“1”，真了不起。

生3：去掉集合圈，就是30，这是30根小棒，也就是30个一。

生4：（急切地举手）我还想到了3，3个十（把10根小棒画一个圈）。

师：有了计数单位的眼光，优秀！

师：把30看作单位1，平均分成几份，就有几个这样的计数单位，这其实和整数的计数单位很像，把它想成整数的时候，我们可以以“1”为计数单位，也可以以“十”为计数单位。

师：分数单位，其实和整数的计数单位一样，平均分的份数确定了，分数的计数单位就确定了，像这样平均分成3份，每份是，一共有3个；平均分成6份，每份是，一共有6个。

设计意图：经验不经过提升、内化，难以成为学生学习的内在支撑，教师需要及时将学生在学习活动中积累的经验进行适当提升，让学生将活动过程获得的个性经验内化、概括成为数学事实。分数单位是构成分数的基本单位，是理解分数的意义的重要概念，看似简单，实则是分数的意义理解的重难点。因此，教师引导学生对分数单位进行多层次的感知、归纳、概括，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。因此，本节课进一步用小棒图设计了一个开放的活动，让学生展开联想和想象，给学生留足了思考与讨论的空间，在学生思考的过程中，分数单位在不断地摒弃无关特征、暴露本质特征中逐渐明朗起来。学生利用知识的迁移，水到渠成地联想到整数、小数都有计数单位，分数也不例外，理解分数正是由若千个分数单位组成。

笔者认为，“可视化”教学活动的设计，不能孤立地图画表征，除了简单地用比画、画图、语言辨析、想象说理等形式表征，还需要一些辅助实现“可视化”的思想、方法等。

（1）“高观点”立意，渗透本质感知：新课开始，即在引入环节，设计活动，让学生感知单位“1”“群”和集合，立意高远。

（2）“大空间”探索，活动明晰表象：在活动中，教师给学生提供了多元的学习素材、多样的学习表征方式、多层次的对比类比、多角度的反思追问，给予了足够的时间和空间进行探索，使学生的认识走向更深、更远、更广。

（3）“主问题”统领，交流挖掘本质：在活动中，一是通过主要问题引导学生进行观察、交流，并归纳、概括出分数的“新”的意义，在主问题的引领下，进一步思辨、完善概念；二是通过两个例子进行对比，在主问题的引领下，抓住分数意义的核心要义，进一步甄别完善分数意义的内涵和外延。

（4）“思想性”驾驭，拓展认识边界：在活动中，学生有了不同的计数单位的眼光，能用这样的眼光沟通整数和分数之间的脉络。教师引导学生在平均分的份数和分数单位之间架设起来一座桥梁，在小数的计数单位和整数的计数单位之间架设了一座桥梁，使学生对计数单位的理解更深刻。