例谈小学数学数与运算一致性的教学探究

刘金花

［摘  要］ “数与运算”是小学阶段涉及内容非常多、学习时间很长的一个主题。教师要抓住这个主题的核心概念和内容，重视一致性教学，让学生学会举一反三，让课堂真正做到减负增效。

［关键词］ 计数单位；位值制；核心素养 一、数的一致性

1. 认知过程的一致性：数是对数量的抽象

无论是对整数、小数还是分数的认识，学生都要经历两个层次的数学活动：第一个层次是从具体的数量到抽象的数，第二个层次是从抽象的数又回到具体的数量。

比如，小学一年级认识10以内的数时，第一个层次的数学活动是教师要引导学生认识“5本书、5个人、5块饼干”等具体情境，再到“5根小棒”表示“5”这个符号，这就是从具体到抽象的过程，把生活情境进行数学化；第二个层次的数学活动是让学生用“5”这个数字说一句话，这就是从抽象回到具体，加深他们对数字“5”的认识。

比如，三年级对小数“0.1”的认识时，第一个层次的数学活动是结合生活中的具体情境来理解这个小数。比如生活中的“0.1元”“0.1千克”“0.1米”，学生结合自己的生活和学习经验，用自己喜欢的方式来说明“0.1”这个抽象概念；第二个层次是学生透彻理解之后，换一个情境解释其他小数（比如0.3厘米、1.7千克），起到深化建模意识的作用。

从认识数的过程来说，不管是自然数、小数还是分数，都要经历从现实背景抽象的过程，然后脱离现实背景建立一般性的表达，最后应用于具体问题，这个认识过程是一致的。

2. 表达方式的一致性：数+计数单位

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的解读中提到，数是由数字符号及其所在位置（数位）表达的。数的表达的一致性，不管表示多大的自然数或者小数时都会反复运用位值制。在位值制中，学生最熟悉的是十进制。从小学一年级开始，学生就知道“满10进1”，知道“10个1是1个10”。随着学习的继续，学生逐步将自然数的数位顺序表学习完整，知道自然数的进位法则都是十进制。学生从三年级开始接触小数，五年级进一步完善对小数的认识，在对小数的意义的探究和理解中，知道了1平均分成10份得到0.1，0.1平均分成10份得到0.01，0.01平均分成10份得到0.001……由此可知，整个数的系统都可以由十进制来表达，学生从而知道没有最大的数，也没有最小的数。位值制的一致性体现在自然数和小数中，但在分数的认识中行不通。分数的表达必须要用上分数单位，可以把分数单位归结为计数单位的一种特殊形式。

有了位值制之后，要表达一个数，就可以用“数+计数单位”的形式。比如：19=19个1；1.9=19个0.1；5/9=5个1/9。这样，自然数、小数和分数都可以看作对计数单位个数的表达，在表达方式上体现了数的一致性。

二、运算的一致性

1. 运算意义的一致性

加法是最基本的运算，学生开始学习加法时的理解是两个数量的合并。纯数字的加法是若干个“1”的累加，从任何一个数开始，加几就是加上几个“1”。比如，“5+3”可以看成5再加上3个“1”。

减法是加法的逆运算，就是每次都减去1个“1”。当学生的数感达到一定程度，可以将减法理解为对“-1”的累加，同样可以理解为几个数量的合并。比如5-3=5-1-1-1=5+（-1）+（-1）+（-1），可以看作5和3个（-1）的合并。

乘法是加法的简便计算，表示若干个相同数的连加，本质上还是加法。除法是乘法的逆运算，本质上是连减，当然也可以看作加法的运算。比如“12÷3”表示的是12里有几个3，其实就是算12是几个3的合并。

所以，基础的加减乘除运算都可以看作加法的运算，从运算意义上看具有一致性。

2. 运算方式的一致性

（1）对计数单位个数的累加

在加法和乘法运算中体现的一致性是对计数单位个数的累加。乘法作为加法的简便运算，有这种一致性是必然的。比如，加法的基础运算：30+20=3个10+2个10=5个10=50；0.3+0.2=3个0.1+2个0.1=5个0.1=0.5；+=3个+2个=（3+2）个=5个=。

由于加法是对相同的计数单位的个数的累加，所以异分母分数的加减法需要先统一分数单位。如果学生在以前的学习中已经认识到加法运算的一致性，那么接受异分母分数加减法是很容易的事情。当然减法作为加法的逆运算，“累加”就要转化成“递减”来理解了。

比如，乘法的基础运算：30×3=（3个10）×3=（3×3）个10=9个10=90；0.8×3=（8个0.1）×3=（8×3）个0.1=24个0.1=2.4；×3=（4个）×3=（4×3）个=12个=。

由乘法的基础运算可以看出，乘法运算也是对计数单位个数的累加，从这个角度看复杂的乘法运算学生更容易接受。比如：3.2×3.8=（32×0.1）×（38×0.1）=（32×38）×（0.1×0.1）。这里可以把0.1看成，那么0.1×0.1就是算0.1的是多少，根据小数的意义和位值制可以知道0.1的就是0.01，所以0.1×0.1=0.01。

（2）对计数单位个数的均分

在除法运算中体现的一致性是对计数单位个数的均分。除法作为乘法的逆运算，它们之間既有直接的联系，又有明显的区别。

比如，除法的基础运算：12÷3=（12个1）÷3=（12÷3）个1=4个1。这里12÷3就是整除，计数单位的个数足够均分。但是除法计算中有很多是不能整除的，比如小数除法：12÷5=（10+2）÷5=（10个1）÷5+（2个1）÷5，这里的（10个1）÷5就是整数的除法，计数单位的个数正好整除；（2个1）÷5，学生在二年级的时候可以作为有余数的除法，到了五年级学小数除法的时候，在对小数计数单位充分认识的基础上再进行运算，这里的运算就变成：2÷5=（2个1）÷5=（20个0.1）÷5=（20÷5）个0.1=4个0.1=0.4。

这里明显可以看到，当计数单位的个数不够均分时，就要进行计数单位的细分，扩大计数单位的个数，这样就可以再次进行计数单位的均分。这里体现了数与运算的一致性，在进行数的运算时，十进制计数法的表达是学生能进行正确运算的依据。

在分数除法的运算过程中，计数单位的均分和细分再次体现（这里的计数单位就是分数单位）。比如，÷2=（4个）÷2=（4÷2）个=2个=（计数单位的个数可以均分）；÷3=（4个）÷3=（12个）÷3=（12÷3）个=4个=（计数单位的个数不够均分，需要细分计数单位）。

三、数与运算的一致性

1. 核心要素的一致性

核心要素有位值制、计数单位、运算律。数的表达离不开计数单位和位值制。运算的过程是一个推理的过程，在这个过程中要用到运算的意义、数的表达方式和运算律。

此外，运算的对象是数，而数的认识从一开始就和运算有关。比如，从1+1得到“2”就是数的运算带来的数的扩充。随着数的认识越来越广，运算的内容也越来越复杂，但是基本的算理是一致的，都要与数的意义进行联系，都要对计数单位进行操作，都要依据运算律进行推理，这些也体现了数与运算的整体性。

2. 关键能力的一致性

关键能力包括数感、推理意識、运算能力等。数的表达中，对数的意义的认识特别有助于学生数学数感的培养。比如对数的组成的分析、数的大小的比较、近似数的求法都能帮助学生加深对数的认识。学生在对小数、分数的大小比较以及求近似数的过程中，都有其推理意识的体现，也能够培养其估算意识；学生在进行数的运算的过程中，对结果的估算、算理的渗透、算法的明晰，处处都能感受到关键能力的存在。

四、教学建议

1. 注重内容的结构化

小学阶段数与运算的一致性要求教师在处理这一部分的内容时，要注意将具有相同本质特征的学习内容进行整合，这就是新课标提到的内容结构化。教学内容的结构化既有助于学生整体理解学科内容，完整把握某一个主题下的知识结构，又能够促进学生深入理解核心概念及其蕴含的核心素养。比如，学生学习小数乘小数之后，知道计算小数乘小数要先转化成整数乘法来计算。在学习小数除以小数的时候，学生有了学习经验，就能猜测应该转化成整数除法来计算。

比如，在学习小数乘整数时，教师可以先梳理80×3的算法，让学生回忆：80×3=8个10+8个10+8个10=（8×3）个10=24个10=240。这样，学生在计算0.8×3的时候，首先会想到3个0.8相加，就是8个0.1+8个0.1+8个0.1=（8×3）个0.1=24个0.1=2.4。将小数乘整数和整数乘法放在一起进行结构化教学，学生学起来会觉得更简单、更轻松。

2. 将未知转化为已知

部分小学生学习数学越学越觉得“难”，无法找到学习的突破口，觉得每天新知识的学习都是一项巨大的挑战。如果教师能够将未知转化为已知来进行教学，化难为易、化繁为简，学生会更容易接受，更乐于学习。

比如，在教学小数乘小数时，学生对于“一位小数乘一位小数的积是两位小数”这个知识点的理解，总是会出现“0.4×0.4=1.6”这样的错误。这时候学生对课本上新授部分的教学不容易接受，教师就可以利用学生已有的其他知识经验来解决。

方法1：依据简单的推理，0.4×4=1.6，那么0.4×0.4自然是0.16。

方法2：将0.4×4和0.4×0.4的计算过程进行对比。

0.4×4=（4×0.1）×4=（4×4）×0.1=16×0.1=1.6；

0.4×0.4=（4×0.1）×（4×0.1）=（4×4）×（0.1×0.1）。

在这个推理过程中会产生一个新的问题：0.1×0.1=？

可以这样利用小数的意义去思考：0.1×0.1=（1÷10）×（1÷10）=1×1÷10÷10=1÷（10×10）=1÷100=0.01。

所以：0.4×0.4=（4×0.1）×（4×0.1）=（4×4）×（0.1×0.1）=16×0.01=0.16。

3. 基于核心素养进行教学

教师对数与运算一致性的研究越深入，对这部分内容关键能力和重难点的把握就会越透彻。教师在教学的时候，对学生“四基”“四能”的培养要更重视，对学习过程中所体现的关键能力、核心素养要更加重视。在数与运算这部分的教学中，教师要引导学生不要出现算理和算法脱节、只知“法”不知“理”的情况。

在过去的教学中经常会出现这样的情况：一个简单的口算（比如0.15×4），让学生回答口算过程时，学生都是列出竖式计算。究其原因就是教师在教学竖式时，学生只明晰算法却不知道算理。在小数除以小数时也会出现类似的情况，比如0.56÷7、0.56÷0.7这两道算式，部分学生对口算的方法答不上来，全凭列竖式才能进行计算。由此可见，教学时如果教师仅关注学生运算能力的培养，忽视推理过程的教学，不利于学生核心素养的形成和发展。长此以往，学生只会机械地学习，数感、推理意识等关键能力会出现缺失。

总之，在新课标的理念之下，在数与运算的教学中教师要关注知识结构的整体性和一致性，要以学生为本，制定结构化的教学目标，帮助学生建立完善的知识系统，逐步形成核心素养。