指向“思维发展”的数学深度教学探索

邓秋艳

［摘  要］ 思维是学生数学学习的内核，是学生数学学习的重要支撑。在小学数学学科教学中，教师要启发学生学习方向，观照学生学习起点，注重学生学习分析，激发学生学习迁移，从而有效地培育学生的“聚合性思维”“发散性思维”“批判性思维”“创造性思维”等。教师要不断地开掘学生的思维潜质、潜能，提升学生学习质量，优化学生学习品质，完善学生学习生态，让学生的数学学习不断升级。

［关键词］ 小学数学；思维发展；深度教学

思維是学生数学学习的重要载体、支撑，学生的数学学习依赖于思维。数学思维具有抽象性、严谨性、概括性的特点。在小学数学学科教学中，教师要有意识地发展学生的思维，引导学生开展抽象与推理、归纳与概括、批判与创新等思维活动。指向学生的数学思维发展的教学应当是一种深度教学。教师要通过深度教学，提升学生的数学学习质量，优化学生的数学学习品质，完善学生的数学学习生态。

一、启发学生学习方向，培育“聚合性思维”

“聚合性思维”又称为“收敛性思维”“求同性思维”“集中性思维”“辐集性思维”等。聚合性思维的思维方向往往是单一的，指向明确的［１］。在小学数学学科教学中，教师要赋予学生数学学习方向，让学生的数学学习避免盲目性，富有针对性。聚合性思维具有条理性、逻辑性、规律化等特质。在教学中教师要渗透、融入相关的聚合性思维方法，比如目标思维法、求同思维法、求异思维法。聚合性思维具有聚焦性，能引导学生对某个相关问题开展富有深度的思考、探究，有助于学生对某一数学知识点进行深度加工。

在小学数学学科教学中，教师可以通过设置“大任务”“主问题”，赋予学生数学思考探究的方向，让学生的数学思考、探究有目标、有条理，让学生能开展有序性的思考、探究。以“梯形的面积”的数学教学为例，教师可以给学生搭建一个聚合性思维的框架：将梯形转化成什么图形？怎样转化？不同的学生基于不同的已有知识经验、认知倾向，会产生不同的转化目标，形成不同的转化路径、策略。比如，有的学生想将梯形转化成长方形，有的学生想将梯形转化成平行四边形，有的学生想将梯形转化成三角形等。当学生有了转化的目标、方向，就会思考“梯形”和转化之后图形之间的关系，就会探究不同的转化方法，比如“剪拼法”“倍拼法”“分割法”等。赋予了学生的数学学习目标、方向，学生的数学学习就如同吃了一颗“定心丸”，他们会沿着学习的方向走下去，进而能自主建构、创造数学知识。

聚合性思维是一种非常重要的思维形式，是一种有范围、有方向、有条理、有逻辑性的思维形式，能有效引导学生探寻数学学科知识的本质。在小学数学学科教学中，教师要引导学生搜集与解决问题有关联的资源、素材、信息等，并对资源、素材、信息等进行筛选、整理。聚合性思维能有效引导学生开展数学思考、探究，让学生的数学学习走向深度。

二、观照学生学习起点，培育“发散性思维”

学生的数学学习总是从已有知识经验出发。不同的学生，由于知识经验不同，其思维有一定的差异。这种差异不仅表现在思维内容的差异上，而且表现在思维方向的差异上，不同方向的思维形成了一种发散性。“发散性思维”又称之为“辐射性思维”“放射性思维”“扩散性思维”“求异性思维”等［２］。如果说，聚合性思维赋予了学生的数学思维的深度性，那么，发散性思维则赋予了学生数学思维的广度性。

在小学数学学科教学中，教师可以通过“一题多解”“一题多用”等的方式，让学生的数学思维呈现出一种扩展、发散的状态。教师在数学教学中要激发学生的多元化思考，引导学生进行多元化探究。发散思维往往以问题为中心将相关知识嵌入情境之中，发散性思维具有变通性、流动性、独特性等特质。比如教学“分数乘法”和“分数除法”等相关内容之后，教师要引导学生在问题分析的过程中开展多样化的思考，对于不同起点的学生的数学学习要区别对待，要鼓励、引导学生超越传统的“单位‘1的量已知用乘法计算”“单位‘1的量未知用除法计算”的固化思路，引导学生对“单位‘1的量”进行转化。比如，“甲数比乙数多三分之一”可以转化为“甲数是乙数的三分之四”“乙数是甲数的四分之三”“乙数比甲数少四分之一”“甲数比乙数多的占甲乙总和的七分之一”“乙数比甲数少的占甲乙总和的七分之一”等。有了这样的灵活的转化、思考，学生就能超越传统的固化思路，形成一种宽畅性的思路。这种宽畅性的思路能让学生在解决同一个数学问题时，既可以用分数乘法来解决，也可以用分数除法来解决。

发散性的数学思维是一种多角度、多层次的思维。在数学教学中，教师要开阔学生的数学思维广度，延伸学生的数学思维触角，让学生能开展自主性、自能性的思考、探究。对于学生的一些独特性思考方法，教师要予以呵护、鼓励。只有这样，才能让学生有意愿去思考、探究，去积极主动地揭开数学知识之谜，获得数学学科知识的本质内涵。发散性思维让学生的数学学习更有效度。

三、注重学生学习分析，培育“批判性思维”

学生数学学习的过程是一种对信息的加工、分析、甄别的过程。在小学数学教学中，教师要引导学生评估自我的学习、调整自我的学习，对自我的学习进行有效监控。这种注重自我分析的学习，其本质上是一种元认知学习［３］。元认知学习能有效培育学生的数学质疑能力，激发学生的批判性思维。教师可以通过设置一个相关的问题，引导学生彼此之间进行互动研讨，通过比较与分析、归纳与演绎等，拓展其思维深度，提升其思维效度。

教师对学生的数学学习进行分析时，关键要引导学生进行自我分析。只有引导学生自我分析、自我审视，才能让学生更积极、主动地去质疑。比如教学“平行四边形的面积”这一部分内容时，笔者引导学生分组研讨、提出假设：平行四边形的面积可以怎样计算？针对这样的问题，有的学生提出（假设1）可以用平行四边形的底乘斜边，有的学生提出（假设2）可以用平行四边形的底乘高。

面对学生的不同假设，笔者继续追问：如何验证假设？学生对假设进行积极的分析：有的学生提出，可以将平行四边形放置到方格纸上来验证；有的学生提出，可以让他们各自陈述理由等。在验证的过程中，学生发现用平行四边形的底乘斜边与实际测量数据的差距较大，用底乘高与实际测量的数据完全吻合。在验证的基础上，笔者的追问引发学生的批判性思维：有的学生认为平行四边形可以推拉成长方形，长方形的长相当于平行四边形的底、长方形的宽相等于平行四边形的斜边；长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘斜边。这样的推理严密吗？正确吗？通过引导学生反思、审视，让学生深刻认识到，平行四边形在推拉成长方形的过程中，面积发生了变化，所以不能用推拉的方法来推算平行四边形的面积。这样的质疑、批判，能让学生迈向正确的数学实验之路。

教师引导学生的数学分析时，关键要引导学生进行深度互动。教师要引导学生厘清解决问题的思路、方法，要引导学生总结、分析数学实验的成败的原因、因素等。教师要鼓励学生大胆质疑，根据综合分析、研判得出正确的数学结论，以此培养学生的质疑性品质、批判性品质，这是深度教学的重要特质。

四、激发学生学习迁移，培育“创造性思维”

创造性思维既指特殊才能的创造性思维，也指自我实现的创造性思维。对于小学生来说，他们的创造显然不是指“原始知识”的创造，而是指自我的生命实践创造。这样的“创造”，数学教育家弗赖登塔尔称之为“再创造”，“学生学习数学的唯一方法就是再创造，也就是将要学习的知识自己创造出来”。这里，笔者无意赋予“再创造”本体论的高度，只是认为学生的学校数学学习创造，更多的是“再创造”。

“创造性思维”是在“发散性思维”和“批判性思维”等基础上发展起来的一种综合性思维，它往往能突破理论的权威，能突破认知的禁锢和思维的定式，是一种高阶的思维状态。教师要引导学生的思维进阶，让学生的思维抵达高阶状态。创造性思维具有一种新颖性、独特性的特质。在小学数学学科教学中，教师要鼓励学生打破常规，激发学生的创新思维的火花，让学生能应用已有的知识解决实际问题。一般来说，越富有挑战性的问题，越能激发学生的创造性思维。

比如，教学“分数的大小比较”这一部分内容时，教材给出了具体的情境，这样的分数大小比较的教学，容易限制学生的比较思维。为此，笔者在教学中出示了一个“去情境化”的分数，引导学生调动已有的知识经验进行比较。常规的思维、做法就是“通分比较”，而创造性思维则不囿于定论，学生需要积极寻找多样化的比较方法。比如，有的学生想到了可以将分数化成小数进行比较；有的学生说可以让分子变成相同后进行比较；有的学生认为要灵活進行比较，如果一个分数比二分之一小，另一个分数比二分之一大，就可以直接进行比较；有的学生认为赋予它们具体的情境，然后将分数化成整数进行比较；还有的学生认为，可以用一个分数除以另一个分数，如果除下来小于1，就是作为除数的分数大，如果除下来大于1，就是作为被除数的分数大等。

数学问题激发了学生超乎寻常的思考。在整个过程中，教师要引导学生反思自己的学习状况，发现并修正在知识加工、概念理解以及实践操作中的相关问题，从而帮助学生丰富自我的解决问题的策略，引发学生深度学习，让学生产生积极的学习动机。在这个过程中，教师要鼓励学生质疑、研讨，鼓励学生进行自主性、自能性建构。

在培育学生的创造性思维的过程中，教师要引导学生不迷信、不盲从，要引导学生善于变通，善于换个角度思考问题，这样就能有效提升学生的发散性思维、批判性思维、创造性思维品质。创造性思维是一种不满足于已有的结论、不满足于已有的探究方式、学习过程的思维，“创造性思维”能打破人们的惯常思维、习惯认知［４］。教师要通过发展学生创造性思维，不断地开掘学生的思维潜质、潜能，引导学生的数学学习向数学知识本质更深处漫溯。

思维是学生数学学习的内核，是学生数学学习的重要支撑。在小学数学学科教学中，教师要激发学生思维；要建立“磋商式互动机制”，让学生在自主思考探究过程中进行互动、交流、对话、协商；要相机引导学生开展聚合性思维、发散性思维、批判性思维、创造性思维等活动。在这个过程中，教师要赋予学生充分的思维时空、权利等，鼓励学生“另辟蹊径”，保护学生的“异想天开”，理解学生的“独树一帜”，让学生在思维过程中相互启发、相互成就、相互生成，引导学生积极、主动地投入到学习活动中。

参考文献：

［１］ 彭亮，徐文彬. 小学数学教学中“数据分析”的培养——从《可能性》一课教学说起［Ｊ］. 教育研究与评论（小学教育教学），２０２０（０１）：３４－３８.

［２］ 兰凌. 教给学生学习数学的思维方法［Ｊ］. 小学教学参考，２０００（１１）：３１.

［３］ 陈华忠. 提升数学核心素养的五个着眼点［Ｊ］. 江西教育，２０１６（２９）：７３－７４.

［４］ 冯茁. 教育场域中的对话［Ｍ］. 北京：教育科学出版社，２０１１.