引导自主探究 发展数学思维

邓兆琴

［摘  要］ 在小学数学教学中，教师应为学生提供一个自主探究、平等交流的舞台，让学生在探究和交流中有所思、有所悟、有所感，以此锻炼学生的数学思维，提高学生分析和解决问题的能力。文章以“鸡兔同笼”为例，引导学生通过自主探究发现解决问题的多种方法，构建“鸡兔同笼”问题的模型，有效地训练了学生的逻辑思维，提高了学生的综合学习能力。

［关键词］ 自主探究；平等交流；数学思维

“鸡兔同笼”是一个经典名题，在不同版本的教材上有不同的编排，在不同的年级用不同的方法演绎，比如列表、凑数、假设、抬腿、方程等，旨在通过不同思路和方法训练学生的数学思维，培养学生的数学学习能力；同时，通过多角度探究让学生感悟数形结合、转化、假设等数学思想方法的价值，并在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。笔者以假设法为例，引导学生通过自主探究和互动交流逐渐厘清问题的来龙去脉，进而有效提高学生的逻辑分析和推理能力。

一、课前分析

笔者在课堂调研中发现，大多数学生认为假设法的学习难度较大，虽然能够通过模仿解决问题，但是很难对该方法形成深刻印象，也很难灵活应用该方法解决问题。为了帮助学生突破这一难点，笔者整理归纳了学生存在的问题：一是学生通过独立思考和合作探究发现可以应用凑数、画图或列表等方法解决问题，很少有学生想到用假设法解决问题。因受到“先入为主”思想的影响，学生更喜欢用前面几种方法解决问题；二是受生活经验的影响，学生很难理解“鸡兔同笼”中只有一种动物的特殊情况；三是学生难以理解为什么明明假设的是鸡，但是得出的结果却是兔；四是学生对假设法的理解不够深入，对问题的解决仅停留在模仿和套用的层次上，未能形成深刻认知。分析以上问题不难发现，学生对假设法的学习还停留于一个较浅的层次，没有形成完整的解题策略。为了让学生更好地掌握本课内容，充分发挥其在锻炼学生数学思维、提高学生逻辑推理能力等方面的价值，笔者结合教学实际对教材进行适度的微调，以期通过循序渐进地引导让学生切身体验假设法在解题中的价值，帮助学生建构“鸡兔同笼”数学模型，以此提高学生解决实际问题的能力。

二、课堂实施

1. 合理引入，规避干扰

教材是教学之本，在教学中教师既要尊重教材又不要局限于教材。在实际教学中，教师可以根据学生实际情况灵活调整教材内容，从而使教材更具普适性，更激发学生的探究热情。在本课教学中，为了规避负面因素的影响，笔者对例题进行了微调，以更好地落实教学目标。

师：今天我们要开启一个神秘之旅。

生（学生疑惑）：去哪？

师：去农场购物。（教师用PPT展示农场图片）

师：老师今天打算买些兔和鸡带回来，不过我的笼子只能装下8只，你们帮我想一想，我可以怎么买呢？

在引入阶段，教师借助生活情境引导学生进行有序的思考，从而避免负面因素的干扰。

生1：1只鸡7只兔，2只鸡6只兔，……7只鸡1只兔，共有7种买法。

师：哦？你们也是这样想的吗？难道不可以单买一种吗？（学生恍然大悟）

生2：加上全买鸡和全买兔共有9种买法。

师：老师今天买的鸡和兔共有26条腿，你知道老师分别买了几只鸡和兔吗？

思考：巧妙的提问激发了学生参与的热情。通过设计购买方案，自然引入了包括全买鸡或兔的9种购买方案，为接下来利用假设法进行探究扫清了障碍。

2. 互动交流，以学定教

数学课堂是师生互动交流的平台，只有师生多边活动才能提高课堂教学的有效性。在日常教学中，教师应以学生为出发点，根据课堂动态调整教学方案，以此激发学生的学习动机。在本课新授环节，教师没有直接讲授，而是鼓励学生从自己的认知出发，通过画一画、凑一凑等方法尝试寻找解决问题的方法，以此通过多角度探究点燃学生数学学习热情。

教师让学生独立尝试后，通过互动交流探寻不同的算法。

师：谁来说一说，老师是怎么买的呢？

生1：3只鸡5只兔。

师：为什么是3只鸡5只兔？

生1：3只雞有6条腿，5只兔有20条腿，合起来刚好26条腿。

师：具体你是怎么想的？

生1：我是先猜想再验证的。

师：不错，利用凑数法得到了结论，还有其他的方法吗？

生2：我用的是画图法，先画8只鸡，一共有16条腿，这样还少10条腿，再画5只兔就变成26条腿，这样就变成了3只鸡5只兔。（生2一边说，一边画）

师：非常好，还有其他方法吗？

生3：我用的是列表法，通过刚才的分析我们知道共有9种购买方案，第一种是8只全是鸡，共有16条腿，7只鸡1只兔共有18条腿，以此类推，3只鸡5只兔共有26条腿。

学生回答后，教师给出表1。

师：观察表1，你们发现了什么规律吗？

为了便于学生观察并总结规律，教师用动画演示鸡变成兔的腿数变化的过程，进而将画图法和列表法建立联系。

生4：我知道了，当1只鸡转化为1只兔时，腿数增加2条。

师：你们太棒了，很好的发现。

思考：该环节教师将主动权交给学生，鼓励学生通过自主探究探寻不同的解决方案。从学生反馈来看，学生通过凑数、列表、画图等方法顺利地解决了问题。为了进一步呈现学生的思维过程，教师通过追问“为什么是3只鸡5只兔”，将学生的思考过程显性化，通过互动交流丰富学生认知。此外，学生给出列表法后，教师用课件跟进，引导学生通过观察发现鸡转化为兔后腿数的变化关系，以此加强学生的数学思维训练，为假设法教学做好充足的知识准备。

3. 直观感知，感悟思想

在数学教学中，通过课件、动画等直观演示可以有效淡化数学的抽象感，降低思维难度，激发学生数学学习兴趣。在教学中通过列表、画图、演示帮助学生建立直观的表现，以此促进知识的自然生成。

师：若先画的全是鸡，总腿数如何计算呢？

生1：总腿数为8×2=16（条）。

师：很好，在你刚才的图上画一画，如果增加1只兔，减少1只鸡，即变成7只鸡1只兔又该如何计算呢？

生2：7×2+4=18（条）。

师：还有其他的方法吗？

生3：16+2=18（条）。

师：请说一说你的理由。

师：通过“画一画”可知，当1只鸡转化成1只兔，腿数增加了2条，所以为16+2=18（条）。

师：很好，如果是6只鸡2只兔，如何列式计算呢？说一说你的理由？

生4：6×2+2×4=20（条）或16+2×2=20（条）。前面式子易于理解，后面一个式子表示当2只鸡转化为2只兔后，腿数增加了2×2=4（条）。

接下来教师给学生3分钟的时间继续画一画、算一算，3分钟后教师给出了表2。

师：对比以上两种算法有何不同呢？（学生沉思）

生5：第一种算法，鸡的腿数＋兔的腿数；第二种算法，全部是鸡的腿数＋鸡转化为兔后增加的腿数。

师：很好，假设8只全是鸡共有16条腿，再加上几条腿能够变成30条腿呢？

生（齐声答）：14条。

师：那么需要将几只鸡转化为兔子呢？

生（齐声答）：7只。

师：所以说若有30条腿应该是几只鸡、几只兔呢？

生（齐声答）：1只鸡7只兔。

师：很好，观察表2，是否与你计算的结果一致呢？（教师引导观察验证）

师：请在纸上画一画这个过程？

教师预留时间让学生通过“画”进一步感悟转化的过程，再用动画展示鸡转化兔的过程，如图1。

师：非常好，若我们第一步先假设全是兔又该如何计算呢？

生6：假设8只全是兔共有32条腿，减掉2条腿就是30条腿，1只兔转化为1只鸡少2条腿，这样只要将1只兔转化为1只鸡即可，所以是1只鸡7只兔。

师：非常好，通过画一画，应该如何表示这一转化过程呢？

教师先让学生画一画，然后动画展示变化过程，如图2。

思考：此环节教师先引导学生通过“画一画”思考假设全是鸡时共有多少条腿，然后逐渐将鸡转化为兔，通过直观观察发现蕴含其中的规律，得到两种不同的算法。为了进一步引出假设法，教师在“画一画”的基础上又通过列表的方法进行演示，以此通过对比分析自然地引出假设法。在教学过程中，教师引导学生思考假设全是兔时该如何计算，进一步深化学生对假设法的理解。以上过程中，教师引导学生通过画图、列表、动画等直观演示呈现了推理过程，让学生体验了数学研究的乐趣，培养了学生的逻辑推理能力。

4. 语言表述，升华认知

笔者在教学中发现，大多数学生只会做不会说。部分教师认为学生只要会做即可，对“说”不做过多的要求，但是教师对“说”的不重视影响了学生提升语言表达能力，影响了学生发展数学思维。语言是思维的外壳，表达越连贯，思维就越严谨，因此，在日常教学中教师应关注学生语言表达能力的培养。经过前面的思考和探究，学生已经理解并掌握了解决问题的过程，接下来教师预留时间让学生进行总结归纳，并开展语言表述活动，以此提高学生的语言表达能力，锻炼学生的数学思维。

师：刚才我们用假设法解决了鸡兔同笼的问题，结合表2、图1、图2，你们能再来说说具体的解题过程吗？

教师先让学生自由展示，然后点名让学生表述解决过程，多名学生用多种形式讲解了不同的解题过程。

师：你们能总结归纳一下，利用假设法解决此类问题的步骤吗？

教师预留时间鼓励学生通过互动交流进行总结归纳，以此培养学生的数学抽象能力。

思考：在教学中预留时间让学生“说一说”，在深化知识理解的基础上，培养学生的口头表达能力和思维的严谨性。

5. 巧借练习，巩固知识

适度的练习有助于学生巩固知识、提升技能、启迪思维以及提高解决问题的能力。经过前面的探究，学生已经掌握了多种解决鸡兔同笼问题的方法，此时大多数学生已经迫不及待地想验证了。基于此，笔者设计了如下问题让学生练习巩固：

问题1：某农场共卖出30只鸡和兔，鸡和兔共有88条腿，问农场卖出兔子几只、鸡几只？

问题2：小明用10元钱购买了20分和50分的邮票共35張，问小明两种邮票各买了多少张？

问题3：一次数学竞赛共有20道题，答对1道得5分，答错1道扣3分，小明在这次竞赛中考了52分，小明答对了几道题？

思考：问题1为学生熟悉的内容，学生通过假设全是鸡或全是兔可轻松地解决问题。问题2、问题3的难度略有提升，目的是引导学生运用“鸡兔同笼”中的数学思想方法解决更多实际问题，以此培养学生思维的灵活性，丰富学生的已有认知。

三、教学思考

在传统教学中，为了追求效率，部分教师很少带领学生参与推理和转化的过程。因此，学生虽然能够利用假设法得到计算结果，但是不知道自己算出来的是鸡还是兔。在本课教学中，教师通过列表、画图等方法带领学生经历了鸡转化为兔和兔转化为鸡的过程，帮助学生厘清了问题的来龙去脉，有效地发展了学生的数学思维，提高了学生解决问题的能力。

从课堂反馈来看，大部分学生通过自己的分析、实践、推理等学习活动理解了其中的关系。其实，能达到这样的效果离不开教师的启发和指导。首先，在教学中，教师秉承“以生为本”“以学定教”的教学理念，引导学生通过列表、画图等方法自主发现规律；其次，教师以学生的发现为基础，引导学生通过直观观察亲身经历假设法形成的过程，增进学生对假设法的理解；最后，教师引导学生通过“说”进一步理解推理的过程，提高了学生的语言表达能力，训练了学生的数学思维。以上教学过程充分地发挥了学生的主体作用，让学生体验了数学探究的乐趣，有效激发了学生的数学学习热情。

从练习反馈来看，大多数学生能够灵活地应用假设法解决“鸡兔同笼”等相关问题，分析问题和解决问题能力得到了进一步的提升，数学思维能力得到了进一步发展。

总之，学生思维能力的发展会经历一个漫长的过程。在实际教学中，教师切勿急于求成，应尊重学生的认知发展水平，为其提供合适的学习素材，创设合理的问题情境，鼓励学生进行自主探究，充分发挥其主观能动性，以此推动学生学习能力和思维能力的全面提升。