6结构化学材助力概念建构

李辉

［摘  要］ 数学概念不仅是数学知识的重要组成部分，也是学生分析和解决问题的基础。研究者以“比的认识”一课为例，通过教材分析整体把握“比”的本质属性和特有价值，通过学前调查了解学生的学习起点，针对学习难点挖掘丰富的数学素材，整合优化成与儿童知识体系、认知结构相匹配，与学生学习兴趣与价值相契合的结构化学材，引导学生开展观察、思考、交流等一系列活动，去伪存真，感悟概念本质。

［关键词］ 结构化学材；概念教学；本质属性；学情

数学概念是人脑对现实对象本质属性的一种反映形式，具有抽象性。数学概念在小学数学中大量存在，是学生分析和解决问题的基础，概念教学一直是小学数学教学的重要内容。生动有趣、指向知识本质的结构化学材有助于激发学生学习兴趣，并在其脑海中产生丰富的表象，促进概念理解从外延向内涵推进，从而抽象出概念的本质属性。

“比”是小学数学中一个重要的概念，教材把比定义为“两个数的比表示为两个数相除”。笔者每次教学这部分内容总会不由自主地思考：“比”与除法有什么不同呢？学生对“比”已有怎样的认识？基于以上思考，笔者通过教材分析与文献查阅厘清“比”的本质属性和特有价值，通过学情调查了解学生的学习起点，针对学习难点挖掘教材与生活素材，整合优化成适合小学生数学学习的结构化学材，助力学生建构概念和发展思维。

一、深入研读教材，把握概念本质

在教学“比的认识”时，学生已学习了除法和认识了分数，“比”的学习是学习“比例”的基础。“比”这部分内容原来一直编排在“分数除法”单元内，修订版教材把“比”列为一个独立单元，意味着学生对“比”的学习不能只停留在与分数、除法之间的关系层面，不能只从运算的角度去认识比，而要从量与量之间的关系角度来理解比。

2014年以前的人教版教材把“比”定义为“两个数相除又叫作这两个数的比”，2014年后变成“两个数的比表示两个数相除”。概念定义的变迁，进一步说明“比”与除法并不是等价概念，而是有其自身的意义、特点和价值。张奠宙先生在其《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书中明确指出：“比值的计算固然要用到除法，但是比不等于除法，比有比的意义，除法有除法的用途。比，可以只是两个量之间的一种比较关系、一种对应、一种状态，可以不必凸显除法。”

那么为什么有了除法还要引入“比”“比”与除法区别何在？

1.除法趋向于运算的形式和结果，而“比”凸显的是量与量之间的一種倍比关系；“比”为比例的学习做准备，可以扩展为正比例关系，这种比例关系的含义远超除法。

2. 除法、分数只表示两个量的倍数关系，而“比”可以表示三个或多个量的倍比关系。

3.两个数的比可以转化成两个数相除；而两个数相除，比如“等分除”就不宜表示成这两个数的比。

4. “比”源于度量，物体除了长度、面积、体积、质量等可度量的属性，还有颜色、形状、质地、口感等不可度量的属性，这些不可度量的属性用比来表征量与量间的对等关系，更加清晰明了。

二、进行学前调查，掌握学生学习起点

为了更好地了解学生的学习起点，笔者对学生进行了前测。

1. 设计问卷，学前调查

问卷内容主要有两个方面：一是了解学生的生活经验，即在现实生活中哪里见过“比”，对哪些“比”印象比较深刻；二是学生已有的知识经验，即对“比”的相关知识的了解程度。为了体现灵活性和开放性，问卷以问答题的形式给出（如表1）。

2. 整理分析，了解起点

前测共发放问卷85份，收回有效问卷85份，通过整理分析，结果表明：42%的学生知道配方中的“比”；86%的学生提及球赛中的比分；78%的学生会读写“比”，知道“比”可以转换成除法。

（1）大部分学生对“比”有一定的认识

有42%的学生知道生活中常见的“配方比”，86%的学生提及球赛中的比分，78%的学生会读写“比”、求比值，可见基于生活经验和前置的学习经验，学生对于读写“比”、求比值这样外显性的知识有一定的认识基础。

（2）区别不了“生活中的比”与“数学中的比”

86%的学生提及的球赛比分并不是“数学中的比”。比分是一个得分记录，反映的是数据的相差关系；而“数学中的比”反映的是量与量间的倍数关系，学生较难区分其差异性。

三、设计学习材料，分层建构概念

教师要站在学科结构和单元知识整体结构的视角，剖析概念的本质属性，找准学生的认知起点，将教材及其他素材创造性地改编为结构化学材。结构化学材是实现概念意义建构的有效载体，能促进学生概念认知从外延向内涵推进，同时能激发学生学习兴趣，让学生突破学习难点。针对“数学中的比是表示量与量间的倍数关系”这一学习难点，笔者整合课本与生活素材，优化成结构化学材，引导学生对比辨析，去伪存真，突破认知误区，正确区分“相差关系”和“倍数关系”，助力学生逐级分层建构概念。

1. 整合前测学材，在沟通交流中认识“比”

（1）回顾学情

生活中有许多“比”，学生已经了解很多关于比的知识。

（2）了解“比”的读写、求比值

你能选一个“比”读一读并介绍与它相关的知识吗？

“比”在生活中很常见，让学生介绍“比”的相关知识，教师因势利导、适时点拨，既尊重其学习起点，又满足其表达意愿，让其掌握比的读写法和了解求比值的方法。

2. 设计对比学材，在比较辨析中明晰“比”

（1）呈现学材一：腊肠中的“比”

教师呈现制作腊肠的场景：腊肠是一道美食，受到人们普遍欢迎。有研究表明，制作腊肠时，瘦肉和肥肉的比例为7分瘦3分肥（7 ∶ 3），这样更加油润，吃起来才香。假如按这个比取一些瘦肉和肥肉制作腊肠，你会怎么取？在学习单上填一填吧！

学习单（一）：制作腊肠时，瘦肉和肥肉的质量比为7∶3时口感较好。按这个比取一些瘦肉和肥肉制作腊肠，你会怎么取？

瘦肉     肥肉

7    ∶     3

（    ） ∶   300

1400  ∶  （    ）

（    ） ∶  （    ）

（    ） ∶  （    ）

经历学习单填写的过程，学生能充分感知制作腊肠时瘦肉和肥肉数量之间的关系。然后，教师引导学生仔细观察，它们的数量有什么变化规律？有没有不变的？

经过思考交流，学生发现：①每次变化比的前项和后项扩大的倍数相同；②无论怎么变，瘦肉的质量总是肥肉的7/3，倍数关系保持不变。

（2）呈现学材二：进球中的比

制作腊肠中的“比”倍数关系不变，球赛中的比分会有同样的特点吗？教师呈现足球赛情境：一场足球赛上半场结束了，克罗地亚队与法国队的比分是2∶1。视频回顾进球过程，学生在学习单上记录并感受比分的变化过程。

学习单（二）：一场足球赛上半场比分是2∶1，记录进球的过程，比分是怎样变的？它与煮饭中的“比”一样吗？

比分是怎样变化的？经过观察交流，学生发现：①比分是每次只有一边增加1，另一边不变；②比分中可以出现0，它的比值要么求不了，要么不相等。比分只是得分记录，主要是方便人们了解得分的相差。

（3）对比辨析，去伪存真

腊肠中的“比”和进球中的比分有什么不同？

通过观察、对比、思考，学生认识到：腊肠中的比，每次变化的前项和后项扩大的倍数相同，比值不变，也就是“倍数关系”保持一定；球赛比分每次只有一项发生变化，它的比值不能保持一定，主要是反映得分的“相差关系”。

“腊肠中的比”和“球赛比分”两个学材分别指向 “倍数关系”与“相差关系”，通过对比辨析，去伪存真，学生能清晰地认识到倍数关系的比才是数学中的比，助力概念建构，突破学习难点。

四、设计拓展学材，在应用中拓宽“比”

“比”原本是同类量的比较关系，也可以推广到不是同类量的情境，还可以根据需要拓展为三个量或多个量的比。比是学习比例的基础，教师要结合实际生活设计拓展学材，进一步拓宽“比”概念的内涵。

1. 拓展学材一，从两个量的比到多个量的比

活动1：把一个正方形平均分成2份、3份、4份，涂2种颜色（如图1），说一说你看到的比。

活动2：把2种颜色变化成3种颜色，又能看到什么比？

活动3：说一说生活中有三个量的比。

借助正方形涂色的变式，从2种颜色过渡到3种颜色，从“部分与部分比”（比如红色部分与其他颜色的比），到“部分与整体比”（比如红色部分与整个正方形的比）。在变化过程中，丰富学生对比的直觉感受，体会两个量可以比，三个量也可以比，有助于概念的整体建构。

2. 拓展学材二，从同类量的比到不同类的比

水果店搞促销，苹果3千克1盒，共12元；葡萄4千克1盒，共28元。

问题1：苹果总价12元，葡萄总价28元，你能想到比吗？

问题2：呈现数量，从苹果3千克到葡萄4千克，你能想到比吗？

问题3：苹果12元1盒，共3千克；葡萄28元1盒，共4千克，你又能想到哪些比？

如图2，教师选取学生熟悉的“总价、数量、单价”入手，递进呈现学材，鼓励学生寻找新的比。学生很容易从总价与总价比、数量与数量比，过渡到总价与数量的比，体会在实际生活中不同类量的比有时会产生新的量，进一步沟通比与除法之间的联系。

3. 拓展学材三，从比到比例

活动1：分别写出三个长方形的长宽比。

活动2：比较三个长方形长宽比，你有什么发现？

活动3：三個长方形形状相似吗？你有什么想说的？

如图3，三个长方形相似是因为它们长宽比的比值相等，如果把三个比用等号相连，就是正比例。通过相似长方形的变化，丰富了学生的空间想象力，让其感受比的美，为比例的学习奠定了基础。

4. 拓展学材四，从数学中的比到生活中的比

前测中学生写出了很多生活中的比，教师可以从中精选组合成学材。教师教学“比”后，让学生解释这些“比”的含义，深化对“比”的认识，感受“比”在生活中的广泛应用。

五、总结反思

笔者认为，概念教学应摒弃教师越俎代庖式的简单归纳，应基于教材分析和学情调查，在准确把握概念本质和学习起点的基础上，挖掘与学生已有知识体系、认知结构相契合，符合其学习兴趣和价值认同的学习材料，促使学生经历概念建构的完整过程，使其习得的知识结构化。

丰富有效的结构化学材有助于学生在脑海中产生多样的、立体的、个性化的表象，这种表象正是概念建构的基础。教师借助学材引领学生自主探索、思考辨析、合作交流，这样的概念建构才是完整的、持久的，学生对概念的理解才是深刻的、有效的，才能达成品质学习。