基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践研究——以“感知神经网络数学建模探究”一课为例*

杜志国 (江苏省昆山经济技术开发区高级中学 215300)

1 背景

随着ChatGPT火遍全球,人工智能相关技术也受到广泛的关注．人工智能的兴起不仅带动了相关产业的发展,同样也带动了对人工智能相关数学基础的深度关切．

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标》)进一步明确了数学学科的核心素养:会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界[1]2．但在传统教学过程中,多数教师习惯了流水线式的、单一的知识讲授,教学过程枯燥、无趣,真正的“学习”过程发生的机率比较小,教学效能低下,学生对数学公式、方法、模式没有可视化的直观感知．

笔者经过多年实践,从STEM教育理念出发,结合校园生活,引导学生建模,深度理解数学模型,并探究模型的内在本质与关联[2]．最后利用大数据分析软件让学生看到研究成果．对资源的重构、对教学流程的重组,激发了学生对数学模型探究的潜能,提升了教学实效．

2 基于STEM理念的数学建模探究主线教学

2.1 STEM教育理念

STEM教育起源于美国,其设计的初衷就是以培养学生的工程素养为目标,将多学科整合为其基本特征．STEM教育目标在于培养学生科学(Science)、技术(Technology)、工程(Engineering)和数学(Mathematics)四门“元学科”以及相关交叉学科的整合跨学科知识解决问题的能力[3]．

2.2 数学建模与探究主线

《课标》将“数学建模和数学探究”作为贯穿教学的一条主线,并指出:“数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题．”[1]34数学建模活动强调每一个数学概念的背景、重要结果的直接应用、数学结果的综合应用和数学建模的基本过程．数学探究活动强调不同知识间的联系和问题的解决．两者既是课程内容,也是学习方式,更是学生实践能力和创新意识的展现．数学建模活动与数学探究活动所具有的问题性、情境性、综合性、开放性、实践性、创造性等特征,使两者更契合数学学科核心素养的本质属性和特点,所以在核心素养的视域下,教学更应该强化这两类活动,使其在发展学生核心素养上发挥更好效能．

2.3 基于STEM理念的数学建模探究主线教学

美国国家研究委员会(NFC)指出,STEM教育教学改革的核心理念在于“跨学科整合”“循证教学”和“主动学习”．其三点理念核心与数学建模探究相契合,STEM跨学科整合可以视为数学建模的延伸与拓展[4],而与STEM理念中的主动学习与探究一脉相承．

基于STEM理念的数学建模探究主线教学重在跨学科整合．在教学过程中,教师立足于学生的认知基础,将数学及其他学科知识进行系统整合,形成近似真实情境的学习目标、过程与探究场景,进一步拓展对数学学科核心素养的深入理解．基于STEM理念的数学建模探究主线教学推动循证教学,在学生动手探究中建构数学模型的推理逻辑过程,借用STEM教学评价方法实现对学生学习体验的教学活动过程进行监测和对学习活动和学习环境展开监测,真切地将教学围绕学生展开,并且关注学生认知的过程,强调对学习习得过程的循证监测．基于STEM理念的数学建模探究主线教学引导学生主动学习,通过小组探究模型,将零散的知识、技能等整合在一起,促进“高阶思维”在课堂教学中真正发生[5]．

3 基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践

教学实践的开展、推进与总结必须要确保其实践流程的科学性、系统性与严谨性．课题研究小组从实践设计思路、教学实践等方面构建迭代的教学实践流程框架,保持在迭代的过程中不断优化,让教学实践沿着“循证教学”的思路,不断完善与提升．

3.1 基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践设计思路

STEM教育理念提倡跨学科思维、科学的探究能力、工程实践能力及团队合作能力等综合能力的培育.课题组根据研究需要,吸收了其他学科的教师团队,让数学建模探究主线呈现科学性,拓展出技术可视化,并提供丰富的可操作工具与流程方法．基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践的设计思路可以分为:协同教学、可操作性与完整性(图1)．

图1 基于STEM理念的数学建模探究主线实践思路框架

以“感知神经网络数学建模探究”一课为例,协同教学表现在数学教师与课题组其他学科教师一起备课．课题组成员拥有不同的学科背景,在一起协同备课,可以确保设计的流程与学习群体之间的契合度．设计协同教学时,还隐匿着制订潜在的、可行的教学实践流程．因涉及不同的学科,在前后表达的逻辑、教学任务可行性方面需探索出可行的路径,以形成统一的教学目标．

例如,数学公式的推理过程要让教学对象可以接受,也就是在表达时要适当降低复杂度,提炼出关键点,以学习者可以接受的数学知识呈现．其次,可操作性主要体现在数学建模与探究主线实践教学不应仅停留在书面上．学生学习不仅可以通过纸、笔的逻辑推演,我们更希望借助Python语言可视化呈现出数学模型与探索成果,并且应用到技术实践中,形成数学模型发现、假设、分析、总结与应用的全流程化、完整的学习体验过程[6]．在“做中学”中体验与感悟数学建模与探索主线的魅力．

3.2 基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践

跨学科教学对教师的要求较高,课程开发组需要在教师能力圈、学生认知圈与数学学科核心素养体系框架下寻找出交集,开展团队协同下的教学实验．聚焦学生的问题解决能力,注重教学过程中模型结论的归纳总结能力．课题组按照STEM理念的教学活动设计流程:识别问题和限制条件、研究、构想、分析想法、构造原型、测试和完善、交流和反思,再结合数学学科与其他学科课堂教学的可行性,有选择地制订学生体验流程．

(1)创设情境 确立主题

以“感知神经网络数学建模探究”一课为例,从印象派大师莫奈的作品与校园中的鸢尾花引入话题(如图2,鸢尾花在希腊语中称为彩虹,表示天上彩虹的颜色都可在这个属的花朵颜色中看到．鸢尾花在我国常用来象征友谊、鹏程万里与前途无量),再进一步提出本堂课的问题“如何区分变色鸢尾与山鸢尾”,引导学生从感性认知上升到理性认知．教学的内容源自校园生活,结合数学学科与其他学科的科学实践形成教学研究内容．同时,遵循学生的最近发展区,结合学生的特征与认知层次,形成相对真实的问题情境．

图2 从画家笔下的鸢尾花引到校园中的鸢尾花

(2)数学抽象 模型构建

任务1请将下列点用不同符号(变色鸢尾用小圆圈,山鸢尾用小三角形)标入下列坐标系中(图3)．

图3 学生动手在坐标系中标注数据

高中数学学科核心素养包括了数学抽象与数学建模．任务1从花瓣长度与宽度(单位:cm)出发,让学生在动手标注数据将数据形象化、可视化中体验坐标系对学生理性思维的功用,理解变色鸢尾花与山鸢尾花的感观区别．通过动手实现,推动学生运用视觉分析形成数学模型,为下一步数学模型的推理建立假设．该过程中也体现出STEM教学“做中学”的理念．

接着,引导学生从图形中建立区的基本假设,区别变色鸢尾与山鸢尾自然只需要划一条直线将图3中圆点与三角形区别开．这一思维的过程颠覆了传统的做法:传统教学一般是给出方程来计算结果,而实践情境中是依据数据构建方程来区别两堆数据．为实现区分,每个小组构建的方程又不一样,如此从确定性的探究转化为不确定性结果的研究,让个性化学习真正发生．

(3)模型探究 结果推断

任务2将分类器0.5x+y-2=0画在图3中,考察点与分类器的关系．

上述问题即为分类问题．分类就是在已有数据基础上训练出一个分类函数或构造出一个分类的数学模型,也称为分类器(classifier)．每个小组在自身确立分类器的基础上,再以小组形式展开对分类器g(x,y)的探究．以分类器0.5x+y- 2=0为例,学生的分歧点恰恰就是感性认知与理性分析的矛盾点．此时,围绕研究点展开小组合作．借助坐标系,将研究任务分成若干步骤,构建基于学习认知水平的阶梯型的研究任务链(表1)．

表1 以0.5x+y-2=0为分类器的研究任务链

将任务中分类出错的点,归纳总结为分类器

(说明:+1表示点在直线上方,-1表示在直线下方或线上．)

结论:当g(x,y)(0.5x+y-2)>0时,表明此时分类完全正确,不需要调整;当g(x,y)·(0.5x+y-2)≤0时,表明此时分类出错,需要按表1内容调整．

上述结论是数学模型的核心,也是下一步工程实践的基础．将纸上推导出来的结论应用到实践中去,可以让学习者完整地体验逻辑推理到工程实现的学习过程．

(4)模型优化 工程实现

根据上述对感知器数学模型的分析,我们设计出应用数学模型的算法:

第1步 初始化斜率w与截距b;

第2步 当感知器数学模型预测结果出错时,即上述g(x,y)(0.5x+y-2)≤0时,持续更新斜率w与截距b;

第3步 直到训练数据中没有误分类数据为止．

工程实践基于Andconda平台,它集成了180多个科学包,高效使用Python与R语言,是目前数据科学领域最流行的实验平台,核心Python代码如图4所示．

图4 Python代码

学习者通过动手感受数学模型的可视化,进一步厘清了数学模型的实现价值与意义.从数学模型到程序自我调整与改进的过程,让学习者真切地感受到数学模型探究主线的过程、逻辑与最终可视呈现,加深了对数学解决实际问题的思路与方法．最终呈现的数据模型的应用成果如图5所示．

图5 可视化呈现数学模型的应用结果

(5)总结提炼 启发点化

经过上述Andconda平台的工程实践后,学生对分类器有了认知体验．数学的公式、模型不再是纸上的公式．但是少量的数据并不能解决现实世界的问题．在上述分类器基础上,课堂最后总结并引入感知器神经网络模型(图6),并且指出上述模型就是当下最流行的深度学习技术中的感知器神经网络模型,是我们日常生活中人脸识别、车牌识别等应用的数学基础,引导学生自我发展并奠定人工智能时代基础的数学思维逻辑．

图6 感知器神经网络基本抽象模型

3.3 基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践反思

基于STEM理念的数学建模探究主线教学,整体以数学学科为核心,融合校园生活中的花草情境,后端整合了信息科学中的人工智能,用数学模型模拟了脑神经科学．在学生认知分歧点上安排有难度层级的任务链,可以有效地帮助学生通过一个个有效的研究,提升数学理性逻辑的分析能力．在关键任务研究时要舍得花时间,让深度学习真正发生,让实践中的反思焕发出学生的质疑精神,提升认知．最后借助了信息科学可视化模型的应用结果,学生的参与度很高,可视化进一步加深了学生对数学模型的理解．

4 结语

数学建模与探究是高中数学课程中引入的新的学习方式,有利于激发学生的主动性和创新意识,促使学生积极主动学习,有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯;培养学生发现、提出、解决数学问题的能力,发展学生的创新意识和实践能力．基于STEM理念的数学建模探究主线教学实践给数学“做中学”提供了一种范本.但在实践教学中我们还发现,由于分类器的首次假设是由研究小组来定的,在模型的普适性上并不一定完全正确,当测试数据与应用数据不是同分布时,就会出现意想不到的结论．因此,数学的模型一定有其适用的场景与前提条件,教学过程中需要进一步强化批判性思维的引导．