基于“直观想象素养”发展的数学教学实践与研究

［摘  要］ 文章从直观想象素养的内涵与构成出发，以“直线与平面垂直”为例，从“问题驱动获得定义”“探索线面垂直概念”“活动辨析判定定理”“类比分析性质定理”四方面展开教学，剖析学生直观想象素养培养的措施，并从“突出学生的主体地位”“重视学生的直观感知”“关注知识间的联系”三方面谈一些思考.

［关键词］ 直观想象；几何直观；空间想象

直观想象素养作为数学核心素养的六要素之一，在数学教学中具有重要作用. 事实告诉我们，基于“数”与“形”两个维度，为数学知识建立相应的联系是培养直观想象素养的重要途径之一. 因为直观的几何图形或模型，能将一些抽象且令人难以理解的复杂问题变得简单形象，让学生基于视觉感官中就能发现其中的奥秘. 然而，当前仍有部分教师忽略对学生直观想象素养的培养，将所有的时间和精力都放在逻辑思维的发展上，导致学生遇到实际问题时，难以发现最优的解决办法.

为此，笔者在近些年特地对直观想象素养的内涵、构成以及培养措施进行了大量研究，取得了阶段性的成效.

直观想象素养的内涵与构成

1. 构成

几何直观在《辞海》中的定义为一种感性认识，从数学领域来看，有着不同的解释. 如克莱因提出，数学直观是对数学概念或证明等的直接把握，数学学科的发展依靠的是正确的直观，而非逻辑. 那么，几何直观的构成是怎样的呢？如图1所示，直观想象素养由“数形联系”“描述问题”“理解问题”“认识事物”四个方面构成.

2. 水平划分

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》基于不同维度对直观想象素养水平划分为三层：第一层与高中阶段的会考要求相对应；第二层与高考要求相对应；第三层则与强基要求相对应. 从这三个水平层次来看，不同的水平层次对学生思维的要求也各不一样. 明晰各个水平层次在直观想象素养构成方面所对应的要求，对发展学生的关键能力具有指导意义.

（1）数形联系.

数形结合思想是数学学科中重要的思想方法之一. 建立“数”“形”之间的关系是提炼数形结合思想的首要步骤，不论两者谁转向于谁，均体现出直观想象素养的水平一. 在课堂中，最常见的是要求学生从教学情境中自主将一些物品的几何图形抽象出来，将实际物品与抽象而来的图形建立相对应的关系，初步感知其中的内在联系. 若想达到直观想象素养水平二的层次，则需要在关联的基础上，自主构建图形，学生的思维能力则随着图形的建构而提升.

（2）描述问题.

完成初始的数形结合，则步入利用图形描述问题的阶段，只要顺利完成描述过程，就能为提高几何直观赋能. 从水平层次来看，主要体现在如下几方面：水平一，能用数学语言描述一些简单图形间的位置与数量关系，从图形中发现相应的数学问题；水平二，通过对图形的观察与想象，发现并提出相应的问题；水平三，基于综合化的情境想象出丰富的数学问题.

（3）理解问题.

在“数形联系”与“描述问题”的基础上，可以深化学生的几何直观能力，使学生对数学问题产生更深刻的理解. 具体表现在如下几个层次：水平一，从图形性质出发，从中探索出蕴含的数学规律，并借助图形对数学问题进行描述，初步形成解题思路；水平二，探索“图图”与“图数”之间的联系，借助图形分析解题方法，感知几何直观的重要性；水平三，基于数形结合的维度进行跨学科的联系，在建模的同时形成相应的理论体系.

（4）认识事物.

在空间想象的基础上对数学事物产生深刻认识，主要体现在如下几个层次：水平一，从贴近认知体系的情境中抽象图形；水平二，基于课堂合作与互动，借助直观想象来探讨问题；水平三，基于想象的视角直观表达问题，揭露其中所蕴含的本质，形成解题技巧.

教学实践

1. 问题驱动获得定义

问题1 说一说圆锥轴与圆锥底面的位置关系.

此问的提出，意在让学生从直观角度中提出自己对“线面垂直”的看法. 与预设一样，学生观察圆锥图后一致认为，圆锥轴与圆锥底面为垂直的关系. 这是学生所提出的猜想，至于如何确定直线与平面垂直的关系，仍需进一步研究.

问题2 借助线线垂直的研究方法，思考圆锥轴与圆锥底面内哪些直线为垂直的关系，能否确定圆锥轴与圆锥底面内任意一条直线都是垂直的？

教师借助多媒体，展示圆锥旋转模型，让学生直观发现圆锥在旋转时，其轴垂直于底面是恒定不变的.

问题3 通过观察与思考，尝试给“直线与平面垂直”下定义.

学生通过肉眼观察，从直观中获得了线面垂直的结论. 在此基础上，教师引导学生回顾并类比线线垂直的研究方法，转化与化归思想的應用使得学生自主探寻出线面垂直的定义. 虽说学生无法用规范、精准的语言进行描述，但随着问题的驱动，学生的思维由感性向理性逐渐发展. 在此过程中，学生通过二维平面和三维空间的类比，有效提升了数学空间想象素养.

2. 探索线面垂直概念

数学教学离不开用定义解题的训练环节，这是提升学生数学思维的基本策略，也是培养学生数学能力的重要途径. 借助线面垂直的定义来研究空间直线、平面之间的位置关系，不仅能有效增强学生对空间图形位置关系的辨析能力，还能帮助学生更准确地建构空间图形，发展推理论证能力.

问题4 已知直线AB⊥α，直线l是平面α内的一条直线. 根据这两个条件，你能获得什么结论？

通过这个问题的探索，学生从中获得了一条新的性质：若一条直线与一个平面为垂直的关系，那么这条直线与这个平面内所有的直线都垂直. 显然，此问加深了学生对线面垂直的理解. 此时，学生又提出如下问题：在一个空间内，过一点存在几条直线（或平面）与已知平面（或直线）为垂直的关系？

上述两个问题，属于从已知到未知的探索过程，解决问题能逐渐增强学生的空间想象素养，突破思维定式. 随着对问题直观且深入的探索，师生共同总结出“点到平面的距离”的定义.

问题5 若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线一定平行吗？

证明此问最理想的方法是“反证法”，但对初次接触线面垂直关系的学生而言，确实存在一定的困难，这就需要教师加以点拨与引导.

此问的实质是对“线面垂直性质定理”的探索，将这个探索活动前置的原因在于顺应数学研究的一种内在逻辑关系，让几个问题能够一脉相承，使得学生的思维顺流而下，自然而然地在问题的探索中深度前行.

问题6 如何表述问题5所得命题的逆命题？请分别用文字语言、符号语言、图形语言加以描述.

这就要求学生先自主画图，并标注已知条件，然后进行证明与表述.

生1：逆命题是：已知a∥b，a⊥α，则b⊥α.（文字、图形描述略）

生2：证明这个逆命题看似简单，但我感到无从下手.

师：那先不着急证明，我们一起来阅读这个逆命题的条件，其中存在哪些数学知识内容？

生3：有线面垂直的知识内容.

师：不错，从线面垂直的定义出发，我们可以怎样利用它来证明这个逆命题呢？

生4：是不是可以在平面α内任意作一条直线c，使之与直线a垂直，再结合题设条件，想办法来判断直线b，c之间的位置关系？

生5：由线面垂直的定义可知，如果直线b与平面α内的任意直线（包括直线c）都是垂直的关系，那么直线b与平面α必然是垂直的关系.

基于以上互动，学生自主整理并书写出完整的证明过程（略）.

3. 活动辨析判定定理

从线面垂直的定义出发，判断一条直线与一个平面垂直，需要证明该直线与平面内的所有直线都是垂直的关系，这是难以完成的任务. 想要突破这个障碍，可以考虑从平面内直线的数量着手，引导学生通过一系列活动化繁为简、以少胜多，将“证明直线与平面内的所有直线垂直”这个复杂问题转化成“证明直线与平面内两条相交直线垂直”这个简要问题，以提高教学效率.

活动1 要求学生用一支笔作为一条直线，将桌面视为一个平面，探寻有几条能够满足线面垂直定义的直线.

活动2 小组交流，对结论进行辨析.

活动3 讨论完毕后各组将结论进行展示，并提炼讨论过程中涉及的思想方法与解题策略等.

上述三个活动遵循着学生的認知发展规律，由浅入深地引导学生操作、思考、交流、提炼和总结，让学生自主构建数学模型，拓展想象空间. 随着思维的深入，学生充分感受到，在运动中，该如何科学合理地构建数学模型，并通过正反辨析法来构造反例.

活动结束后，教师将各组学生讨论的结果投影展示，并要求各组派一名代表分别用不同的数学语言（图形语言与符号语言）来描述直线与平面垂直的判定定理，以深化学生对本节课教学内容的认识，从真正意义上促进学生直观想象素养的发展.

4. 类比分析性质定理

师：之前学习直线与平面平行时，获得其判定定理后进入的又是什么研究环节？

生（众）：性质定理的研究.

师：刚刚我们研究了直线与平面垂直的判定定理，接下来是不是该研究其性质定理了呢？结合以前的学习经验，大家能否推断出相应的结论？

其实，“探索线面垂直概念”的环节已涉及线面垂直性质定理相关内容，只是没有特别提炼出来而已. 此处，教师与学生一起回顾，让当前探索内容与之前所涉及的内容遥相呼应，增强学生自主学习能力的同时，还有效启发学生的思维，增进学生对立体几何研究方法的认识.

几点思考

1. 突出学生的主体地位

基于新课标发展学生的直观想象素养，首先要突出学生在课堂中的主体地位. 任何教学活动都要站在学生的视角去设计，以学生实际认知水平为出发点实施开展. 只有充分调动学生的主观能动性，才能让学生主动去观察、感知、体验.

“以生为本”的教学活动需以问题作为激趣启思的纽带，借助由浅入深的问题串来开启学生的智慧之门. 引导学生在解决问题的过程中感知、体验知识的形成过程，建构完整的认知结构，为直观想象素养的形成奠定基础.

2. 重视学生的直观感知

点、线、面的位置关系属于立体几何初步内容，是后续学习的基础. 课堂上除了关注学生对知识与技能的掌握情况以外，还要注重学生对几何模型的建立. 教师可将“空间点、直线、平面之间的位置关系”作为教学载体，提升学生的直观感知能力.

新课标强调：高中数学教学不仅要引导学生根据几何图形想象出实际物体，还要想象出物体之间的位置关系与方位等，能够准确描述图形的运动与变化，并运用精准却又不一样的语言来刻画图形. 这句话明确提出数学教学应注重学生空间想象能力的培养，以发展学生的直观感知. 空间想象能力作为立体几何教学的重中之重，需引起师生的足够重视.

3. 关注知识间的联系

数学是一个有机的整体，知识间存在着一定的内在联系. 立体几何的教学，需注重空间图形与平面图形之间的联系，突出数学转化与化归思想. 一般情况下，可将空间问题转化成平面问题来解决，降低解题难度，提高解题效率.

总之，直观想象素养的培养能有效帮助学生从几何直观中感知并理解数学事物，从理性的角度来提升空间想象能力与直观感知能力，而空间想象与直观感知的有机融合是有效促进学生思维能力发展的基础.

作者简介：陆娟（1982—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.