基于抽象素养培养的数学教学研究

［摘  要］ 抽象素养是每一个学生必备的基本核心素养之一，在数学教学中占有重要地位. 基于抽象素养培养的高中数学教学可带领学生经历数学抽象过程，让学生充分体验、感知数学抽象的多样化方法，并通过对知识间联系的剖析，帮助学生建构完整的知识结构体系，从真正意义上提升数学学科的核心素养.

［关键词］ 抽象素养；抽象方法；结构体系；核心素养

数学抽象是对现实事物进行数量关系与空间形式的抽象，并获得其内部关系、一般规律与结构，再用数学语言加以表征的过程. 它是对数学事物基本特征的高度概括，属于一种有序、多级的应用系统. 然而，当前仍有部分课堂存在“重技能，轻思维”的现象，用解题练习代替数学学习. 这种教学理念，严重阻碍着学生抽象素养的发展. 为此，笔者对数学抽象素养的培养进行了大量研究，总结如下.

经历抽象过程

概念本身就具有一定的抽象性特征，其形成常需经历两个层次的抽象：①从事物的外部特征出发，通过数学化的方式形成概念；②从事物的内部出发，进一步抽象已有的概念. 研究发现，亲历知识形成与发展的过程对知识的掌握会更加牢固，应用起来也更得心应手. 因此，带领学生经历概念的抽象过程是夯实学生知识基础的关键，也为后续的综合应用做铺垫. 同时，经历抽象过程还能让学生在基于深度学习视域下掌握概念的内涵与外延，此为发展“四基”的根本.

案例1 “导数”的概念教学.

第一步，利用丰富的情境或数学史引出导数的概念. 实践发现，以丰富的情境引出导数概念，并通过数学史料的介绍渗透数学文化，可激发学生的探索欲，同时结合“运动学”可成功引出教学主题. 其中，教师最常用的“运动學”情境为“高台跳水”活动，让学生发现平均速度并不能解决“跳水”中的所有问题，由此凸显“导数”的重要性.

第二步，例证分析. 针对高台跳水活动，教师提出“怎样计算瞬时速度”的问题. 要解决这个问题，需要引导学生从平均速度着手，探寻求解瞬时速度的具体方法与思路. 此过程主要分为两个阶段：①第一次概括，在教师的引导下，学生自主发现，求某个时刻的瞬时速度就是求某时间段趋近0时的平均速度，而且平均速度的变化具有如下趋势：当时间段越来越小，平均速度会趋向于某个不变的常数. 这个常数就是物体在某个时刻的瞬时速度. ②第二次概括，通过对第二个时刻瞬时速度的分析，获得运动员在任何时间的瞬时速度. 在此基础上，用数学符号=对问题进行描述.

第三步，属性验证. 通过对“切线斜率意义”的分析，对导数属性进行验证，主要从以下几方面着手：①教师借助几何画板将此过程演示出来，让学生从直观的图象中发现“逼近”现象；②根据瞬时速度求解方法，分析特定抛物线处于任意点时的切线斜率具备怎样的特征. 不同的问题，竟然呈现出了一致的表达形式，由此揭示不同例子存在的共同属性. 由此可见，将不同问题的共同属性抽象成一般化的符号进行表达，对验证导数属性具有重要价值.

第四步，概括导数所具备的本质属性. 将各种问题摆放到一起，去除所有背景，可提炼出“瞬时变化率”为以上问题的共同点，也可理解为它们共有的属性特征. 将这个属性应用到一般函数中，则可自然地抽象出“导数”的概念，让学生切身体会到导数的实质就是瞬时变化率，从而对导数的内涵产生初步认识.

第五步，引导学生对整个研究过程进行复盘、总结、反思，可重新剖析出其中的背景意义、数学属性及符号表征等，让学生对导数概念教学前后的一致性产生客观认识. 在此基础上，设置一些求函数导数的练习题，让学生在解题过程中对其符号表征及本质含义有进一步的理解，以从真正意义上明晰其背景、数学属性及符号表征之间的联系..

综上，导数概念的教学流程，不仅突出了概念教学的重要环节，还让学生从多层次中学会了抽象、概括，对导数的概念从多角度、多维度、多方法上产生了深刻理解. 这是帮助学生形成“三会”能力的基础，也是促进学生数学学科核心素养发展的必经之路.

体验抽象方法

1. 基本概念抽象

概念一般在教师的指导下，学生经过自主探索与思考抽象而来. 上述导数的概念教学，教师采用了概念形成的基本方式. 函数作为数学学科体系中的一大分支，知识容量较大，如函数的概念、单调性等，大部分都是应用概念形成的基本方式进行抽象. 学生多次经历从实例出发进行探索研究，久而久之则形成一种研究套路，即学生将这种抽象概念的方法内化于自己的认知结构中，形成自己的研究方法.

2. 延续思路抽象

高中阶段所涉及的很多教学内容，都是对学生原有知识的推广. 因为学生对这些概念本身就有一定的认识，所以在抽象新概念时，可延续原有知识生长点进行思路的拓展与延伸. 这种抽象法，一般以新例作为探索背景，通过问题驱导的方式，将学生的思维引到新的知识中去. 这种抽象法具有一定的主动性.

案例2 “分数指数幂”的概念教学.

从学生原有知识体系出发，通过一些例子的应用突破同底数幂除法运算法则中“被除数指数比除数指数大”的限制，让学生发现零指数幂与负整数幂的存在. 结合这种突破方法，通过对幂的乘方运算法则的探索，让分数指数幂在学生知识体系中自然生成. 这种突破方法的多次应用，让学生的思维得以强化，使学生不知不觉就掌握这一类数学抽象方法.

3. 转化视角抽象

人的思维具有灵活性特征，在数学抽象过程中，转换一种视角，往往会“柳暗花明”，这也是一种重要的数学抽象法.

案例3 “二项式”定理的教学.

常规情况下，大众习惯从多项式乘法的角度来归纳一些展开式所蕴含的共性特征，如在（m+n）2，（m+n）3，（m+n）4的展开式的共同点的探索中，借助递推公式获得（m+n）n的展开式每一项的系数情况，这个存在一定难度. 若换个思路，基于组合的视角来分析与探索问题，则能化繁为简，让思路变得明朗，各个展开式的系数情况能顺利呈现.

这个例子告诉我们，不论是数学学习，还是其他学科的学习，当一条路行不通时，可以换一个角度、换一种思维进行分析，多尝试几轮，则会有意想不到的效果. 这种抽象法对于数学实验研究具有重要的促进作用.

除了以上几种方法外，还可以借助简单的数学符号对一些复杂的问题进行描述，因为简洁的数学符号能将一些冗长的信息进行压缩、概括，这能将原本复杂的问题简单化，让学生能更好地掌握相应的概念. 同时借助史料素材来进行概念教学，可以让学生对概念的前世今生形成深刻理解，起到激趣启思、渗透数学文化等作用，让概念教学成为渗透核心素养的契机.

形成结构体系

1. 形成知识结构

数学是一门系统性的学科，知识间存在着一定的联系与规律，人们用知识结构来表示这种联系与规律. 知识结构表达了数学家族一系列特征，涵盖了人们从逻辑的角度对知识来龙去脉的认识. 在数学教学中，注重培养学生的抽象素养，帮助学生建构完整的知识结构，不仅能让学生从整体上认识数学学科，还能提高学生对知识的预见，提升学生的解题能力.

案例4 “导数”的概念教学.

从逻辑的角度来分析，导数属于函数性质中单调性的压缩结论，与函数单调性最大的区别在于两者描述的内容不一样，函数单调性是对两个不等式关系的分析，而导数则是不等式的融合，若将不等式结合在一起形成分式，则属于函数图象内连点成割线斜率的过程.

在教学中，教师带领学生分别理清“导数”“斜率”“单调性”的关系结构，不仅能帮助学生为三个知识点建立联系，还能进一步深化学生对“用导数判断函数单调性”的认识，让学生在独立思考与合作探索的过程中，自主建构完整的与导数概念相关的知识结构，达到深度学习的目的，也从真正意义上促进抽象素养的形成与发展.

2. 建构数学知识体系

建构数学知识体系属于高阶的数学抽象，能让学生从宏观的角度深刻认识数学知识、理论体系以及研究方法.

从抽象素养的角度去构建数学知识体系，存在以下三方面的内容：①站到高位梳理知识体系；②为不同体系的内容建构联系；③基于对结构体系的梳理，形成统一的研究方法，提出新的命题.

案例5 “复数”的教学.

史实证明，人们首次应用复数是为了解二次方程；到16世纪，卡尔丹应用复数解三次方程，当时人们对复数充满着疑惑；随着数学学科的发展，19世纪高斯提出了a+bi（a，b为实数）的几何意义，自此在数学体系中就有了复数的地位.

基于数学文化的渗透，教师再以问题串的方式，启发学生思考，引领由浅入深地进行探究，则能让学生对复数产生不一样的感受，帮助学生建构完整的知识体系. 学生通过类比自然数、有理数以及实数的扩充过程，发现每一次数系扩充都源于生活实际的需要、解方程的需要或运算的需要等. 由此也能让学生深刻理解数学与生活密不可分的联系.

为了让学生学会基于抽象的角度去构建数学知识体系，在复数教学时，教师带领学生站到高位来观察数系扩充的过程，让学生对复数的概念与其代数形式的四则运算产生初步认识. 在课堂上，教师借助多媒体展示图1，引导学生基于整体的视角来观察本单元的教学内容，做到心中有沟壑，为后续教学做铺垫.

在数学史与问题串（略）的引导下，学生自主抽象出扩充数系的方法，并基于向量的联系提取一般性的概念与数学思想方法. 图1的应用，进一步强化了学生的整体思想，让学生学会从宏观视域来探索教学内容，并达成知识体系的统一性.

总之，数学抽象的培养需要经过长期潜移默化的渗透. 在教学中，教师应想方设法引导学生亲历数学抽象过程，引發学生体验抽象带来的成就感，激发学生的探索欲，为帮助学生建构完整的数学知识结构与知识体系奠定基础，从真正意义上促进学生抽象素养的发展.

作者简介：冯军（1985—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.