浅析如何在解题教学中发展学生的数学学科核心素养

［摘  要］ 发展学生的数学学科核心素养是解题教学的一项基本任务. 教师要改变“例题讲解+模拟练习”的旧模式，带领学生在问题解决和拓展过程中进行表述、操作、推理等，以此提高学生分析和解决问题的能力，落实学生的数学学科核心素养.

［关键词］ 数学学科核心素养；解题教学；过程；能力

当下，培养学生数学学科核心素养已成为时代所趋，而解题是发展学生数学学科核心素养的必经之路. 不过，在解题教学中，教师要控制好“量”，把握好“度”，贯彻“以生为本”的教学理念，通过适度、适量的练习来提高学生解决问题的能力，发展学生的数学学科核心素养. 为了落实学生的数学学科核心素养，教师在讲解习题时，应发挥学生的主体性，引导学生自主探索已知和未知之间的关系，根据已有知识、经验、方法架构由已知通往未知的桥梁，提高解题效率. 不过，在实际教学中，部分教师为了追求训练速度，习惯应用“以师为主”的教学方式，直接告诉学生“因为……所以……”，表面上帮助学生解决了问题，实際上由于缺少思考与探究的过程，不利于学生获得深度理解，难以实现知识的融会贯通. 另外，若在二轮复习中，教师仅以“例题讲解+模拟练习”的方式开展解题教学，容易固化学生的思维，使学生失去学习的兴趣和信心，影响学生可持续学习能力的提升. 在实际教学中，教师应带领学生经历表述、操作、推理、验证等过程，深化学生对知识、方法的理解，并通过有效反思帮助学生将其内化为能力，促进学生数学学科核心素养的落实.

笔者以高三二轮复习中的一道圆锥曲线综合题为例，谈谈解题中发展学生数学学科核心素养的几点认识，若有不足，请指正.

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，连接AE，AF，若两直线的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值.

第（1）问的难度不大，由题意轻松求得椭圆C的方程为+=1. 在求解过程中，教师先让学生独立思考、自主探究，鼓励学生应用不同的方法解决问题，然后组织交流，充分展示学生多样的解题过程，以此激活学生的思维，帮助学生积累经验，拓宽学生的视野，提高学生解决问题的能力.

第（2）问有一定难度. 从学生反馈来看，部分学生因无从入手而陷入困境. 为了帮助学生摆脱困境，教师选择问题串的方式进行逐层引导，问题串如下：

①待求的是什么？你想到了什么？

预设：待求的是直线斜率，易于联想斜率公式，由此自然求点E和点F的坐标. 这样从结果出发，明晰研究方向.

②点E和点F的坐标是否可求？结合已知条件，你有什么发现？

预设：由已知条件可知kAE=-kAF，又A为定点，不妨设直线AE的斜率为k，则直线AE的方程为y=k（x-1）+，将其与椭圆方程联立，可求出点E的坐标（用参数k表示）. 同时，还可求出点F的坐标（也用参数k表示）. 由此根据斜率公式，问题获解.

这样在教师的引导下，学生逐渐形成正确的解题思路. 形成解题思路后，教师鼓励学生将解题进行到底，以此训练学生的运算能力，提升学生的解题信心. 以上方法是学生易于理解和接受的，是大多数学生乐于选择的方法. 学生利用该方法求解后，教师还可以引导学生换个角度思考，以此来激发学生的探究热情，培养学生的创造能力. 例如，教师可以让学生思考这样一个问题：这里要证明直线EF的斜率为定值，根据这一信息你能知晓什么？这样在问题的引领下，学生发现直线EF的斜率存在，于是直接设直线EF的方程为y=kx+m，然后联立椭圆的方程，消除x后可得关于y的方程，根据韦达定理及已知条件，也可以解决问题.

分析至此，解题思路形成，接下来教师预留充足的时间让学生择取方法去解答，以此培养学生的数学运算与逻辑推理等数学素养.

学生顺利求解后，教师呈现学生的解题过程，并引导学生进行对比分析，以此在强化通性通法的同时，让学生发现不同方法的优缺点，进一步发展学生的逻辑推理和数学运算素养，提高学生分析和解决问题的能力.

多方位拓展，发展数学素养

高三二轮复习不仅要强化一轮复习的效果，还要引导学生灵活应用知识解决问题. 因此，二轮复习不仅要满足基础知识和基本技能的训练，还要通过有效拓展和延伸来提高学生的数学应用水平，培养学生合情推理和数学抽象的能力，发展学生的数学学科核心素养.

1. 纵向延伸，深化理解

上述例题顺利求解后，教师启发学生继续思考，将问题一般化. 例如教师这样引导：若椭圆中心为原点，焦点在x轴上上，A为椭圆上任意一定点，E，F为椭圆上的两个动点，设直线AE的斜率为kAE，直线AF的斜率为kAF，若kAE+kAF=0，那么直线EF的斜率是否为定值呢？问题给出后，教师没有让学生直接求解，而是先引导学生用数学语言进行表述，以此提高学生的数学表达能力. 学生通过思考与交流，给出如下延伸问题.

延伸 已知椭圆C：+=1（a>b>0）上有一定点A（acosθ，bsinθ），E，F为椭圆C上的两个动点，设直线AE的斜率为kAE，直线AF的斜率为kAF，若kAE+kAF=0，则直线EF的斜率是否为定值？若是，定值如何表示？

教师放手让学生以小组合作的方式解题，学生通过解法类比，选择最优的解决思路，求得直线EF的斜率为定值，表示为. 在此基础上，教师引导学生总结归纳，得到结论1.

结论1 已知椭圆C：+=1（a>b>0）上有一定点A（acosθ，bsinθ），E，F为椭圆C上的两个动点，若直线AE和直线AF的斜率满足kAE+kAF=0，则直线EF的斜率为定值.

设计意图 引导学生经历特殊与一般的转化，培养学生直观想象、合情推理、逻辑推理等素养. 同时通过对一般问题的探索，进一步强化学生对通性通法的理解，提高学生的运算素养和推理能力. 在解决问题的过程中，教师让学生以小组合作的方式解题，让学生在互动交流中相互启发、相互补充，以此提高学生的解题信心，培养学生的合作意识. 问题解决后，教师引导学生总结归纳，以此培养学生思维的深刻性，提高学生的归纳概括能力.

2. 横向拓展，提升能力

椭圆与抛物线、双曲线密切相关，在完成椭圆相关内容的探究后，教师引导学生进行拓展，进一步深化学生对知识的理解，帮助学生建构完善的认知体系，提高学生的逻辑推理、类比联想等能力和素养.

拓展 已知抛物线y2=2px（p>0），A（x0，y0）是抛物线上一点，若任意两条弦AE，AF的斜率满足kAE+kAF=0，则直线EF的斜率是否为定值？如果是，请求出定值.

在教师的启发和引导下，学生通过合作探究，证明直线EF的斜率是定值，为k=-. 问题解答完成后，教师预留时间让学生总结归纳，从而得到结论2.

结论2 已知抛物线y2=2px（p>0），A（x0，y0）是抛物线上一点，若任意两条弦AE，AF的斜率满足kAE+kAF=0，则直线EF的斜率为定值-.

设计意图 通过横向拓展进一步加强学生数学表述、合作探究和归纳概括等能力，让学生感悟数学与知识之间的内在联系，提高学生参与数学探究的积极性，培养学生的数学学科核心素养.

教学思考

圆锥曲线是高考的一个重要考点（对动点问题的考查更是重中之重），也是教学难点. 在二轮复习中，教师可以将这些热点或难点问题编制成专题，引导学生探索问题的性质与求解思路，以此消除学生的畏难情绪，提高学生的解题信心.

在本课教学中，教师从一道典型例题出发，通过多角度分析，拓宽学生的视野，让学生掌握通性通法，提高学生的解题能力. 在此基础上，教师继续启发和引导学生进行横、纵的拓展延伸，进一步强化学生对数学知识的理解，提高学生的数学运算素养和归纳概括能力. 这样通过多角度、全方位的探究，帮助学生跳出机械式解题训练的束缚，让学生体会类比推理在数学探究中的价值，领悟和把握问题的本质，有效提高学生解决问题的能力，促进学生数学学科核心素养的落实.

总之，解题时要跳出机械式训练，多提供一些时间让学生在问题解决和拓展延伸的过程中进行表述、操作、推理等，以此提高学生分析和解决问题的能力，落实学生的数学学科核心素养.

作者简介：王小冬（1979—），本科学历，从事高中数学教学工作.