聚焦深度学习 发展核心素养

［摘  要］ 在核心素养背景下，发展学力是教学的根本. 实践证明，支持高中数学深度学习的教学理论有元认知理论、建构主义理论和情境认知理论等. 研究者以“基本不等式的证明”教学为例，分别从以下几方面进行教学设计与分析：历史情境，初步抽象概念；问题驱动，探索概念关系；深入探索，探究证明方法；挖掘背景，揭露几何意义；知识应用，解决实际问题.

［关键词］ 深度学习；核心素养；基本不等式

布鲁纳研究发现，学习存在浅层学习与深度学习两大类，两者为相对的关系. 深度学习指通过学习活动将新知内化、吸收、应用的一种方式［1］. 新课标视域下的数学教学需要将深度学习理念与数学学科核心素养的发展有机地融合在一起，此为促进学生终身可持续发展的有效措施.

深度学习的理论基础

1. 元认知理论

元认知理念由弗莱维尔提出，是指元认知主体对自身认知系统的内省情况，通俗来说，元认知就是“认知内的认知”，属于认知主体对自我体验的觉察、观察与调节过程. 该理论与深度学习理论一致，都在教学框架的基础上，引导学生联结新旧知识，帮助学生积累丰富的学习经验，循序渐进地发展学生的数学思维以及创新意识，为提升学生的学习能力与核心素养奠定基础.

2. 情境认知理论

20世纪80年代，情境认知理论初步成型，它认为一切学习活动都产生于具体情境中，个体参与实践，和他人、环境互相作用是学习的实质［2］. 情境认知理论强调数学学习需要在合理的情境中获取知识，同时依靠自己或和他人合作来解决复杂的问题，提升自身的社会参与度. 深度学习同样注重和他人合作共同解决问题，因此两种理论是互相融合、相辅相成的关系.

教学目标

教学目标是教学的方向标，其重要性不言而喻. 本节课教学目标的设定应从发展学生数学学科核心素养的角度出发，以学生为主体，对应本节课的知识、技能以及各项能力，通过可观可感的行为动词来具体描述学生在课堂中的行为要求.

具体教学目标设定为：从情境出发，探索核心概念；基于特殊到一般的数学思想辅助，借助基本不等式的抽象发展数据分析能力；通过各种证明方法探索基本不等式，提升逻辑推理能力；解决实际问题，拔高思维，树立学习信心.

教学过程

1. 历史情境，初步抽象概念

情境 以毕达哥拉斯学派关于“算术中项、调和中项、几何中项”为情境素材，引导学生感知古往今来人类对数学的探索从未停歇，基于“两个正数a，b所产生的两个量与”为学生揭露本节课的教学主题——探索与及其之间的关系.

设计意图 史料的底蕴不仅能增添课堂的文化气息，还能激发学生对“两个量与”的探索兴趣，为引出算术平均数、几何平均数等奠定基础. 如此设计，可让学生对其前身有一个明确的认识，从而更好地理解算术平均数与几何平均数的内涵与外延，促进学生数学抽象素养的发展.

2. 问题驱动，探索概念关系

问题1 猜想和谁大谁小.

生1：取a=1，b=4代入计算，可见大于.

生2：取a=b=1代入计算，则=.

……

学生经过一番探讨，初步达成共识：若a，b为正数，则≤（当且仅当a=b时取等号）.

设计意图 特殊到一般是重要的数学思想，如此设计不仅解决了问题，还有效发展了学生的“三会”与建模能力.

3. 深入探索，探究证明方法

问题2 众所周知，特殊情况下获得的结论不一定准确，想要确定其科学性，还要进一步证明. 现在请大家思考该怎样去证明.

生3：可以用“作差比较法”来证明≥.

师：可以将证明过程板演一遍吗？

生3：可以. 因为-=·［（）2-2·+（）2］=（-）2≥0，所以≥.

师：看起来不错，但总觉得哪里有所欠缺，有没有同学可以补充一下？

生4：生3的证明过程不够完整，应该在开端添上“a>0，b>0”这个条件，最后还要添上“當且仅当a=b时取等号”这句话.

师：不错，这就是我们常说的“作差比较法”. 是否还有其他证明方法呢？

生5：可以将生3的证明过程倒过来进行证明，具体为：因为（-）2≥0，所以a-2·+b≥0，即a+b≥2·，≥，当且仅当a=b时取等号.

师：非常好！这一证明方法就是我们俗称的“综合法”. 其实还有一种类似的证明方法：欲证≥，仅需证明a+b≥2，也就是证明a-2+b≥0，即证（-）2≥0. 显然最后一个不等式是成立的，因此不等式≤是成立的，当且仅当a=b时取等号. 此为“分析法”. 即从待证明的结论出发，通过一步一步地探索，找出该结论成立的充分条件，由此来确认该结论是成立的. 值得注意的是，证明过程格式要规范.

设计意图 带领学生以“作差比较法”为起点，符合学生的认知水平，满足个体差异的需求. 学生通过自主思考与探索可自主获得“综合法”. 考虑到“分析法”的逻辑关系比较复杂，学生难以把控，因此笔者选择以示范的方式进行教学.

4. 挖掘背景，揭露几何意义

展开历史画卷，可以看到中华民族拥有丰厚的文化底蕴，接下来笔者带领学生基于基本不等式的历史背景，逐层探索基本不等式的几何意义. 如借助赵爽弦图展开教学，具体过程如下：

借助多媒体展示第24届国际数学家大会的会标（见图1）与赵爽的大方图（见图2），在图示下方附上《周髀算经》中关于勾股定理的词句，基于此对基本不等式的几何意义展开探索与分析.

以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实. 黄实之多，即勾股差实. 以差实减之，开其余，得外大方. 大方之面，即勾股并也.

5. 知识应用，解决实际问题

例题1 若已知x，y均大于0，求证：+≥2.

例题2 已知函数y=x+，x∈（-2，+∞），该函数的最小值是多少？

习题 （1）求证：不等式+a≥2（a>0）.

（2）在x>1时，函数y=+x的最小值是多少？

设计意图 本节课为基本不等式的起始课，因此教学重点放在知识背景与概念形成上，关于具体问题的解决比较少，点到为止即可.

教学思考

1. 关注情境导入

高中数学容量大、难度大、抽象性强，想让学生心甘情愿地投入新章节的学习中，最好的办法就是“激趣”. 情境作为激趣的重要手段，是调动课堂学习氛围的重要抓手. 究竟该如何设计好情境，成功“激趣启思”呢？这是践行深度学习理念首先要思考的问题. 实践证明，以学生感兴趣的内容作为情境材料，可让学生深入到问题的探索中来，为提高教学实效奠定基础.

本节课在元认知理论与情境认知理论的辅助下，将毕达哥拉斯学派所探索的内容作为情境素材，成功吸引了学生的注意力，让学生自主投入“与”的探索中. 这种导入方式有趣、有料，充满着文化底蕴，值得倡导.

2. 关注探究的切入点

解决核心问题是数学课堂教学的重点，但数学体系庞大，一节课可能涉及大量的知识点，若想在课堂时间内兼顾到每一个知识点是不可能的，只有找准核心，以核心知识作为探究的切口，进行纵横联系的深入探索，才能达到深度学习的目的［3］. 那么，究竟该怎么找准探究的切入点呢？这对教师来说是一个挑战. 首先，教师应充分了解学情，從小切口设计问题，便于学生理解新知，探寻到合适的研究方向；其次，切入点的问题需要具备探究性，学生的思维本身就具有很大弹性，探究性强的问题可充分挖掘学生的潜能，让学生进入深度学习的状态.

本节课的每一个探究活动都有明确的方向，如上文的问题驱动，就让学生在明确的指向下对概念间的关系进行分析，对“若a，b为正数，则≤（当且仅当a=b时取等号）”达成共识，并在此过程中充分感知特殊到一般的思想.

3. 应用史料可提升严谨习惯

学生在课堂中接触到的每一个概念、法则等都经历了漫长的岁月，教师将丰富的史料渗透在课堂中，可让学生对知识点的源头产生明确认识，体会每一个知识的形成是多么不易，由此感悟数学家们严谨的数学精神，提升学生文化素养的同时，也能促使学生形成严谨的学习习惯.

从本节课的教学设计来看，不论是课堂伊始的情境导入，还是后续“几何意义”的揭露，都应用了大量的数学史料，学生遨游在丰富的数学文化中，不仅对基本不等式的证明产生了更加深刻的理解，还进一步增加了认知宽度，为深度学习创造了条件. 同时，这些史料的应用，也促使学生从基本不等式的探索中获得了科学、严谨的证明习惯. 这些习惯的养成是践行深度学习的基础，也是形成必备技能、提高学习效率的保证.

4. 反思促进师生共同体的构建

教学是一个循序渐进的过程，也是构建师生共同体的过程. 深度学习理念指导下的数学教学需要关注师生的协作情况，但高中知识错综复杂，一不小心就会掉入“题海战术”的泥潭，学生在这种状态下难以突破自我认知的局限，很难从真正意义上获得举一反三的能力. 加强师生、生生之间的交流，建构师生共同体则能发散学生的思维，让学生基于深度学习理念下完善知识体系.

在本节课的每一个教学环节中，笔者与学生积极进行互动与交流，整个教学环境和谐、舒适，学生在笔者的指导下主动进入了深入探索状态，不仅有效发展了学生的“四基”与“四能”，还拉近了学生与笔者之间的距离. 当然，师生共同体的构建，也让教师体会了教学的成就感. 因此，这是一节教学相长的课堂.

总之，深度学习作为发展学生数学学科核心素养的重要方法，其有效性得到了广大教育工作者的一致肯定，但在具体实施时，需要结合本班学生的实际学情与当地的教育背景等及时调整教学方案. 实践证明，深度学习视域下的数学学科核心素养的培养要从点滴做起，将学生打造成思维敏捷、勇于质疑、大胆猜想、乐于探究的创新人才.

参考文献：

［1］ 董奇.元认知与思维品质关系性质的相关、实验研究［J］. 北京师范大学学报：社会科学版，1990（5）：51-58.

［2］ 张舒郴，董君武. 指向深度学习的新型教学流程探索——以高中数学教学为例［J］. 上海教育科研，2021（08）：76-80.

［3］ 李保臻，孟彩彩，巩铠玮. 基于深度学习的高中数学教学设计研究［J］.教学与管理，2021（25）：62-64.

作者简介：彭科（1978—），本科学历，中学数学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.