初中数学实验类型及其教学范式

樊春健

［摘  要］ 初中数学实验是学生数学学习的重要方式. 初中数学实验能充分发挥数学学科的育人功能，彰显数学学科的育人价值. 初中数学实验教学范式主要有切片式、并列式、阶梯式和混合式四种类型. 在初中数学实验教学中，教师可以采用一种“教结构—学结构—用结构”的范式，充分发挥学生数学实验的主体性作用，让学生的数学实验从他组织走向自组织，从单一走向立体、多维.

［关键词］ 初中数学；数学实验；实验类型；教学范式

实验是学生数学学习的重要方式. 数学实验能充分发挥数学学科的育人功能，彰显数学学科的育人价值. 在初中数学教学中，教师要激发学生的实验兴趣，调动学生的数学实验积极性，发掘学生的数学实验创造性，引导学生借助实验去探索、建构、创造数学知识. 数学实验是学生知识建构、技能和智慧形成的根源，是学生数学经验建构的重要方式，也是数学思想的源泉［1］. 教师必须深入研究数学实验的类型及其教学范式，并不断探寻数学实验类型及其相对应的实验范式，才能让学生的数学实验更科学、更高效，才能提升学生的数学学习效能.

切片式实验活动设计

初中生的数学实验活动，从组织范式上来看，主要可以分为两大类：一类是通过一个实验活动解决问题的切片式实验；另一类是通过多个实验活动解决问题的复合式实验. 切片式实验，往往是针对学生数学学习中的某个学习重点、难点、疑点和盲点内容而开展的单一性实验；而复合式实验（复杂式实验）往往是针对复杂的内容或内容群等而开展的多重性实验. 切片式实验的基本范式就是“实验→结论”. 在初中数学课堂教学中，切片式实验往往更契合现实，更有助于数学实验的常态化开展.

由于切片式实验是一种单一性的实验，因此它往往是嵌入课堂教学之中的，或者是课堂教学的一个环节. 根据实验目标、实验对象、实验内容等的不同，切片式实验可以分为概念型切片实验、方法型切片实验等. 比如教学“勾股定理”这一部分内容时，为了让学生能在数学活动中感受“数形结合”，笔者设计了这样一个“切片式实验”：在数轴上表示无理数. 在活动中，学生从问题出发，开展自主研究、合作交流. 在实验过程中，学生充分地观察、思考，将勾股定理的学习与已有知识经验结合起来，扩大了数学视野，增强了数学学习的主动性、积极性.

切片式实验是教师在数学课堂上经常开展的数学活动. 教师要根据学生自身特质及具体学情，引导学生开展动态性、生成性的实验活动. 动态性、生成性的数学实验不仅能激发学生的数学学习兴趣，还有助于促进学生的数学认知、理解，更有助于化数学知识的抽象为形象，从而让学生的数学思考、数学探究深入浅出.

并列式实验活动设计

与切片式实验活动不同，并列式实验活动往往是教师引导学生针对同一个数学问题开展不同视角的数学探究. 并列式数学实验活动，有助于学生充分发挥自身的主体性作用. 教师要鼓励学生在数学学习过程中开展多样化探索，尤其要鼓励学生开展个性化探索. 并列式实验活动的范式是“数学实验1（数学实验2……）→结论”. 换言之，在同一个时空下，学生针对同一个数学学习目标、内容等开展不同的数学实验，但殊途同归都能得出相同的数学结论. 对于学生的并列式实验，教师要引导学生互动、交流，从而让学生的实验设计策略、方法、路径得到分享、共享［2］.

比如教学“多边形的内角和”这一部分内容时，教师基于学生的已有知识经验（主要是三角形的内角和），引导学生开展自主性、自能性的数学实验. 学生基本上采用一种“将多边形分割成三角形”求内角和. 为了探索的方便，学生大都采用的“以小见大找规律”的方法，也就是学生从探索四边形内角和、五边形内角和、六边形内角和等入手，归纳、概括、总结出多边形的内角和. 在具体的实验过程中，有些学生从多边形的内部取一点，然后依次连接这个点和多边形的顶点；有些学生从多边形的边上取一点，然后连接这个点和多边形的顶点；还有些学生从多边形的一个顶点出发，依次连接这个顶点和其他的顶点，等等. 不同的学生，在各自的小组开展了不同的实验活动. 在分组实验之后，教师引导学生进行实验互动、交流，从而引导学生进行实验后的对比分析，让学生总结各自实验活动的相同点和不同点. 通过去除实验过程中的非本質属性内容，让学生经历去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的过程，进而引导学生得出相同的数学结论. 并列式实验活动可以在同时空下开展，它们之间没有优劣之分，而仅仅是视角不同、方法不同等. 并列式实验活动设计中，教师基于同一个问题，采用不同的实验路径、策略、方式和方法，但最终都能让学生发现、建构数学新知.

并列式实验活动没有主次、轻重之分. 实验与实验的关系是并列的. 教师要善于赋权、放权，要善于让学生拥有自主实验的时空，让学生在自主实验过程中习得数学知识，提升数学活动能力. 如在上述“多边形的内角和”的探索过程中，学生通过比较并列式实验，能有效归纳、总结出多边形的内角和公式. 在并列式实验过程中，教师不宜给予学生过多的条条框框，而应当引导学生开展个体性的实验. 个体性的实验充分彰显了学生在数学学习中的主体性、独特性，是学生数学素养的确证与表征.

阶梯式实验活动设计

学生的数学实验过程需要经过“猜想—验证—实验—结论”的过程，但这个过程往往不是一帆风顺的，也不是一蹴而就的，而是需要一个循序渐进、螺旋式上升的过程. 换言之，学生的数学实验是一种“实验—再实验—又实验—……”的过程. 这些实验不是重复性的，而是呈阶梯式的. 阶梯是一个形象的比喻，是指学生的数学实验活动处于一个不断进阶的过程. 前一个实验是后一个实验的基础，后一个实验是前一个实验的延伸、拓展、提升. 通过阶梯式的实验，学生往往从“初步发现”到“逐步完善”再到“得出结论”的全过程. 阶梯式实验活动，针对的是学生通过一个数学实验活动不能有效解决问题，而只有依托多个数学实验活动才能有效解决问题的现象.

比如教学“三角形的内角和”这一部分内容时，教师首先引导学生开展操作性的探索，主要是让学生借助剪角、撕角、折角、拼角等相关的活动，让学生增强对“三角形的内角和”的感性认知. 但这种感性认知不能满足学生的理性诉求，学生认为这样的实验方式是一种外在的甚至是非数学的证明方式，因而就会产生一种严格证明、严密推理的实验诉求. 为此，在学生操作性的实验活动的基础上，教师要引导学生开展思维性的数学实验. 思维性的实验主要是头脑实验，也就是要求学生借助辅助线，利用“两直线平行、内错角相等”“两直线平行、同位角相等”以及“等量代换”等相关的数学知识、方法和思想进行思维性的推理、推导. 相较于第一层次的外显的操作性实验活动，这一层次的思维推理性的实验活动就是一种学习进阶，能助推学生的数学认知从低阶走向高阶. 如学生对“三角形的内角和”的认知不再模糊，不再停留在大约是180°的层面上，而是证明了“三角形的内角和就是180°”. 通过这一层次的思维性实验，学生的数学思维更加严谨、严密. 有了这种阶梯式实验活动，学生就会对“三角形的内角和”形成本质性的认知. 这种阶梯式实验活动范式，层次清晰、结构清晰、脉络清晰，具有可操作性，是学生数学学习的重要范式.

阶梯式实验活动设计，要求教师谋划好学生数学学习的步骤，引导学生循序渐进地开展数学实验，促进学生在数学实验过程中展开深度思考、深度探究，促进学生数学学习的转型升级. 在阶梯式实验活动过程中，学生能不断突破自我的认知局限，对数学知识的认知能走向本质.

混合式实验活动设计

所谓混合式实验活动，也就是指“教师在引导学生数学实验的过程中融合了并列式、阶梯式实验活动，是一种各式实驗活动融合、交织在一起的实验方式”. 在混合式实验活动过程中，教师可以引导学生应用多种实验方法，比如模拟法、模型法、对比法等. 通过混合式实验活动，引导学生建构数学知识、建构数学模型. 混合式实验活动，在初中生数学学习活动中有着广泛的应用，能有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养.

比如教学“特殊的平行四边形”这一部分内容时，教师引导学生通过剪、叠、折等方法去制作平行四边形纸片、菱形纸片、正方形纸片等. 教师首先引导学生制作平行四边形纸片，这一数学实验活动相对比较简单. 在此基础上，教师引导学生借助长方形制作菱形纸片. 教师首先引导学生观看微视频，让学生认识到长方形的对角线相等，得出连接长方形四条边的中点所构成的图形就是菱形；接着引导学生动手操作，让学生依据观看微视频得到的原理折叠制作出一个菱形. 这一过程激发了学生的学习兴趣，让学生产生了“制作菱形”的愿望. 为此，学生积极地运用折、剪、叠、拼等多种方式，创造出多样化的制作菱形的方法，这是并列式实验活动. 通过丰富多彩的并列式实验活动，学生不仅学会了折、叠、剪的方法，还学会了拼的方法. 在此基础上，教师引导学生进一步开展数学实验，让学生制作正方形. 有学生根据矩形的特质，对菱形予以加工；有学生直接将四边形加工成正方形，培养了创新意识. 如有一些学生认为，任意的一张纸（无论是什么四边形），最多只要操作三次就可以形成一个正方形，第一次可以通过任何四边形创造出平行四边形，第二次可以借助平行四边形创造出菱形或矩形，第三次就可以借助菱形或矩形创造出正方形. 这样的一种实验过程，不能不说是学生的发现. 在这个过程中，学生的数学实验活动既有并列式的，又有阶梯式的，因而它是混合式的. 如果说，并列式实验活动是从不同切口开展的，那么，阶梯式实验活动就是切口的一种承接，下一个数学实验活动的切口就是上一个数学实验活动的结论. 混合式实验活动既让学生的数学实验多样化，又让学生的数学学习具有一种连续性、发展性、进阶性.

在“制作图形”的过程中，学生不仅掌握了平行四边形、矩形、菱形、正方形等图形的特征，而且掌握了它们之间的关系. 借助“制作图形”活动，学生还能积累数学基本活动经验，感悟相关的数学思想方法. 教师要积极地谋划学生的数学学习步骤，引导学生循序渐进地开展数学实验，促进学生的数学思考、探究不断升级.

学生的数学实验是一个多层次、结构化、系统化的活动过程. 对学生数学实验范式的实践研究不仅能提升教师的教学力，还能增进学生数学实验活动的理性自觉. 在初中数学实验教学中，教师可以采用一种“教结构—学结构—用结构”的范式，充分发挥学生在数学实验中的主体性作用，让学生的数学实验从他组织走向自组织，从单一走向立体、多维，让学生的数学实验焕发出生命的活力.

参考文献：

［1］翟斌. 数学实验，让数学课堂更精彩［J］. 初中生世界，2018（48）：42-44

［2］孙朝仁，朱桂凤. 基于学习观支持的数学实验教学实践理路［J］. 教学与管理，2021（28）：43-46.