关于图形变换中的折叠探究

孙锴

［摘  要］ 折叠是图形变换的一种方式，图形折叠中涉及了点、线段、图形的一些特殊性质，是几何综合题构建的基础. 中考综合题中常见几何折叠，探究问题特征，总结解题策略就显得十分有必要. 文章挖掘几何折叠的本质，归纳解题策略，探究矩形背下的几何折叠问题.

［关键词］ 图形；折叠；线段；模型；矩形

问题综述

折叠是几何变换的一种方式，以其为背景构建的几何问题在中考中十分常见，问题设计新颖，变化多样，能够全面考查学生的读图与分析能力.

几何中的折叠问题，本质上就是对称问题，图形折叠中隐含着全等，对应边、对应角相等. 实际考查时常从综合视角切入，涉及三角形全等及相似、四边形的性质定理、勾股定理等知识，同时隐含了数形结合、分类讨论、方程、模型构造等数学思想. 探究解析需要立足折叠特性，把握知识关联、合理使用几何的方法技巧来构建思路.

关于几何折叠问题，解题突破有如下三种策略，可根据题型特点灵活选用.

策略1：根据图形折叠的知识本质，折叠前后所得的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，可利用其几何特性来构建模型；

策略2：提取问题中的特殊模型和特殊关系，如直角三角形、三角形相似等，灵活运用勾股定理、相似三角形的性质来构建线段关系；

策略3：把握知识关联，结合问题中的相关图形性质，如圆的性质、四边形性质等，将问题转化为特殊的几何问题.

问题探究

几何折叠问题的类型较多，图形结构丰富多变，图形的构建背景不唯一，常见的有矩形、三角形、一般四边形等. 设问涉及线段关系、动点轨迹、分类讨论模型等多种形式，下面结合实例探究矩形背景中的折叠问题，总结方法.

1. 矩形折叠与线段比值

矩形折叠中的线段比值问题，即以矩形为背景构建几何折叠，探寻其中的线段比值关系. 探究解析的核心是转化构建图形中的线段关系，可提取其中的特殊模型，利用勾股定理、三角形相似的性质来转化构建.

解析  由题干条件可知，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，所以AP=BP=DQ=CQ，∠ADC=90°. 点F是线段AQ的中点，则DF=AF=QF.

设AP=BP=DQ=CQ=m，则AB=CD=2m. 由题意可知将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，所以DF=CD=2m，EF=CE，可推得DF=AF=QF=2m，设EF=CE=n.

解后评析  上述为矩形折叠中的线段比值问题，考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线等相关知识. 解题的关键是把握折叠过程，合理构建模型，提取其中的特殊三角形，利用勾股定理来构建线段关系，将线段比值问题转化为与线段参数相关的代数问题进行分析.

2. 矩形折叠与模型讨论

矩形折叠与模型讨论问题，即以矩形为背景构建动态问题，解析时需要讨论其中的模型，如点位置模型、图形形状模型等. 问题解析需要关注其中的动态要素，设定条件，分类构建模型，针对模型开展讨论分析.

例2？摇 如图3，在矩形ABCD中，已知AB=10，AD=6，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP. 作射线PE与边AB交于点Q，当QE=QB时，t=______.

解析  本题目以矩形为背景构建了动点移动以及三角形折叠. 问题分析等线段情形下动点的移动时间，需要讨论点E的位置，分别构建几何模型讨论.

情形1：当点E在矩形ABCD的内部时，如图4所示. 四边形ABCD为矩形，则AB∥CD，∠APD=∠BAP. 题目中将△ADP沿着AP翻折得到△AEP，其中AD=6，由折叠特性可推得∠APD=∠APE，∠D=∠AEP=90°，AD=AE=6，DP=EP=2t，所以∠BAP=∠APE，∠AEQ=90°，从而有QA=QP=PE+QE=2t+QE.

情形2：当点E在矩形ABCD的外部时，如图5所示. 可推知∠APQ=∠APD=∠PAQ，所以AQ=PQ. 因为QE=PE－PQ=DP－PQ=2t－PQ=QB，所以BQ=2t－AQ=AB－AQ，则AB=2t=10，可解得t=5秒.

解后评析  上述探究等线段条件下移动时间t的值时，采用了数形结合、分类讨论的方法. 基于动点E的位置来分别构建模型，充分利用图形折叠的相关知识，把握其等线段、等角条件展开推导. 整个过程全面考查了几何相关知识，涉及矩形的性质、几何动点、折叠的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质等知识.

3. 矩形折叠中的路径与面积

矩形折叠中的路径与面积，即以矩形折叠为背景，探究其中动点的运动路径，以及由此生成的关联图形的面积. 问题解析依然需要从图形折叠出发，分析折叠前后点、线、图形之间的关联，再确定其中的动点轨迹，构建最值模型求解.

例3？摇 如图6所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为______.

解析  本题目中以矩形折叠为背景，探究三角形的面积最小值，属于几何动态面积问题. 问题解析需要关注图形折叠后的位置，分析动点的移动范围，再构建模型开展面积最值分析.

解后評析  上述探究几何折叠背景中的图形面积最值时，把握图形折叠过程，确定点的位置关系，进而构建最值模型求解. 问题解析的关键有两点，一是解析折叠，确定点的相关位置关系；二是转化面积问题，构建△ACG面积最值与点G的位置.

4. 矩形折叠与坐标函数

矩形折叠与坐标函数，即在坐标系中分析矩形折叠，坐标系中的几何折叠具有了“数”的特性，可结合函数曲线推导点坐标，利用点坐标求解线段长. 对于折叠中的几何特性，可从几何、代数两大视角来进行突破.

解析  上述问题中将矩形折叠与坐标系相结合，求解反比例函数特征参数的值. 解析时要充分利用折叠特性来推导线段长，充分利用相似特性及勾股定理构建线段关系，解方程求k值.

解后评析  上述探究坐标系中的矩形折叠，折叠过程中的线段长、点位置具有了“数”的特性，于是问题解析时可利用函数解析式来求点坐标. 对于问题中的线段推导，可以利用相似三角形的性质及勾股定理，另外还可以利用正切值求反比例函数图象上点的坐标特征.

教学建议

上述探究了矩形背景中的折叠问题，深入挖掘了问题知识背景及破解策略，并结合实例探究了四类常见题型. 下面结合教学实践，提出几点建议.

建议1：透视几何折叠，挖掘折叠本质

图形折叠是几何运动的方式之一，开展几何折叠探究教学，要引导学生透视折叠，深刻理解折叠. 因此，教学中要挖掘其知识本质，可从两大视角进行：一是全等视角，即折叠前后的图形为全等关系，如三角形全等；二是对称视角，即图形关于折痕对称，且对应点的连线段被折痕平分. 教学时要引导学生思考，结合图形进行论证. 可采用如下两种方式：一是设问引导，结合矩形折叠的常见问题，让学生口述折叠过程，提起其中的几何性质；二是拓展引导，引导学生思考折叠中的知识关联.

建议2：总结归纳问题，形成解题策略

上述探究了矩形折叠常见的四类问题，涉及了线段比值、模型讨论、路径与面积以及坐标函数. 问题形式虽多样，但其解题方法及构建思路具有一定的关联性，解题探究时要注意总结归纳，生成相应的解题策略. 如提取问题中的特殊图形和特殊关系，基于全等、相似来构建线段关系. 处理折叠中的面积问题时，基于割补法将其转化为特殊图形的面积. 教学中教师要指导学生强化训练，积累经验，生成解题策略.