问题驱动视域下关于初中数学深度教学的探索与思考

汤雪峰

［摘  要］ 问题驱动视域下探索初中数学深度教学是提升学生数学核心素养的重要渠道之一. 研究者从问题驱动教学与深度教学这两个核心概念出发，以“平面几何”的中考复习教学为例，分别从“画图，问题驱动确定研究对象”“研图，问题探究揭露图形本质”“用图，问题解决引发深度思考”三方面展开分析与思考.

［关键词］ 问题驱动；深度教学；平面几何

核心概念界定

1. 问题驱动教学

问题驱动教学简称PBL教学，是指将问题作为教学主线所规划的课堂，以领域内初步问题作为探究的起点，引导学生围绕问题通过探索与交流获取真知的一种教学方式. 实践发现，好的问题可有效激发学生的学习兴趣，营造学习氛围，促使学生更好地掌握基础知识与技能，并在独立思考的基础上进行合作交流，拓展思维，提升学习能力.

2. 深度教学

深度教学是指在有效教学的基础上，深挖教学资源，引导学生进行深层次思考，以进一步提升思维品质，获得自主发现、提出、探索与解决问题的能力，最终指向核心素养的教学策略. 因此，深度教学是促使深度学习真实发生的基础. 对数学课堂而言，学生、学科与学习是设计教学的基本对象，深度教学则是一种深入教材本质，触及学习者心灵深处的一种教学策略. 深度教学并不满足于知识表面的传输，而是在遵循教学规律的基础上，促使“教”与“学”深度融合的过程.

实施教学

问题驱动下的平面几何深度教学一般遵循“画图—研图—用图”的过程（见图1），学生通过自主操作形成认知冲突，随着观察、猜想、验证的进行，可形成高阶的认知，提炼从一般到特殊，再从特殊到一般的数学思想.

1. 画图：问题驱动确定研究对象

多媒体播放微视频进行课堂导入，内容为“证明任意三角形均为等边三角形”，具体过程为：如图2，作△ABC中BC边的中垂线与∠BAC的角平分线相交于点O，分别连接BO与CO，并作OC′⊥AB，点C′为垂足，OB′⊥AC，点B′为垂足.

根据“AAS”可证得△AOC′≌△AOB′，根据“HL”证得△C′OB≌B′OC，所以AC′=AB′，BC′=CB′，因此C′A+C′B=B′A+B′C，即AB=AC.  与之类似，可得AC=BC，因此AB=AC=BC，所以△ABC是一个等边三角形.

提出問题：视频中证明任意三角形均为等边三角形的方法是否合理？如果不合理，问题出在哪里呢？

生1：肉眼观察图2，发现这个图就不是等边三角形.

师：既然你们觉得这个图不标准，那么该怎样验证这个疑惑呢？

活动1 ？摇尺规作图

如图3，作△ABC中∠A的角平分线，使之与BC边的中垂线相交于点E，分别连接BE，CE，过点E分别作AB，AC边的垂线，点G、H为垂足.

师：通过尺规作图，大家有什么发现？

生2：作图发现BC边的中垂线与∠A的角平分线的交点E落于△ABC的外部.

设计意图？摇 此过程意在引发学生的认知冲突，促使学生通过探索问题对本节课知识产生探索兴趣，由此主动地参与到几何图的探究中，这属于深度教学的起点，为深度学习的发生搭建了平台. 学生亲历操作与合作，充分认识到等边三角形的性质，为接下来的探究活动提供了素材.

2. 研图：问题探究揭露图形本质

探究1 ？摇通过画图，结合线段中垂线与角平分线的性质，说说你们的收获.

生3：根据线段中垂线上的点到两端点的距离相等，可得BE=CE；根据角平分线上的点到两边的距离相等，可得GE=HE.

探究2？摇 从图形特征出发，还能发现其他结论吗？

学生自主探索，小组合作交流，提炼汇总，汇报结论.

（1）图中特殊图形或图形关系有：等腰三角形CEB，Rt△AGE，Rt△AEH，Rt△BEG，Rt△CEH，△AGE≌△AHE，△BEG≌△CEH.

（2）图中元素间的联系：分别将线段间的联系与角之间的联系展示出来.

（3）图中图形变换为基本图形.

围绕着点E进行旋转，可获得△CEH，且A、G、E、H四点共圆，A、B、E、C四点共圆……

设计意图？摇 引导学生结合自身的学习经验研究几何图形是复习课常用的手段. 此环节意在带领学生从几何图形的结构特征出发，借助转化思想引导学生从复杂的图形中分解出基本图形来，并逐步研究其各个几何元素间的联系与规律，由此获得一定的结论，为解决实际问题奠定基础.

探究3？摇 借助一般到特殊的思想进行变式探究.

师：我们若将问题进行特殊化，比如通过条件的增加，使得△ABC为特殊三角形，以上获得的结论还成立吗？若让你添加，你会增加什么条件？

基于学生回答，提出如下问题：

如图4，△ABC中的∠C=90°，作∠BCA的角平分线和AB边的中垂线相交于点E，分别连接AE，BE.

问题：（1）求证：△ABE为一个等腰直角三角形.

（2）如果CA=8，CB=6则四边形CAEB的面积是多少？

（3）在问题（2）的基础上，求EC的长.

问题1？摇 该图增加的条件是什么？和之前所探索的图形存在哪些异同点？

问题2？摇 根据第（1）题可得△ABE为等腰直角三角形，第（2）题中待求四边形与第（3）题中的线段EC在图中拥有什么特殊性吗？怎样计算？

基于以上两个问题的驱动，学生经过独立思考、合作交流，大致形成如下基本图形及解题方法：

如图5，因为CE为∠BCA的角平分线，可将关于四边形CAEB的面积进行转化，变成探索正方形CGEH的面积的问题.

如图6，结合△ABE为等腰直角三角形的条件，可将图形进行旋转，将四边形CAEB的面积转化成△ECC′的面积.

关于第（3）题，则在第（2）题的基础上借助等腰直角三角形或正方形的面积计算获得EC的长. 此例解法不少，最关键的因素在于对四边形CGEH的特征进行分析，从其特征出发研究三角形、角、线之间存在怎样的联系.

设计意图 ？摇动静结合、张弛有度是提升几何教学效率的根本. 此环节，教师在原图的基础上鼓励学生自主设计变式，让学生对图形的认识逐渐深入、全面、深刻，尤其是层次清晰的问题让学生的思维拾级而上，学生通过深度思考、合作交流等方式，更进一步认识到探索几何图形的常规方法.

3. 用图：问题解决引发深度思考

问题驱动教学视角下的深度教学需将教学评价贯穿于教学始终，教师在每一个环节都要关注学生的参与度，及时组织学生进行自评、互评等，让学生在第一时间发现自身存在的问题和改进措施. 如本节课的尾声，笔者就设计了如下练习，鼓励学生在自主完成的基础上实施交流与评价.

练习训练：如图7，已知⊙O的直径为AB，且点C恰巧位于圆上，CD是∠ACB的角平分线，且分别与⊙O，AB相交于点D、M，连接DA，DB.

问题：（1）线段AC，BC，DC之间存在怎样的关系？

（2）假设AD=m，CD=n，△ABC的周长该怎样用含有m、n的代数式来表达？

问题：请尝试提出新的问题.

设计意图？摇 学生对于一节课的掌握情况体现在解题过程中. 教师为了及时了解学生对知识的掌握程度，在研究图形的基础上对问题条件进行适当改编，以观察学生对知识的掌握与应用水平. 结合学生认知水平的差异性，此处安排了三个小问题，每一个问题的难度适当递增，目的在于促使学生思维的螺旋式上升，让学生从真正意义上掌握與应用相应的数学思想方法.

几点思考

1. 优化问题，营造质疑情境

PBL视域下的数学深度教学离不开一个个高质量问题的参与，尤其是课堂的诱发阶段为一节课的关键点，其问题的质量对整节课教学的成败具有决定性的作用. 众所周知，问题是数学的心脏，是推动教学的根本. 想要基于PBL实施深度教学，就要从本节课的教学内容出发，关注学情特点与知识特点，不断优化驱动性问题的设计，通过丰富的问题营造质疑情境，以启发学生的思维，驱动学生的探索欲.

本节课虽然是一节复习课，但教师以有趣的问题作为课堂诱发素材，让学生置身于充满质疑的情境中激发认知冲突，形成学习的内驱力，使得学生不由自主地进入深度学习状态. 学生对于几何图形虽有一定的基础，但对其结构特征、命题、定理等的理解还不够透彻. 这就要求教师在驱动性问题的设计上，要从问题的探究性、开放性等角度着手，发散学生的思维，促进深度教学.

2. 引导参与，细化知识生成

对客观事物形成有理有据的解读以及探索其本来面貌是深度教学的根本，关于初中数学平面几何部分的深度教学，可从对图形的认识着手，引导学生从本质上掌握几何图形的结构特征，从知识的系统性出发把握图形结构，让学生亲历探索过程，对图形形成深刻理解.

本节课，从研究对象上来看为三角形与角平分线以及中垂线所构成的几何图形，而从本质上来分析，其涉及的几何内容相当丰富，为了让每个层次的学生都能在问题驱动下获得深度学习，教师有针对性地设计了一系列有梯度的探究活动，促使学生更好地置身于问题的探索中，对知识的形成与发展过程形成明确的认识，从而完善知识网络，促进思维的发展.

3. 注重反思，强化知识构建

深度教学意在引导学生通过“层进式学习”，深化对知识内在结构的理解. 本节课，随着知识结构的变化，不少学生对解题方法的多样性产生了困惑. 教师可针对学生所产生的困惑调整教学方法，进行适当的变通，帮助学生更好地强化知识的构建与应用.

反思是实施深度教学不可或缺的部分，当完成一个教学活动后，教师本身不仅需要对活动过程进行反思，还要带领学生对自己的学习过程进行反思，以进一步梳理、总结教学情况，帮助学生完善研究问题的方法. 本节课的练习训练就涉及多个知识点、多种解题思路与运算方法等，教师可引导学生边解题边反思，及时进行归纳整理，以形成解决此类问题的一般套路，提升解决综合性问题的能力.

总之，基于PBL的视角展开问题驱动式教学可促使学生更好地理解平面几何问题，让学生从他们熟悉的图形出发，经历“画图—研图—用图”的过程，有效启发思维，践行深度教学，提升数学核心素养.