论GeoGebra软件与初中“图形与几何”教学的深度融合

彭月 曹文栋 童莉 谭英

［摘  要］ 推进深度融合是教育信息化2.0的重要任务，数学软件GeoGebra与“图形与几何”的深度融合有利于挖掘数形结合思想、培养几何直观素养、促进自主合作学习，对形成动态开放、以学生为本、可持续的新型教学形态具有积极的意义. 研究者以勾股定理教学为例，从勾股定理的发现、证明、延伸三个方面设计探究活动，通过GeoGebra形成和发展学生的几何直观、推理能力、问题解决能力，促进深度融合.

［关键词］ GeoGebra软件；深度融合；图形与几何

随着教育信息化2.0时代的到来，信息技术受到越来越广泛的关注. 2021年3月1日，教育部等六部门印发的《义务教育质量评价指南》中强调了义务教育阶段信息技术深度融合的重要性，技术发展对教育发展推动的必然性. 信息技术的使用能有效优化数学教学过程中的绘制图形、展示变化、探究性质等环节，有助于激发学生的学习兴趣、探究热情，培养思维能力、创新能力.

初中阶段是学生思维发展的黄金时期，处于由具体运算阶段向形式运算阶段的过渡. 几何特有的抽象性有利于发展学生的抽象能力和推理能力，但学生对几何的理解受限于空间想象力不足，很难对几何动态进行清晰描述. GeoGebra作为动态数学软件，对几何变化的呈现与分解能降低抽象难度，帮助学生理解复杂的变化过程，为学生的几何认知、方法构建提供脚手架，促进理解、发展学力［1］，下文就初中“图形与几何”的内容探究深度融合的实现.

GeoGebra软件与初中“图形

与几何”教学深度融合的含义

GeoGebra软件因为信息技术的特点，能将“图形与几何”中的变化与难点可视化，有利于培养学生的几何直观. GeoGebra在“图形与几何”中的教学优势是实现深度融合的基础.

1. GeoGebra软件与初中“图形与几何”的关联

GeoGebra软件名称来源于Geometry（几何）与Algebra（代数）的组合，作为一款数形结合的软件，具有方便绘制、动态直观、查看进度等优点［2］，为图形的动态展示与合作探究提供诸多便利.

具体到初中“图形与几何”板块而言，GeoGebra的功能首先体现在绘制图形的便捷性上，丰富的基础图形与指令输入极大地简化了操作难度. 同时它还体现在动态展示的直观性上，能帮助学习者洞悉数学本质、分解变化难点、明确因果逻辑. 更为重要的是，GeoGebra洞悉数形结合的本质，绘制过程由形到数，输入过程由数到形，构建了数与形的理解通道. 最后是探究进度可视化，在GeoGebra制作的课程中可以实时查看学生的探究情况，智能化的操作方便教师了解课堂情况，优化教学进程. 综上所述，GeoGebra在“图形与几何”上的丰富功能与独特优点是深度融合的基础.

2. GeoGebra软件与初中“图形与几何”教学深度融合的内涵

目前信息技术与深度融合的丰富内涵主要体现在教学内容、教学主体、教学环境的改变上，何为深度融合学界并没有统一或可操作的结论，综合文［3］［4］的观点，对GeoGebra软件与“图形与几何”教学深度融合的内涵归纳如下：将GeoGebra软件应用到“图形与几何”教学中，形成动态开放、以学生为本、可持续的新型教学形态，它使得学生能主动参与探究，构建几何认知结构，培养终身化学习能力和创新能力.

在这样的教学形态中，教师需要具备较强的信息素养与创新能力，成为活动的设计者、教学的指导者、过程的评估者；学生是知识理解的联结者、活动交流的合作者、有效思考的创造者，让GeoGebra软件的应用不只局限于课堂，从课堂到课外，提升师生的信息素养，真正实现可持续与终身化的学习.

对几何内容而言，教学软件Geo-Gebra应充分发挥信息时代的优点与特点，形成处处可学、时时能学的开放学习资源，并通过数形结合优化图形展示、扩增几何内容、重构单元教学，形成和发展学生的抽象能力、几何直观、推理能力，具体的内涵如图1所示.

GeoGebra软件与初中“图形

与几何”教学深度融合的策略

GeoGebra软件的丰富功能与多元呈现有利于教学形态的转变，从功能上看，GeoGebra软件的深度融合能优化教学过程中的探究验证、计算推理、动态变化、内容扩增等环节；从效果上看，GeoGebra软件对强化数形结合思想、培养直观感知能力、促进自主合作学习具有重要意义.

1. 开展数学探究活动，体现数形结合思想

GeoGebra软件的数形结合特点为教学活动提供了有效的探究平台，让学生经历用代数方法解决几何问题的过程，并在探究中实现知识的深入理解，提升教学实效，体现学生本位. 在实际课堂中，由于探究问题的不规范或探究工具的缺失，往往会让探究活动流于形式. 在以学生为主体的课堂中，教师会通过问题串引发学生的思考从而引出探究活动，但问题的设置总是追求知识而非原理，探究的目的是证明而非对实际情况的探索发现. 这样的探究过程忽视了学生的思维逻辑，不利于体现学生的主体性.

有效的概念探究应该类似于概念的发现，让学生在此过程中理解概念从何而来、应用于何处，在实际问题的探究中培养学生的推理能力. GeoGebra软件作为探究平台，能有效简化绘制、测量等步骤，并且绘图区自带直角坐标系，通过图形與代数的一一对应让学生更加深刻地理解数形结合在问题探究中的优势，并且充分发挥以上优势，让学生在有效的探究体验中培养思维能力.

2. 提供动态变化环境，培养几何直观素养

GeoGebra软件作为动态数学软件，对图形变化过程的展现能让学生直观感知图形的内部结构和变化逻辑，有助于学生对变化的整体感知，并通过对变化过程的拆解，把握变化本质，优化问题解决.

许多几何问题的难点在于无法将文字转化成图形，GeoGebra软件的多维呈现能直观展示运动变化过程，让思维在具体图形中找到落脚点，触及图形变化规律，分析变化中的不变量. 比如在“动角问题”中，对于多个不绕同一方向旋转的三角形，难以想象三角形各边互相形成直角的情况，讲解中也只能绘制符合条件的特殊情况，并借助教具大致说明. 学生很难理解抽象的变化过程，对思维较薄弱的学生更加重了学习数学的心理负担. 而GeoGebra软件通过完整展现先让学生整体感知问题，观察变化过程与符合要求的情况；再通过讲解总结优化，用图形展示直观，借证明规范逻辑，在GeoGebra软件的深度融合中培养直观感知能力与严谨数学思维.

3. 满足内容延伸需求，激活自主学习意识

GeoGebra软件的动态直观与开放性，能优化许多教学资料的呈现方式. 从核心素养上看，为了让学生了解概念的来源与原理，教材中通常设置了课外延伸，如果能用Geo-Gebra软件呈现延伸内容，能有效激发学生的学习热情，培养学生的自主学习能力，从而营造更加自主开放的学习环境.

以勾股定理为例，勾股定理的证明方法据记载已超过了400种，课堂上却只对毕达哥拉斯、赵爽弦图、“总统”证法这三种面积法进行介绍，其他证明中精彩的逻辑推导、图形展示往往难以涉及. 但教材的课外延伸不仅介绍了勾股定理的来源，还展示了中国的“青朱出入图”、古印度的“无字证明”、达·芬奇的证明方法等丰富资料，其中蕴含着面积等量代换的证明思路与悠久传承的数学文化. GeoGebra软件的有效呈现会激发学生自主学习，使学生产生深入探索的欲望.

这也意味着，知识讲解与探索不能仅靠课上，GeoGebra与课堂的深度融合将打破课堂的“墙”，教师可以将课堂资源和延伸资料上传，供学生自主下载，让学生反复观看、操作、理解，温故知新联系知识；同时学有余力的学生对课堂的延伸内容进一步地探索，扩增课堂知识. 培养学生的学习能力能有效帮助学生适应复杂变化的信息化时代，塑造未来的世界公民，实现人的可持续发展.

GeoGebra软件与初中勾股

定理教学深度融合的实践

为了更直观地展现GeoGebra与几何教学的深度融合，本文以勾股定理为例进行设计. 勾股定理位于北师大版初中八年级上册第一章，是继全等三角形、轴对称等章节后对三角形的进一步学习，将三角形的研究对象从角扩充成边. 承接于等腰三角形、30°与45°特殊直角三角形边长关系的认识，其本质是对直角三角形三边关系的总结，下启高中正余弦定理、基本不等式、解三角形等知识，与著名的费马猜想、鲍恩猜想、埃斯柯特猜想等相关联，是初中最重要的几何定理之一.

勾股定理的教学旨在培养学生的几何直观、推理能力、问题解决能力，以素养为引领，以问题为驱动，通过探究活动激发学生的推理热情，从特殊到一般发现并总结勾股定理. 勾股定理内涵丰富，探究过程能有效培养学生解决问题的能力. 借助Geo-Gebra软件探索勾股定理，有利于学生更深刻地理解勾股定理的来源，融合过程具有典型性、丰富性、开放性的特点. 下文以第一节“认识勾股定理”的三个探究活动为例作为展示.

1. 观图测积，化形为数

观察图形，激发问题意识；测量面积，发现三边关系；化形为数，得到勾股定理. 通过毕达哥拉斯故事中的地砖引发学生对于直角三角形三边的思考，提出问题：对于任意直角三角形是否满足两直角边的正方形面积之和等于斜边正方形的面积？激发学生的问题意识，让学生产生量一量、算一算的冲动. 引导学生开展探究活动一，在探究开始前详细说明探究课题、内容、步骤，明确研究问题，规范学生行为，让学生把探究过程变成解决问题的过程.

在探究活动中，对步骤的理解存在一个过程，而复选框可以让多个研究对象按顺序出现，逐个分解重点，降低学生的理解难度，且多次探究操作能帮助学生获得丰富的数学活动经验，为定理的发现启发思路，培養学生归纳推理的能力. 该环节先让学生对图形有一个直观认知，再通过计算验证思路，整个过程由浅入深、由形到数. 通过多感官参与激发学生自主学习热情，通过数形结合培养学生问题解决能力，是GeoGebra功能的典型体现.

2. 旋转弦图，理解证明

旋转弦图，分解变化过程；聚焦变化，证明勾股定理. 引导学生通过GeoGebra进行探究证明，综合考虑各个证明的挑战性与观赏性，在探究过程中主要针对赵爽弦图证法进行动态操作. 分步骤展现弦图变化，从分析组成、切割分类到旋转变化，从正方形回到正方形，让学生感受到数学的魅力.

该过程原始图与弦图的呈现，从两个方面展现了图形的变化，没有弦图时的图形是一大一小两个正方形，有弦图时被分割成了四个全等的直角三角形与一个小正方形. 由复杂到简单的过渡，帮助学生直观体会图形的旋转变化，亲自动手操作能有效激发学生的探究热情. 独立的探究活动能让学生自主掌握操作的快慢，每个学生都可以根据自己的理解充分探索变化过程，达成学习的个性化，促进学生的自主学习. 不过完整的证明还需要强调书写要求和格式规范，通过面积的等量代换思想，帮助学生养成严谨求实的数学习惯.

证明后，还可以设置下列思考题：分别以直角三角形的三边往外作半圆、等腰直角三角形、等边三角形，如图4所示，S1，S2，S3的面积之间分别是什么大小关系？分层教学帮助学生深化对勾股定理的理解.

思考题将勾股定理的应用进行拓展，通过变式练习让学生领悟核心、熟悉公式、明确本质.

3. 勾股树下，文化育人

延伸勾股定理，呈现精彩文化. 在探究完勾股定理的证明后可以简单科普《周髀算经》，让学生感受中国古代的数学文化与发展. 接下来回到勾股树的基本图形，提出问题：若对勾股定理的图形进行多次重复会变成什么样子呢？以此激发学生的探究热情，使教学走入学生的情感与思维深处. 引出探究活动三：探究勾股树的形成与变化（如图5）. 通过正方形个数的增加与滑动条的滑动感受勾股树的动态变化，该过程能极大激发学生的学习热情和分享欲望.

该探究作为教材内容的扩增，一方面能让学生从更本质的角度发现模型、总结规律，更全面地理解勾股定理的应用与含义；另一方面Geo-Gebra生成的勾股树体现了勾股定理的奇异美，对美的体验深化了学生对数学的理解，同时教师还可以通过勾股树为学生科普数学分形与数学文化，展示丰富的分形图形：谢尔宾斯三角形、科赫雪花曲线等，让学生对数学产生兴趣与探究欲望，感受知识的丰富应用.

在对以上三个活动进行教学实践后，不难发现GeoGebra的参与能有效吸引学生的注意力，让更多的学生参与到课堂探究中来. 这说明GeoGebra与教学的深度融合是培养学生自主学习能力、合作交流意识的有效路径，也是对创造开放的、以学生为本课堂的积极尝试. 随着教育信息化2.0时代的到来，我们对Geo-Gebra的思考也应该进一步深化，为什么要融合、何时融合、怎么融合、融合到何种程度都还值得继续追问，通过GeoGebra发展学生的终身化学习能力任重而道远.

参考文献：

［1］罗建宇. 从融合到创新：基于GeoGebra的数学深度教学［J］. 数学通报，2020，59（02）：23-26.

［2］张志勇. 基于GeoGebra的数学实验与可视化教学［M］. 长春：东北师范大学出版社，2018.

［3］祝智庭，魏非. 教育信息化2.0：智能教育启程，智慧教育领航［J］. 电化教育研究，2018，39（09）：5-16.

［4］谭奇，袁智强. 整合技术的数学问题解决框架及其应用［J］. 数学教育学报，2021，30（04）：48-54.