基于“自主建构”的数学教学研究

葛红琴

［摘  要］ 揭示知识的形成过程，引导学生自主建构完整的认知体系是数学教学的核心任务. 为了达成这个任务，笔者开展了基于“自主建构”的数学教学研究. 文章以“相似三角形的性质”教学设计为例，从“创设游戏情境，导入新课；素材直观呈现，引发猜想；借助几何画板，验证猜想；完成实际问题，应用推广”四方面展开研究，并提出相应的思考与评价.

［关键词］ 猜想；自主建构；相似三角形

立足知识的逻辑关系，促进学生的自主建构，主要是指在以问题为载体的背景下，教师结合学情与教学内容的特点，建立探索发现和意义建构相统一的逻辑关系，让学生在自主思考、质疑与反思中完成真正意义上的知识建构. 弗赖登塔尔认为：再创造是数学教学的重要方法，即教师通过一定的手段，带领学生去发现要学习的知识，让学生亲自探索、体会、感悟知识的形成与发展过程［1］. 因此，知识的“再创造”是帮助学生厘清知识逻辑关系，实现新知建构的关键.

教学设计分析

本节课基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》（简称新课标）的背景而设计，注重以“四基与四能”“三会”“核心素养”等理念为指导，力图让学生通过本节课的学习，不仅弄清知识间的逻辑关系，理解相似三角形的性质，还能在数学能力上获得不同程度的发展.

数学学习的过程本就是不断积累经验的过程，学生在此过程中经历数学抽象、表达、思考等，获得能力的沉淀与核心素养的提升［2］. 如何在本节课教学实施的过程中，将学生原有的认知结构与生活经验转化成新的数学抽象呢？这是笔者在授课前一直在思考的问题. 为了让本节课达到预期的教学效果，让学生的思维经历“直观—具体—抽象”的过程，笔者将本节课做了如下设计.

教学简录

1. 创设游戏情境，导入新课

课堂伊始，笔者利用电子白板中的知识配对功能，结合学生的兴趣设计了一个“连连看”的游戏，在激发学生学习兴趣的同时，完成新课的导入. 如图1，左侧为相似三角形的判定定理（文字语言），右侧为图形（图形语言），要求学生将左右两边的内容进行连线配对.

设计意图？摇 利用学生感兴趣的游戏情境复习旧知，调动课堂气氛，为本节课教学奠定良好的情感基础. 丰富的情境作为新旧知识沟通的纽带，可让新知的导入更加自然、流畅，也让学生对新知的探究充满渴望.

师：根据我们之前研究图形的经验，一旦对某种图形的定义与判定有了明确认识之后，接下来就到了研究图形的什么内容的环节.

生（齐）：性质.

师：非常好！今天我们将要研究的主题为“相似三角形的性质”（板书），着重研究在一个三角形中，该三角形的高、中线以及角平分线（简称三线）在明确三角形相似之后，具备怎样的性质.？摇

设计意图？摇 简单的游戏情境，顺利地完成了旧知的回顾，也成功地激起了学生的探究热情；教师简单的几句话语，自然地切入本节课的教学主题——相似三角形的性质. 此导入过程，凸显了学生的主体地位，彰显了教师的引导作用，为整节课的教学明确了方向.

2. 素材直观呈现，引发猜想

问题1 ？摇通过我们之前的学习，大家都知道相似三角形可理解为一个三角形的放大或缩小，那么三角形中的三线会不会随着三角形大小的变化而改变呢？

为了让学生能直观理解这个问题，教师提供了两个素材：①借助录屏软件的录制功能，设计了三角形放大与缩小的演示画面；②借助电子白板中的放大镜功能，让学生直接通过“放大镜”观察三线是否会随着三角形大小的变化而改变.

生1：既然是相似三角形，那么图形的形状必然不会发生改变，三角形的角度也不会发生变化，三角形的边与三线的长度会随着三角形大小的变化而变长或缩短.

师：若一个三角形放大成原来的两倍，那么三角形的三线也是原来的两倍吗？

生2：如果放大后的三角形与原三角形的相似比为2，那么其三线与原三线的比应该也是2.

师：如果放大的比例是k，那么在此变化过程中，有哪些线段的比也变成了k？

生3：放大后三角形相应的三线与原三线的比应该也是k.

师：现在，我们将这个放大与缩小问题转化为一个数学问题：若两个相似三角形的相似比为k，则对应的三线比与k之间存在怎样的联系呢？

生4：放大或缩小后的三角形的三线比应该也与相似比的值一样为k.

设计意图？摇 教师利用现代化的教学手段，为学生提供直观的可视化素材，让学生在相似三角形大小的变化中感受三线的变化情况，以更快捷、准确地获得三线比的规律. 这种直观展示的过程，是促进学生进行数学抽象，对知识的认识从直观感知提升到理性认识的过程，符合学生的认知发展规律，能助推学生思维的发展.

3. 借助几何画板，验证猜想

问题2？摇 以上所呈现出的结论均为猜想，有没有办法来验证这些猜想是否正确呢？

学生自主画图、测算、比较（过程略），结论为：大家一致认为这种猜想是正确的，或近似于正确.

教师对学生自主探索得到的结论不置可否，而是带领学生观察几何画板更加精准的演示（见图2）.

设计意图？摇 在学生自主探究的基礎上，利用几何画板的精准功能进行演示，让学生亲身体验自己的作图、测算过程是否准确. 随着数据的动态变化，让学生进一步直观感受到相似中的“变”与“不变”，从而对相似与全等的区别有了更加明确的认识，对变化与守恒、特殊与一般的关系也有了更加直观、深刻的理解.

几何画板的介入，让学生从感官上确认了自己的猜想是正确的. 但这些都是直观感受，想要证明猜想的准确性，离不开严谨的证明过程. 接下来，进入师生共同证明猜想的过程.

教师要求学生以小组合作学习的模式进行交流、探讨，并借助学案上的参考图（见图3），规范书写证明过程，各组向全班展示结论. 最后由师生共同客观、公正地评论各组的证明过程是否规范.

设计意图？摇 想让学生一下子准确并规范地书写出已知、求证、证明的过程，确实存在一定的难度. 通过小组合作学习，可以让学生在集思广益中获得启发，使得不同层次认知水平的学生都能在此过程中弄清知识间的逻辑关系，形成科学、严谨的推理能力.

在学生规范证明过程后，为了进一步深化学生对相似三角形性质的理解，让每一个学生都能厘清相似三角形三线比的本质，教师要求所有学生一起回顾本节课经历了哪几个环节才获得了这个定理.？摇

设计意图？摇 ？摇“放大镜”的演示让学生对知识形成了感性认识，学生自主探索与几何画板的应用，顺利地帮助他们实现了从感性认识上升到理性认识的阶层. 此处的教学回顾，意在引导学生对以上学习过程进行一个回顾与提炼，进一步巩固研究问题的方法与经验，为后续研究其他问题奠定基础.

4.？摇完成实际问题，应用推广

问题3？摇 如图4，一条河流的两岸有一段为平行的关系，小明站在南岸离河边15米处的点P向北岸望去，发现位于河北岸的两根相邻的电线杆A，B正好被南岸的两颗松树C，D遮挡. 若AB=50 m，CD=20 m，求河宽.

师：请大家先独立思考，尽可能自主完成本题. 若在解题过程中存在疑惑，可与同桌交流.

大部分学生都能自主完成本题，也有小部分学生需要交流后完成. 教师将学生的解题过程投影，并要求学生说一说解题思路.

设计意图？摇 知识源自生活，而又应用于生活. 相似三角形的性质从理论上来看，难度并不大，但要用来解决生活实际问题，却有一定的难度. 此问意在培养学生的知识应用能力，让学生在解题中夯实知识基础，感知知识与生活有着密不可分的联系.

问题4？摇 是不是相似三角形中的所有对应线段的比都与相似比相等？若是，请找出对应线段，并证明.

生5：可以先构造一对相似三角形.

生6：相似三角形的构造，可以从边或角来着手.

如图5，教师引导学生利用几何画板的演示功能进行剖析. 实践证明，相对应的线段存在无数条.

师：通过几何画板的演示，我们寻找此类线段的本质是什么？

生7：其本质就是找对应点，只要确定好对应点，那么它们的连线比与相似比一定相等.

教师充分肯定了学生的答案，高度赞扬了学生思维的灵活性.

设计意图？摇 从寻找相似线段的问题转化到寻找点的问题，学生的思维经历了“质”的飞跃. 此设计意在将学生带到一个更高的阶层，使学生更清晰、完整地理解本节课所学知识，进而从真正意义上实现知识的应用、拓展与延伸.

课堂总结、作业. （略）

教学思考

现实生活中存在着大量相似的图形，相似三角形性质的探索，不仅能让学生掌握相关的知识与技能，还能让学生利用这些知识解决一些重要的生活实际问题，提高学生的应用能力. 教学中，教师应注重引导学生经历“具体—抽象—具体”的过程，综合应用各种图形的性质解决一些实际问题，以发展学生的逻辑推理能力.

同时，教师还要注重引导学生观察知识间的逻辑关系，带领学生发现并利用图形相似性中存在的共同規律来发现现实问题，提出并解决相应的问题，以培养学生的“四能”. 当然，教师在整个教学过程中应有意识地引导学生经历“直觉发现—自觉说理—推理论证”的过渡，从真正意义上提升学生的学习能力，培养学生的数学核心素养［3］.

教学评价

1. 紧扣教学目标，确保完成教学任务

教学目标是整个教学活动的标杆，本节课的教学目标非常明确，即掌握相似三角形的性质定理以及应用等，体会定理的探索与推理过程，理解对应线段比的特征，感知相似三角形变化过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化. 纵观本节课，不论是课堂导入、引发猜想还是验证猜想，每一步的指向性都非常明确，每一个环节都将教学目标作为问题探究的出发点与落脚点.

相似三角形的性质为本节课教学的重点，教师在处理每个问题的结论时，都以学生参与为主导，将学生引到知识重点上去. 课堂上，教师在教学难点的突破上采取了动画演示、学生推演等方法，从多渠道突破了教学难点，确保教学目标的达成.

2. 借助多媒体，展示知识的形成

课堂主要从以下两条线索着手进行教学：第一条，从知识背景出发，在知识的生长点处进行整合、拓展；第二条，从学生原有认知经验出发，引导学生通过自身的体验总结结论. 教师将这两条线索借助电子白板、几何画板、实物投影等多媒体进行有机融合，建构了一个完整的教学体系.

整体来看，本节课的教学层次分明，每个环节的衔接自然，没有出现断层，且教学内容与学生的认知水平相匹配，逐层递进的教学过程，充分展示了从特殊到一般的教学方法. 学生在问题的引领下，借助多媒体对问题进行观察、比较、猜想、验证等，深刻掌握了知识的本质.

3. 选择教学方法，落实“四基与四能”

课程教学方法的选择以教学目标为基准，采用游戏情境、动画演示、观察分析等方式进行，充分体现了现代信息技术对数学教学的辅助功能，同时信息技术的介入也让课堂变得更加直观、高效，符合学生的认知需求. 整个教学建立在尊重学生的基础上，凸显出学生的主体地位，从真正意义上落实了新课标所倡导的“四基与四能”要求，为促进“三会”的形成奠定基础.

总之，数学教学应更多地关注学生在课堂中的表现，尊重学生的个体差异，尽可能利用丰富的教学手段引导每个学生都能积极主动地参与课堂探究活动，从不同程度上提高学生的思维水平，让学生在丰富的教学互动中实现知识与能力的自主建构，促进数学核心素养的形成与发展.

参考文献：

［1］弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］拉尔夫·泰勒. 课程与教学的基本原理［M］. 施良芳，译. 北京：人民教育出版社，1994.

［3］庞维国. 论学生的自主学习［J］. 华东师范大学学报（教育科学版），2001（02）：78-83.