分析几何图形的特征，探索解决问题的思路

张志峰

［摘  要］ 2023年全国高考数学新课标Ⅰ卷第16题是一道圆锥曲线试题，研究者重点分析其几何特征，探索解决思路，并给出教学建议，以期通过优化教学策略，充分利用教材例题、习题和高考真题来提高学生的解题能力，培养学生的数学学科核心素养.

［关键词］ 几何特征；解题思路；教学建议

题目呈现

试题分析

本题涉及的课标要求是：能够从多种角度理解向量的概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够用向量方法解决简单的平面几何问题，知道数学运算与逻辑推理的关系；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质.

借助三维细目表，即从“考查载体”“考查内容”“考查要求”对本题进行分析（见表1）.

思路探索

本题涉及解析几何内容，处于填空压轴题的位置，与往年高考一样，没有给几何图形，要求学生理解试题情境中的几何特征及其解释，运用数形结合思想画出相应的几何图形，寻找解题思路，选择合理简洁的运算途径．

1. 分析关键信息

2. 画出几何图形

3. 分析几何特征

4. 探索解题思路

点评 上述两种解题思路都是基于图形几何特征，利用解三角形的知识求解的.

点评 思路3体现了平面向量的工具性作用.

平面向量与解析几何都是高中数学的教学重点，两者存在很多的内在联系，是数形结合的产物. 平面向量与解析几何的结合，还有重要的一点，就是坐标表示，因此本题可以通过设点，将向量坐标化，利用方程思想求解.

教学建议

1. 解析几何的教学定位

解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是微积分创立的基础，而从数学内部来看，则出于对数学方法的追求. 因此，解题教学中应以圆锥曲线与方程为载体，掌握坐标法这一工具去解决一些几何、代数问题，注意代数运算与几何直观相互为用. 引导学生先用平面几何的眼光观察相应几何图形的特征，认识确定几何图形的要素，再用坐标法解决问题，将数形结合思想、坐标思想贯穿教学始终.

2. 优化解题思路，简化运算

学生在学习解析几何的过程中，常常因为不能顺利完成代数运算而失败.为了让学生更好地把握坐标法的基本思想，優化运算，建议用几何眼光观察、分析几何图形的要素及基本关系，再用代数语言进行表达，借助图形的几何特征及图形间的关系优化解题思路，选择合理简捷的运算途径.