基于观察能力发展的数学课堂教学研究

孟献芬

［摘  要］ 数学观察具有揭露事实本质、促进数学理解与提升数学审美水平等价值. 观察能力作为数学能力的要素之一，在学生的学习生涯中具有重要影响. 文章从立足概念教学、注重解题过程与聚焦反思三个维度，具体谈谈如何在高中数学教学中有效培养学生的数学观察能力.

［关键词］ 观察能力；思维；解题

布鲁姆由浅入深地将认知领域的教学目标设定为了解、理解、应用、分析、综合、评价六个层次. 一般认为，知道、领会、简单提取、机械记忆或简单表征等，属于低阶的了解与理解层次；而理性思辨、问题解决、创造突破等则属于高阶的应用、分析、综合、评价层次. 无论是低价层次的思维活动还是高阶层次的思维活动，都是以观察力为基础的. 可以说，观察力是理解数学概念、习得数学技能、解决数学问题不可或缺的数学能力.

数学观察具备的价值

1. 揭露事实本质

庞加莱认为，真正的发现者是揭露事实间关系的人，而非建构某些组合的工匠. 这句话阐述“建构某些组合的工匠”属于未加工的事实，而“事实间关系”的揭露则属于事物本质的发现. 良好的观察能力具有揭露事实本质的功效. 事实的本质就是一种模式，一种普遍性特征，想要发现事实本质，必须依靠良好的观察能力与创造能力.

2. 促进数学理解

哲学家马赫认为，与劳力经济类似，产生思维经济是科学的重要作用之一. 数学观察能够让数学问题的概括变成一种可能，这种概括的形成实则为思维经济的形成. 如我们所熟知的代数公式，随着研究与应用的普遍，人们借助数字来代替字母，这些代数公式就将一类数值问题的答案呈现出来. 正是数学观察的介入，让代数概括为人类省去了不断重新计算的工作.

3. 提升审美水平

良好的数学观察能力，不仅能让学生领略到数学推理的严谨，还能体验到数学学科独有的精神魅力. 如代数的整体感、几何的优雅、数形结合的和谐美等，无不体现出数学的神秘妙曼. 建构完整的知识体系，可让各部分知识形成和谐的秩序. 正如数学家哈代所认为的：不美的数学无法获得永久的容身之地. 我们接触到的一切数学知识，存在即有它的美，不论是简洁的公式，还是严谨周密的证明过程，无不发散出一种神奇的美.

提升数学观察能力的具体措施

1. 立足概念教学，发展观察能力

概念反映数学对象的基本属性与特征，是对事物核心的简单表征. 一方面，数学概念反映的是客观事物的数量关系与空间形式；另一方面，数学概念是在抽象理论的基础上经过多级抽象而来，有一定的层次性. 任何概念的形成都有一定的理论或现实基础，立足概念教学，引导学生从概念的形成与发展中感知数学学科的科学性、连续性与严谨性等，能有效促进学生观察能力的形成与发展.

观察概念形成的过程，会发现每一个概念的提出都有其必然性. 因此，感知、体悟概念的建立历程，对促进观察能力的发展具有重要意义. 概念教学促进观察能力的发展，主要体现在以下几个方面：①形成感性认识. 以教材所提供的基本事实为素材，可以感到素材的核心与各个侧面，通过分析与类比发现知识的异同点，从而抽象出新的概念，形成感性认识. ②知识积累. 如在概念复习环节中，用客观、科学的分类标准将概念系统化，实现知识积累. ③更新知识体系. 新概念的学习要用到原有的认知结构，随着新旧知识的衔接，不断更新学生的认知体系. ④发展数学能力. 在观察时发现并提出问题，能有效巩固对概念的理解程度，提高解决问题的能力.

概念的特性及实用范围被称为概念的内涵与外延，深入概念的内涵与外延，能够合理地归纳概念的本质，为建构知识体系、灵活应用概念奠定基础. 通过问题1不难看出，只要对概念的内涵与外延有充分的认识，同时拥有良好的思维能力，就能从不同的情况中观察到概念恒定不变的本质.

2. 注重解题过程，发展观察能力

牛顿概括数学家的研究习惯为：更容易接纳美的结论，讨厌丑的结果，推崇优美雅致的证明，讨厌繁杂笨拙的推理. 解题作为数学教学的重要环节，首先必须是学生能接受的形态. 在解题教学中，教师若片面强调巧解，结果就是学生只会处理自己会做的一类题，难以变通处理其他题.

若想培养学生举一反三的解题能力，首先要培养学生良好的观察能力，其次要培养学生简单自然的通法意识，力求让学生在解题时既追求简单自然，又能直击问题的核心.

（1）注重审题.

审题从读题开始，分析问题条件与结论，明晰题意，弄清已知条件、隐含条件、待求结论等.

问题2 已知在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求角C的大小.

这是一道经典题，学生特别容易忽略掉角C的范围. 角C的范围是一个隐含条件，需要学生通过观察与思考才能获得.

（2）关注条件.

学生在解决实际问题时，常常找不到题中的一些特殊条件，使解题思维受阻. 还有时候，虽然注意到了特殊条件，却无法根据特殊条件探寻出简便的解题方法. 遇到这些情况并解决，需要学生从知识的本质出发，通过敏锐的观察能力探寻出这些特殊条件的用处.

（3）勤于思考.

波利亞强调数学教学主要存在两个目的：①教会学生思考的方式；②培养学生学习的兴趣、意志、好奇心等非智力因素. 此处所讲的思考是指有目的的“形式与非形式”的思维方式，即猜想与证明问题的能力. 在解题教学中，我们应立足于启发学生思考的角度实施互动与授课，让学生的观察能力在此过程中得以有效发展.

此为一道未知题，学生从归纳着手开始分析：先尝试n=3的情况，证明当n=3时不等式成立；然后尝试n=4，n=5的情况，当n=4时不等式也成立，但n=5的运算量非常大，学生没有获得成功，最终不了了之.

再来分析：当n=3时，a2+a≥2；当n=4时，2a3+a2≥2a+1.至此学生发现了其中存在的奥秘. 这里再次尝试n=3和n=4的情况，虽然只是不完全归纳，却可以检验奥秘是否正确，因此有一定的必要性. 随着学生思考的逐步深入，问题水落石出.

（4）分层观察.

不论从知识结构还是思维习惯来看，都存在主次与先后的顺序. 因此解题时，应按照一定的层次来观察，避免走弯路. 值得注意的是分层观察习惯的培养，要避免思维定式的形成.

3. 聚焦反思，发展观察能力

反思既是一种重要的学习方式，也是学生对学习活动进行回顾、分析与调整的过程，对各项数学能力的发展具有重要影响. 对学习活动的再判断是反思的核心，需要学生从数学思维的本质出发，对知识进行再创造，在知识的理解与产生中提升观察能力.

问题6 已知集合A=｛12，14，16， 18，20｝，B=｛11，13，15，17，19｝，如果从集合A里面取数a，再从集合B里面取数b，a>b的概率有多少？

学生在解题过程中，常常会为了快速获得结论而选择捷径. 教师提出此问的目的是引发学生反思，让学生充分感知直觉不一定正确，尤其要注意概率类问题. 反思会让学生再次思考成功或失败的地方，让思维日趋成熟.

在传统教学中，教师对学生课堂反思关注得不够，导致学生因为缺乏反思的机会对知识深度的理解有所欠缺，出现了“会而不对”的现象. 想要从真正意义上改善这种现象，就必须加强反思活动，不断优化学生的思维，让学生在学习过程中获得良好的体验，形成反思意识，完善认知结构.

总之，学生观察能力的发展离不开教师的引导. 教师在设计与实施教学活动时，要通过丰富的活动内容为学生探索提供机会，为学生思维搭建“脚手架”，帮助学生在自主探索与实践中形成良好的观察能力.