在活动中培养学生的数学探究能力

敖羚峰

［摘  要］ 在数学教学活动中，教师不仅要向学生传授数学知识，更重要的是在知识传授的过程中，培养学生的科学探究能力，这项能力将有益于学生的终身学习. 新一轮的课程改革也体现了这一点，在传统教学课程的基础上推出了一类新型教学课程——数学探究活动. 文章以“探究杨辉三角的性质”一课为例，探讨实施数学探究活动的策略.

［关键词］ 数学探究；高中数学；杨辉三角

研究背景

随着新课改的推进，新课标在传统教学课程的基础上推出了一类新型教学课程——数学探究活动，并配备了相应的课时. 它们分布于教材的各个板块，既独立于各个章节，与各个章节是平行的关系，又是对相关章节内容的应用与拓展. 新教材发生了很大的变化，由原先的5万字变成了现在的15万字，新增内容有较大篇幅用于建设数学探究活动. 由此可见，数学探究活动板块有重要的地位. 从数学教育的发展来看，这也是一种趋势，此类课程区别于传统的数学课，重在培养学生的活动与探究能力，有助于开阔学生的视野，培养学生的核心素养，陶冶学生的数学情怀，充分体现了数学教育的“育人价值”.

数学探究活动应该如何实施呢？笔者以上过的一节优质课“探究杨辉三角的性质”为例（本节课内容位于人教A版必修第一册〈2019版〉教材），谈谈实施策略.

实施策略

1. 创设情境，让学生想探究［1］

爱因斯坦说过，“兴趣是最好的老师”. 只有创设良好的且与生活息息相关的教学情境，学生才会萌发强烈的探究欲望，一节探究课才能顺利开展.

在“引入”阶段中，教师首先通过大量图片展示了现实生活中的不同类型的弹珠游戏机，学生此时被熟悉的游戏所吸引；接着邀请学生在现场一起玩了一个游戏——高尔顿板游戏，并观察现象. 如图1所示，学生重复玩游戏，在游戏中观察现象，并得到一个结论：最终小球的分布为中间多、两边少.

教师在游戏中提问道：为什么会出现这种现象？能否从数学的角度予以解释？在教师不断的引导下，学生经过讨论与分析，通过数学建模的方式，将该问题抽象为了数学模型——路径模型. 如图2所示，可以用组合数公式计算小球从顶点位置落到任意位置的路径数. 同一层上，哪个位置的路径数越大，到达该位置的可能性也就越高. 通过计算，得到如图3所示的杨辉三角和三角形组合数表.

在这个过程中，通过游戏的方式，激发学生开展探究的兴趣与动力. 在教师的引导下，学生通过数学建模，将现实问题转化为数学模型，并得到杨辉三角. 一方面，培养学生的数学建模素养以及数学探究能力；另一方面，通过探究得到杨辉三角，真切感受数学源于生活且服务于生活. 在这一阶段，通过联系生活实际，利用现场游戏，让学生想探究.

2. 提供示范，让学生能探究

由于学生还不具备较强的独立探究意识与能力，因此在学生开展独立探究活动之前，教师应该立足探究对象，设计容易思考与上手的问题，并为学生搭建好“脚手架”，让学生在教师的引导下，逐步开展探究活动. 学生在一步步的引导中，将逐步掌握数学探究方法，逐步理解可以从哪些角度展开探究，如何进行探究. 在这个过程中，既充分体现了教师的主导地位以及学生的主体地位，也为后续学生开展自主探究活动提供了示范作用.

杨辉三角的应用广泛，那么它究竟具备什么性质呢？又如何探究它的性质呢？教师介绍道：接下来，我们将一起运用数学探究“三部曲”（观察探究，发现规律—归纳猜想，交流展示—论证推理，生成性质）来探寻杨辉三角的奥秘.

首先，观察探究，发现规律. 教师提问道：请观察（图3）左边的数表，有什么发现？学生回答道：整体是对称的. 例如，第3行第一个数字与最后一个数字均为1，第二个数字与倒数第二个数字均为3. 但这还只是停留于数字层面.

其次，归纳猜想，交流展示. 教師又提问道：能否从中获得一般规律？

通过师生合作、共同探究的方式，完整呈现了数学探究“三部曲”. 在探究中，学生逐步掌握了数学探究方法. 这一环节给学生提供了一个数学探究蓝本，起到了示范作用. 学生参照蓝本，有法可循，能够独立开展后续的数学探究活动.

3. 小组合作，让学生会探究

良好的探究蓝本与教师引导，仅仅停留于理论层面，很难让学生真正掌握数学探究方法. 只有让学生通过小组合作，仿照示例，独立开展探究活动，才有助于学生真正学会探究. 因此，教师还需要给学生留下足够的合作探究时间，让学生合作完成相关的探究活动.

（1）观察探究，发现规律.

布置课堂研讨任务：以小组为单位，仿照探究范例，从横向、纵向、斜列、整体、局部等多角度探究杨辉三角的数字规律，用组合数予以表示，并尝试证明探究结果.

因为学生对数学探究还不够熟练，所以不能让学生盲目开展数学探究活动. 在提供探究示范蓝本的前提下，还需要布置明确的探究任务，给出明确的探究提示与探究方向，由此保证学生能够依照提示和方向顺利开展探究活动. 此外，还需要留出充足的时间供学生进行思考与讨论，真正将数学探究落到实处.

（2）归纳猜想，交流展示.

在一番探究与讨论之后，学生仿照范例，交流各自的探究结果. 具体方式为：先讲数字上的规律，再将其转化为组合数进行表示. 学生从横行与斜列两个维度分别得到了以下猜想.

在这个环节中，学生充分发挥想象力，通过观察，逐步总结数字规律，再利用组合数予以表示，最后进行交流. 在这个探究过程中，学生采用“不完全归纳”的探究方式，从特殊情形出发逐步总结一般规律，培养了数学探究能力.

（3）论证推理，生成性质.

接下来，引导学生类比示例，从组合数的定义和意义两个角度对猜想进行论证，从而将其升级为性质.

论证猜想3：学生通过对比等式左右两侧发现，左侧的10的次方代表每一个数字的位数，每一个数字恰为相应的组合数；右侧的11n可以写为11n=（10+1）n，由二项式定理将该式展开，恰好为等式的左侧. 于是猜想3得证.

在这个环节中，学生从组合数的定义和意义两个角度对所得的猜想进行了推理论证，充分体现了数学探究的完整性与严谨性. 这一环节与前两个环节结合起来，构成了课堂数学探究的完整步骤，更进一步培养了学生的数学探究能力.

在这个过程中，学生通过小组合作，在教师的指导下，自主展开了数学探究活动，并依次经历了数学探究“三部曲”，生成了性质. 在探究的各个环节的实践中，学生逐步学会了数学探究方法.

5. 设置悬念，让学生爱探究

除了上述性质外，杨辉三角还有很多美好的性质. 例如，将杨辉三角中的奇数部分涂黑，可以得到分形数学中的谢尔宾斯基三角形，使用它还可以进行平面拓展与空间拓展，法国的埃菲尔铁塔与大量的电子元件中就使用了这个模型. 此外，很多艺术家也使用分形原理进行艺术创作，获得了大量的艺术作品. 通过大量图片的展示，让学生感受到数学的魅力，进一步激发学生的探究欲望.

通过分形数学的展示和手算开方的探究，让学生欣赏数学之美，产生更强的探究欲望. 给学生布置课后探究任务，留下悬念，让学生在进一步的数学探究活动中获得成就感，体会数学探究的价值，从而爱上数学探究.

结语

在实际教学中，教师在教给学生课本知识的同时，还应充分挖掘素材，适当地组织数学探究活动，提升学生的数学探究能力. 在这个过程中，需要教师做到：创设情境，激发学生的探究欲望；给学生提供探究蓝本，让学生有法可循；给学生提供足够的探究时间与探究指导，帮助学生顺利开展探究活动；最好还要设置一定的悬念，让学生在课后能够继续探究下去. 数学探究能力的培养，对学生而言，将是终身受益的.

参考文献：

［１］ 陈慧. 在探究活动中培养学生的数学探究能力［Ｊ］. 教育观察，２０１８，７（１８）：９８－９９.

［２］ 张明欢，周欣，张启明. “杨辉三角”的教学设计与实施［Ｊ］. 初中数学教与学，２０２０（２０）：２１－２３.