高中数学教学中数学建模素养培养的思考

章胜利

［摘  要］ 数学建模的地位至关重要，若数学模型无法顺利建立，则数学运算、直观想象以及数据分析等核心素养要素就难以深入、顺利地发展. 树立建模意识是建模思维培养的起始点. 在教师与学生的视野下，数学建模意识分别是显性和隐性的. 无论是建构数学概念或规律，还是建立一个解题模型，关键是在发现与提出问题之后，能够借助相关的逻辑推理形成数学知识建构或问题解决的思路. 如果这一思路能够成功解决当前的问题且具有迁移性，那么数学模型就基本成型. 当学生有显著的数学模型应用意识时，就是数学建模素养得以发展之时.

［关键词］ 高中数学；数学建模；建模意识；建模案例

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称“新课标”）对高中数学学科核心素养的要素有明确的界定，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等. 在这些要素中，数学建模的地位至关重要，若数学模型无法顺利建立，则数学运算、直观想象以及数据分析等核心素养要素就难以深入、顺利地发展. 因此，可以认为数学建模起着承上启下且概括的作用. 面对这一实际情形，在高中数学教学中培养学生数学建模素养，就显得非常重要.

所谓数学建模，说得通俗一点就是建立数学模型. 新课标明确指出：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.”通過这段数学建模素养的阐述可以发现，数学建模明显涉及数学抽象等素养，同时涉及数学语言的把握与数学方法的运用，如果学生能够在这个过程中表现出较高的数学素养，就可以认为他们具备基本的数学建模素养. 同时，数学建模素养的培养必然经历一个过程，这个过程与传统的数学知识教学相关，但又存在着较大的区别. 尤其在应试形态下，教师所关注的往往是学生对数学知识的掌握以及学生的决定能力的培养，此过程会不由自主地压缩知识的教学过程，而在客观上会对学生数学建模素养的培养产生影响. 这意味着面对数学建模素养的培养，需要在原来重视知识教学的基础上，进一步重视数学知识发生与发展的过程，并将数学建模渗透其中.

通过上述分析可以概括出的结论就是：随着新课程新教材的实施，作为数学六大核心素养之一的数学建模正成为当下高中数学教学中的一道新的靓丽风景线. 如何设计数学建模问题、如何开展数学建模课堂教学、如何引导学生完成数学建模全过程、如何评价数学建模的成果等问题，都是值得教师积极探讨的新问题［1］. 当然必须说明的是，强调对数学建模的重视，并不是忽视其他数学学科核心素养要素. 本文重点阐述数学建模，并非对其他要素没有涉猎，更多的是以数学建模为重点阐述对象，同时涉及其他组成要素，如此就形成了一个整体，有助于学生对数学建模有更加深入的认识. 下面以“函数的概念及其表示”的教学为例，略谈一些浅见.

树立数学建模的意识

树立建模意识是建模思维培养的起始点［2］. 当把数学建模作为教学重心时，如果没有树立起数学建模的意识，那么后续的所有工作都将无从谈起. 笔者在教学中高度重视数学建模意识的养成，而这一努力可以从教师与学生的角度分别进行.

站在教师的角度看数学建模意识，其应当是显性的. 也就是说，教师自身必须树立起显著的数学建模培养的意识，在面对任何一个知识教学时，尤其在面对重要数学概念和规律教学时，都要思考其中有没有数学建模培养的契机. 这里涉及对数学模型认识的问题，广义的数学模型不仅包括实物模型，还包括数学概念与规律等. 数学课程专家认为，当学生完全掌握了数学概念与规律后，则该概念与规律就可以在学生后续学习与运用中作为模型而发挥作用. 比如说函数，传统意义上只认为其是数学中的一个重要概念，而在数学建模的视角下，函数本身也可以作为一个模型而存在. 当谈及函数的时候，学生大脑中所反映出来的对应关系、不同类型的函数，都是一个相对独立的整体，这个整体就可以视为模型.

这一理解下的数学模型普遍存在，意味着日常的教学中有着丰富的数学建模教学机会. 数学教师在关注学生解题能力养成的同时，如果能够从数学模型的角度去认识数学知识的建构与运用，就可以让显性的数学建模意识被树立起来，而这让学生体验数学建模的过程有了更大的可能性.

站在学生的角度看数学建模意识，其应当是隐性的. 学生不需要知道自己所经历的过程就是数学建模的过程，重点是养成数学建模思维. 这与日常教学中某一场合下提及模型并不矛盾，对部分学生而言，初步接触模型的概念并借助模型的概念来培养自己建构数学知识的能力，培养自己利用模型解决数学问题的能力，也是可行的. 只不过对大多数学生而言，过于显现的模型概念，容易让学习行为概念化，不利于学生通过隐性的过程构建模型. 因此，在实际教学中，笔者更倾向于用隐性的方式，让学生去经历数学建模的过程，感悟数学模型的作用，并且形成借助数学模型去学习知识、运用知识的直觉. 这种直觉就是数学建模的意识，这一意识的养成，可以让学生更加认同数学模型的价值——当然，由于对数学模型的认知是隐性的，因此对这种价值的认同也是隐性的，只要数学建模的思维能够养成即可.

探究数学建模的路径

其实，数学建模不仅是数学知识建构与运用的需要，还是学生学习的需要. 有研究表明，高中数学教学要注重学生数学思维的培养，特别是建模思维，能够在很大程度上减轻学生的心理负担，快速找到问题的突破口［3］. 所以，从教学实效的角度来看，明晰一条数学建模的路径至关重要. 新课标明确指出，数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题. 通过这样的阐述可以发现，无论是建构数学概念或规律，还是建立解题模型，关键是在发现与提出问题之后，学生能够借助相关的逻辑推理形成数学知识建构或问题解决的思路（这就是模型的雏形）. 如果这一思路能够成功解决当前的问题且具有迁移性（能接受检验），那么数学模型就基本成型了. 新课标还指出，数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题. 显然，这是一个完整的、系统的数学建模过程. 在实际教学中，这里提及的所有环节未必全部经历，紧扣具体的问题，发现问题、提出问题、分析问题，建立模型并验证等，就是完成数学模型的建立.

在“函数的概念及其表示”这一知识内容中，函数概念的建立与数学建模高度相关，借助函数概念的建立过程，来让学生体验数学建模的过程，可以铺设出一条数学建模的路径. 具体来说，该知识内容的教学设计主要包括以下几个环节.

环节1 发现、分析问题.

借助行程问题（匀速运动中的路程S与时间t的关系）或同类问题，让学生通过分析法与综合法，认识到两个变量之间存在着唯一对应的关系，于是就可以得出S与t之间存在着函数关系. 用学生已经有了的知识来判断这一函数关系，从理解的角度来看，并不存在太大的困难；但是如果从高中数学的角度进一步明晰这一函数关系，会发现其中还有一些要素没有凸显出来. 在这种情况下，教师可以借助一个新的问题来打破学生的认知平衡，例如：如果某列车以350千米/时的速度匀速运行半个小时，那么这辆列车在一个小时内行驶的路程是350千米. 这样的说法正确与否？

在不少学生的认知中，容易将这辆列车的运行当作匀速直线运动，因此会判断上述说法是正确的. 如果此时教师告诉学生这一说法不正确，学生就会立即处于认知失衡的状态，他们也想弄清楚“错在哪里”，而这实际上就是为了寻求新的认知平衡. 很显然，列车在半个小时内做匀速直线运动，并不意味着在一个小时内做的也是匀速直线运动. 但这种认识还只是一种用文字描述的感性认识，后续的任务就是将其转化为用数学语言描述的理性认识.

环节2 模型猜想与解决.

环节3 模型建立.

上面这样的一段理解，是与函数本质高度接近的理解，要让这样的理解被学生接受，教师还应当通过更多的变式，来让学生发现描述函数所用的数学语言具体是怎样的. 最终建立起来的函数模型，实际上就是函数的定义. 根据教材的界定，一个完整的函数应当包括解析式、定义域、值域三个核心概念，此外还涉及对应关系. 当学生能够完整、流利地阐述函数的定义，同时又能够在大脑中出现相关的案例的时候，就可以认为函数模型被成功建立起来了.

在随后的迁移运用中，教师可以通过更多的正例与反例，来检验学生的判断能力——实际上就是模型运用的能力. 这一点与日常教学相符，这里不再赘述.

反思数学建模的过程

通过上面的例子可以发现，要让学生通过自己的努力去建立数学模型，关键在于学生大脑中的经验要丰富，对现实世界的感知要全面，有了这些作为基础，学生首先就能够完成用数学眼光观察现实世界（实际上也就是数学抽象）. 观察现实世界的目的是描述现实世界，而这就要借助数学模型. 从学生对数学学习对象最初的感知，到最终数学模型的建立，这样一个数学建模的过程，伴随着数学知识的学习. 教师借助数学建模意识引领学生在显性建构数学知识的过程中，隐性体验数学建模，并且在具体问题的解决中体会数学模型的价值，这对发展学生的数学建模素养有着非常重要的促进作用.

进一步反思数学建模的过程，还可以发现作为核心素养培养的重点，积累的重要性必须引起高度重视. 也就是说，一两次的数学建模体验，并不能让学生真正发展数学建模素养. 只有教师坚持数学建模教学的思路，让学生在一次次的积累中，夯实数学建模的能力. 当学生有显著的数学模型应用意识的时候，才是数学建模素养得以发展的时候. 因此，在日常教学中，数学建模不能只是课堂教学的点缀，而应当成为日常教学的常态，这样数学建模素养的发展才會有一个坚实的基础.

参考文献：

［1］ 顾予恒， 何波禄. 高中数学建模方法的选择——以“身高与体重”为例［J］. 数学通报，2021，60（08）：52-55.

［2］ 罗学平. 高中数学建模思维培养路径思考［J］. 中国教育学刊，2022（06）：107.

［3］ 孙树仁. 探析高中数学建模思维的培养与价值［J］. 天津教育，2019（20）：150-151.