对高中数学有效问题的思考与实践

邱明朗

［摘  要］ 问题教学作为高中数学教学的重要教学模式，其在培养学生学习能力、学习兴趣，发展学生数学思维，提高学生数学应用能力等方面有着重要作用. 为了提高问题教学的有效性，教师应在问题的设计上下功夫. 文章分析了问题设计中存在的一些问题，剖析了有效问题的特征，提出常用的有效问题的设计策略，以期在有效问题的引领下，让课堂变得更高效.

［关键词］ 问题教学；有效问题；设计策略

问题教学就是以问题为主线，将知识点以问题的形式呈现在学生面前，引导学生通过独立思考、合作探究来探索、寻求解决问题的方法，以此掌握知识，培养技能. 问题教学为学生提供了一个合作、交流、发现的平台，在这样的平台上学习有助于提升学生的自主学习能力，有助于发展学生的数学思维，有助于培养学生的创新意识. 在问题教学中，问题的有效与否直接关系到教学效果. 因此，教师在设计问题时需要仔细研究教学、研究教材、研究学生，从而设计有效问题，成就高效课堂. 不过，问题教学中也存在一些低效或无效的问题，笔者基于这些的问题，谈几点对有效问题的认识，仅供参考！

存在的问题

在实际教学中，部分教师因为对有效问题的理解不够深入，使问题设计出现了一些不尽如人意的情况，主要表现在以下几个方面：

（1）问题设计脱离了学生的实际情况. 教师设计问题时，若脱离学生的实际情况，则容易因问题的难易程度设置不当而影响教学效率. 若问题设计得过易，学生无须思考就能解决，这样难以诱发学生思考，难以激发学生的探究欲；若问题设计得过难，学生经过思考仍然感觉“高攀不起”，难以激发学生的学习信心和学习兴趣.

（2）问题设计忽视了学生的心理因素. 在问题教学中，为了凸显问题的价值，部分教师常将课堂打造成“满堂问”的课堂，忽视学生的心理因素的变化，使学生在学习中出现了厌烦情绪，这样的课堂显然难以激发学生的学习动机，难以调动学生参与课堂的积极性，难以激发学生的学习热情.

（3）问题设计脱离了课堂教学主题. 有时教师没有考虑为何设计问题——只是为了“问题”而设计“问题”，问题因偏离主题可有可无. 这样的问题不仅会消耗学生的学习精力，还会因为无效使教学效率大打折扣.

可见，以上问题的存在，影响教学的有效性. 要知道，数学学习过程不单是接受知识的过程，也是发现、分析、解决问题的过程，还是发展、创造新知识的过程. 在数学学习过程中，往往需要一些有针对性的、有目的性的，符合学生实际的、诱发学生思考的、激发学生动机的有效问题的引导. 因此，在教学中设计有效的问题就显得尤为重要，值得教师深入探究和仔细研究. 那么有效问题有何特征？在教学中如何建构呢？

有效问题的特征

有效问题应从学生的实际情况出發，紧紧围绕教学目标和教学内容设计，应具有一定的探究性、目的性和指向性，能激发学生的探究欲，鼓励学生去质疑、分析和推理，从而提升学生的学习技能，提高学生的思维能力，促进学生全面发展. 仔细研究有效问题，发现其具有以下基本特征.

1. 问题围绕教学目标设计

问题为实现教学目标服务，有效问题应围绕教学目标、紧扣教学主题而设计，只有这样才能突出教学重点和突破教学难点，帮助学生掌握疑难点，真正做到有的放矢. 如果漫无目的地设计问题，那么学生无法根据问题掌握知识的本质和核心，这样既达不到教学目的，还会分散学生的注意力，影响教学效果.

（2）结合问题（1）的运算结果，你能发现什么结论？

以上问题是在探究“等差数列性质”时设计的，教师先让学生独立解题，而后合作交流.

师：问题（1）的运算结果是什么？（对比发现规律）

师：根据问题（1）的运算结果，你能得到一般结论吗？

师：你能证明这个结论吗？（学生合作完成）

师：根据以上性质，你还有什么发现？还能得到什么结论？

……

以上问题是紧紧围绕“等差数列的性质”而设计的，引导学生自主发现、猜想、验证，通过独立思考、合作探究逐渐突出教学重点、突破教学难点. 以上问题的设计是自然流畅的，有效的，通过由浅入深的层叠问题引导学生摘到“桃子”.

2. 问题符合学生的实际认知水平

有效问题应基于学生的“最近发展区”而设计. 若问题基于“现在发展区”而设计，难度太小，学生不需要思考就能解决，难以引发学生深度思考，不利于学生发展；若问题基于“将来发展区”而设计，难度太大，学生“跳一跳”仍然够不着“桃子”，这样容易挫伤学生的学习信心，同样不利于学生发展. 因此问题必须基于学生的“最近发展区”而设计，让学生感觉“桃子”触手可及，但要“跳一跳”才能摘得到，这样才能真正提高学生探索问题的热情，提升教学品质.

（1）请给a，b一组具体值，使直线l与椭圆C相交.

（2）如果直线l与椭圆C相切，那么a，b满足什么条件？

（3）若a+b=1，直线l与椭圆C的位置关系是什么？

（4）若想求出直线l的方程，可以添加一个什么条件呢？

以上问题是在复习“直线与圆锥曲线的位置关系”时设计的，问题的难度不大，具有一定的开放性，让学生有一种既熟悉又陌生的感觉，极大地调动了学生参与的积极性. 同时，借助问题（5）引导学生将椭圆问题的解决经验迁移至双曲线和抛物线问题上，既巩固了知识，又实现了知识迁移；既顺应了学生的个性发展，又提升了教学有效性.

3. 问题关注学生的心理因素

若想借助问题调动学生学习的积极性，诱发学生主动学习，激发学生的求知欲望，则问题应该是学生想要的，新颖激趣的，有诱惑力.

案例3 对数的概念.

师：下列两行数中，第一行是2的指数，第二行是2的幂数.

第一行：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，11，12，13，14，….

第二行：1，2，4，8，16，32，64，128， 256，512，1024，2048，4096，8192，16384，….

师：你们从第二行数中任意取两个数，我不用笔算就能快速给出它们相乘的结果，你们信吗？

（很多学生投来疑惑的眼神）

生1：16×128.

师：2048.

生2：64×256.

师：16384.

（学生投来佩服的眼神）

师：其实你们也可以，将两行数对应起来一起看，观察第一行中对应数的和，你们有什么发现吗？

（學生通过观察、交流，发现了秘密.）

师：你们知道其中的数学原理吗？

对数的概念比较抽象、难以理解，而巧妙地利用数字游戏不仅能够激发学生的好奇心，吸引学生的注意力，还可以有效培养学生的问题意识. 另外，教师引入数字游戏还有一层深意，即带领学生重温对数发明史，让学生体会数学的价值，认识数学的本质，激发学生学习数学的兴趣. 实践证明，当学生的学习兴趣被激发后，课堂教学往往能取到事半功倍的效果.

有效问题的建构

了解了有效问题的特征，那么在实际教学中应如何设计有效问题呢？笔者结合教学经验，介绍几种常用的设计策略.

1. 情境化设计

数学源于生活、用于生活，只有将数学与生活有机地融合在一起，有意义的学习才有可能发生. 因此，在实际教学中，教师不妨将问题置于某个情境中，以此拉近学生与数学的距离. 实践证明，数学与生活的联系越紧密，越能调动学生的探究欲，越能拉近学生思维与问题的距离，这样既能淡化数学的抽象感，又能让学生真切地体会到数学知识的应用价值，让学生感觉数学学习是一件有趣且有价值的事情，以此激发学生想学、乐学，提高教学的有效性. 另外，借助情境化设计，有助于培养学生的形象思维能力和抽象思维能力，有助于发展学生的创造性思维.

案例4 任意角.

在新课引入环节，教师设计了以下问题情境.

情境1：回顾旧知.

初中时是如何定义角的？你所了解的角的取值范围是什么？

情境2：联系生活.

生活中有很多角不在［0，360°］内，你能列举一些实例吗？

以上情境从学生的认知水平出发，引导学生回顾初中所学的角，为接下来角的推广做铺垫. 另外，借助情境引导学生联想生活中的角（如体操运动中的翻转、跳水运动中的翻转等），这时学生能够发现生活中有很多角不在［0，360°］内，以此让学生体会推广角的必要性，激发学生推广角的热情.

2. 针对化设计

有效问题的设计既要紧扣教学目标，又要顺应学生的思维发展，应从学生的认知水平出发，按照知识发展的逻辑顺序精心开展，从而通过有序化、针对化的引导，实现教学过程的高效化. 反之，若问题的设计偏离主题，或不符合教学客观律的教学顺序，课堂将陷入无序状态，不利于教学活动的顺利开展.

案例5 探究“一元二次不等式的解法”.

在教学中，单一地讲授不等式的具体解法，不仅会让学生感觉课堂枯燥乏味，而且难以呈现不等式与方程、函数等相关知识的内在联系. 因此，探究“一元二次不等式的解法”时，教师从学生熟悉的方程入手，通过问题有序化、针对化的设计，培养学生探究数学的热情. （问题如下）

（1）解下列方程：①x2－1=0；②x2－2x+1=0；③2x2－x－3=0；④x2+x+1=0.

（2）画函数y=2x+1的图象，结合图象写出当自变量x>1时，函数值y的范围；当y<1时，自变量x的范围.

（3）画函数y=2x2－x－1的图象，并求其零点.

（4）观察y=2x2－x－1的图象，分别写出当图象在x轴上方、下方时，自变量x的范围.

（5）联系旧知，你能为一元二次不等式下定义吗？

（6）如何求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）.

（7）请自己列举几个一元二次不等式，与同桌交流并求解.

（8）你掌握了几种解一元二次不等式的方法？

在上述案例中，以探究“一元二次不等式的解法”为主线，从学生的已有知识和经验出发，引导学生通过回忆、观察、分析，将函数、方程、不等式等相关知识紧密地联系在一起，归纳多种常用的解题方法. 以上问题的设计体现了知识发展的逻辑顺序，通过由浅入深、由特殊到一般的教学顺序，调动学生自主探究的积极性，提升了学生的数学学习信心.

3. 层次化设计

问题设计的难易程度直接关系到问题设计的有效性，因此教师设计有效问题时需要把控好“度”. 面对那些难度较大，不利于理解的问题，教师可以将其拆分成有层次、有梯度的问题串，让知识的发生过程伴随着由浅入深的问题逐步展开. 当然，在设计这些层次性问题时，除了考虑难度外，还要关注其启发性、逻辑性、探索性，这样才能确保学生在解决好最近发展区内的问题后自动地进入下一个层级，让思维能力和学习能力不断提升.

案例6 对数的概念.

（1）已知2x=1，则x=______；已知2x=4，则x=______；已知2x=8，则x=______；已知2x=9，则x=______；已知2x=－1，则x=______.

（2）2x=9，2x=－1中的x一定存在吗？若存在，答案唯一吗？

（3）已知x2=4，则x=______；已知x2=5，则x=______. 出现根式对你有何启发？

在实际概念教学中，大多数教师只关注概念的严密性，导入方式比较单一，常常是讲完概念后就进行大量训练，这样的概念教学死板、千篇一律，难以激发学生学习的积极性. 另外，直接讲解概念而不让学生经历概念形成的过程，则无法揭示概念的内涵和外延，这样学生难以应用概念解决问题. 为了改变这一现象，在对数概念教学中，教师从方程的角度出发，与学生一起复习指数运算与指数函数，利用环环相扣的问题让学生经历对数形成的过程，领悟引入新概念、新符号的必要性. 另外，通过启发性问题的引导，逐渐揭示了概念的本质，实现了认知深化.

当然，有效问题设计策略并不局限于上述几种，还有趣味化设计、实验化设计、整体化设计等多种策略. 不过无论应用何种策略，都应符合有效问题的基本特征，以此发挥问题教学的优势，让学生在有效问题的引领下思考、成长和发展.