基于思维发展的信息技术与数学教学融合实践探索

胡连成　王国强

摘 要：数学教学是以数学思维发展为核心的教学，学生思维发展需要在积极的问题情境思考中得以实现.基于思维发展的信息技术与数学教学的融合实践，一方面重视学生通过主动思考完成知识和方法的初步建构，实现思维的内化；另一方面重视展示、交流、辨析等思维外显过程，并注重借助几何画板等信息化图示技术，在动态的问题思考中实现抽象知识直观化、内隐思维可视化，达成从感性认知到理性建构再到思维自觉的育人目的.

关键词：问题情境；思维发展；二次函数；几何画板

以核心素养发展为旨归的数学教学，追寻用数学的方式观察、思考和表达现实世界，其本质是通过情境中的问题思考，发展学生的抽象、推理及模型等数学素养，培养理性思维和科学精神.为实现上述目的，《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了5条教学建议，其一就是“注重信息技术与数学教学的融合”，提倡合理利用现代信息技术，丰富学习资源，创设生动的学习情境，在实际问题的思考中，激发学习兴趣和探究欲望，开阔认知视野、发展数学思维，实现抽象知识直观化、内隐思维可视化、理性思维自觉化，促进学生对数学概念的理解、知识方法的建构和数学思想的领悟^［1］.

数学学习是基于对情境问题的观察、想象、猜想、推理、验证、归纳而开展的思维活动，具有形式化、抽象性及自我建构的特点.一般来说，学生在问题的思考中思维活动往往是内隐的，对于抽象数学本质刻画是基于自我理解的图式建构，可能是肤浅或片面的.因此，在数学问题的思考中，一方面要重视自我建构的思维内化过程，另一方面要注重交流、展示、辨析等思维外显活动，并合理利用几何画板等信息化图示技术，变抽象为直观、转内隐为外显、化结果为过程，在多元表征中达成隐形思维显性化、显性思维策略化、高效思维自动化，实现学生对数学本质的正确理解，进而发展自觉的理性思维和科学精神^［2］.

1 基于思维发展的融合教学的案例分析

本文结合苏科版教科书九年级下册“二次函数”中的三则教学案例，对信息技术与数学教学的融合实践进行解读与分析.二次函数是继一次函数、反比例函数之后又一类重要的代数函数，是描述现实世界数量关系之间的重要数学模型，其内涵丰富、知识抽象、综合性强，学生理解有一定难度，以至于不少学生“望函生难”“遇函止步”.这就要求我们在教学中通过合适的教学媒介，化抽象为直观，让学生的思维方式实现从静态到动态、从特殊到一般、从感性到理性的提升，进而促进理性思维的发展.

几何画板是美国Key Curriculum Press公司研制的一款数学软件，具有绘图操作简便化、呈现方式直观化、图形构造动态化、数量关系精确化的特点.在二次函数教习中有针对性地运用几何画板进行辅助，可以在直观的图形变化中帮助学生理解抽象的函数内容，发展用数学的方式观察、思考和表达现实问题的能力.

1.1 数形结合，理解函数图象

二次函数图象的学习需要在问题思考中，从数的角度理解变量间对应关系，从形的角度感知“连点成线”“点动成线”的变化与关联.既要知道二次函数的图象“是何物”，也要知道“为何是”，更需明确“如何用”，以在探究中掌握解决问题的“一般套路”，促进思维发展.

案例1：二次函数图象画法辨析

1.情境设计：类比画一次函数y＝2x图象过程，尝试画出二次函数y＝2x²的图象.

2.问题思考：（1）画函数图象的步骤是什么？

（2）你画的二次函数图象与一次函数图象有哪些异同？

（3）二次函数图象上相邻两点如何连接？为什么？

3.探索分析：二次函数图象是理解函数图象性质的基础.学好这部分内容，需要在已有函數图象知识的基础上，注重方法类比，整体感知形态，具体分析变化.故本案例教学让学生类比一次函数的图象画法尝试画二次函数的图象，在经历列表、描点、连线的过程中，整体感知二次函数图象不同于一次函数图象，并以如何刻画相邻两点间的连线为着力点，开展对问题“是何”“为何”的深度思考.学生往往类比一次函数图象采用线段依次连接的方法画二次函数图象（如图1），为了让学生认识其不合理性，可借助几何画板进行可视化探索.

（1）增点辨析、连点成线

针对“相邻两点用线段连接”的现象，可以利用几何画板“绘制点”功能画点辨析，通过“举反例”的方法说明了“相邻两点不是用线段连接的”.如绘制符合函数关系的点（0.5，0.5），可以观察到它并不在所连接的线段上（如图1）.我们可以继续在点（0，0）和点（1，2）之间绘制更多的点（如图2），整体直观感知这些点形成了曲线形状.

（2）动点刻画、点动成线

为了更直观、形象地展现二次函数y＝2x²的图象，可以利用几何画板“追踪点”功能，拖动符合函数关系的动点P，则会形成无数个点，点动成线，构成了“抛物线”状平滑曲线

（如图3）.对于成绩较好的学生，也可以让其阅读“抛物线的焦点与准线”的相关内容，了解“抛物线是平面内到一定点和一定直线（不过定点）距离相等的点的轨迹”，并利用几何画板，根据焦点和准线绘制动态抛物线.课后结合本课探究方法，让学生尝试绘制y＝x³和y＝x²＋1x的图象，借助几何画板验证并归纳其图象性质，实现方法的迁移运用.

1.2 动态生成，明晰性质关联

二次函数图象性质是学生学习的又一难点，相对于一次函数和反比例函数而言，系数增多，图形变化丰富，数形关联复杂.因此，在图象性质探究中借助几何画板等可视化工具，化抽象为直观，化静态为动态，多维思考，融会贯通，实现数形融合与函数、方程、不等式知识关联建构.

案例2：函数、方程与不等式的关联建构

2024年第1期教学研究教学研究2024年第1期1.情境设计：你能求出不等式x²－2x－3＞x＋1的解集吗？

2.问题思考：（1）是否可以通过解不等式解决问题？

（2）是否可以通过解方程y₁＝x²－2x－3猜想结论？

（3）观察函数y₁＝x²－2x－3与y₂＝x＋1的图象，你有什么发现？

3.探索分析：一元二次不等式的解集确定问题对一般学生来说是学习的难点，其往往类比一元一次不等式的解法而出现方法困境.这类问题的解决策略是“由形析数”，结合函数图象直观解读，其思维理解的关键点在于从符号语言到书面语言再到图形语言的顺利转换（如图4）.九年级学生的思维发展尚处在从形象思维到抽象思维的过渡阶段，在图形的信息解读中可以借助几何画板，利用动点演示说明“y₁＞y₂”的图象区间分布

（如图5）.具体如下：过x轴上的点P作垂线，分别与两函数图象交于点A、点B，有序拖动点P，观察点A和点B的位置和坐标变化，可直观得到y₁与y₂的大小关系的区域分布.

图4

图5

1.3 图形运动，助力素养发展

抛物线中由动点形成的特殊图形存在性问题，其知识综合性强、图形变化多、空间想象思路难度大，在各类考试中往往作为压轴题出现.这类问题可借助几何画板，通过动态演示图形运动过程，直观展示一般与特殊的图形变化，在变化中揭示不变的规律和关系，从而有效发展学生的几何直观和空间想象等数学素养.

案例3：抛物线中直角三角形存在性问题

1.情境设计：如图6，抛物线y＝－x²＋2x＋3与坐标轴交于A，B，C三点，E是x轴上一动点，过点E且平行于y轴的直线与抛物线交于点P，与直线AB交于点D.当点E在线段OA上运动时，想象△PBD的形状变化.

2.问题思考：（1）当点E在线段OA上运动时，是否存在△PBD為直角三角形的情况？

（2）若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由.

（3）是否存在△PBD为其他特殊三角形的情况？若存在，能否求出点E坐标？

3.探索分析：按照学生的思维发展的一般顺序，进行如下探索过程.

（1）模拟变化.学生模拟图形运动过程，尝试画出△PBD为直角三角形的图形，并交流、展示、讨论，以发展学生空间想象能力，尝试知识和方法的初步建构.

（2）动态演示.教师运用几何画板演示点E在线段OA上运动时△PBD的变化过程，明确存在两类符合条件的图形

（如图7、图8），并让学生解释∠PDB不能为直角的原因.在图形想象和直观演示的碰撞中，激发学习兴趣，引发深度思考，发展学生几何直观和抽象思维能力.

（3）思路探寻.结合图形，由形解数、由数析形、数形结合，探寻图7和图8中点E的不同的坐标求法，理解“动态探寻变化、静态分类思考、数形多维求解”的解题策略及特殊与一般、转化与化归等数学思想.

（4）变式拓展.当点E在直线OA上运动时，类比上述方法探寻△PBD为特殊三角形的其他情形，发展学生的数学应用意识.

（5）方法运用.当点E在直线OA上运动时，鼓励学生提出不同的几何图形存在性问题，并运用上述问题解决策略尝试解答，以实现在动态问题思考中发展思维的发散性和创新性.

2 基于思维发展的融合教学的实践思考

数学思维是以空间形式和数量关系为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，以认识发现数学规律为目的的思维方式，具有概括性、整体性、相似性和问题性的特点^［3］.数学教学是以数学思维发展为核心的教学，借助几何画板辅助教学的融合课堂教学应注重学生数学思维能力的培养，以主动的情境问题思考为前提，注重知识的建构与思维的内化.在此基础上，借助几何画板，通过图形运动和数量刻画，从数形结合、动态感知、理性思考、数学表达的过程，实现思维的外显，并通过知识方法的迁移运用，形成解决问题的基本套路和一般观念.

2.1 主动思考为前提，关注思维内化

学生的思考过程就是不断进行知识重构的过程，是基于已有知识结构和方法体系进行顺应与同化的尝试过程.这个过程存在诸多挑战，可能无法探寻到有效思路或得到片面甚至错误结论，但每一次思考，都是自我的升华与完善.基于思维发展的信息技术与数学探索的融合教学，重视学生对问题的主动思考，这是问题探索的起点.通过创设积极的问题情境，引发学生认知冲突，形成探究氛围，学生在经历观察、猜想、验证、解释与反思的思维活动，形成基于自我理解的知识和方法，实现用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题的过程，在积极的问题思考中完成“内化于心”的自我建构过程.

2.2 动态展示为关键，重视思维外显

学生通过主动思考而尝试建构的知识与方法体系是否正确，需要在交流、展示与辨析的表征活动中接受检验.在运用数学语言表达问题的过程中，产生思维碰撞，使内化的思维成果在外显的过程中得以修正与重组，实现对知识结构和方法体系的再加工.如上述案例中，在学生思考的基础上，一方面让学生通过图形和语言等方式呈现思维成果，学生试图在清晰而有序的表达中，发现新问题，引起新思考.另一方面通过几何画板等图示技术，直观演示图形的变化过程，结合数据的精确刻画，验证学生的猜想和判断，引发学生的深度思考.在自我理解的思维成果和直观形象的动态展示碰撞中，激发学习兴趣、优化思维方式，经历系列的问题探索，学生在看到二次函数表达式时，头脑中出现的不仅是“等式”“方程”的数的对应关系，还会出现“连点成线”“点动成线”等形的有序运动，在数与形的动态融合中实现对函数图象的本质理解.

2.3 “三何”探究为根本，实现思维理性

基于思维发展的信息技术与数学教学的融合探究追寻的是学生深度学习，是对问题“是何、为何、如何”的追问与思辨.通过主动的思考，探寻问题所蕴含的数学规律，完成基于自我理解的知识和方法的初步建构，达成“是什么”的感性认识；在对思维成果进行解读、思辨时，结合辩思与推理，实现“为什么”的理性解读；教师因势利导，借助思维可视化方式，使学生思维方式实现从静态到动态、从一维到多维的转变，在动态思考中领悟数学思想方法，掌握问题思考的一般套路，并能在问题探究中自觉迁移运用，实现“如何用”的目的.

通过情境问题的深度思考，从“是何”的感性认知到“为何”的理性建构再到“如何”的思维自觉过程，借助几何画板等数字化技术，实现抽象知识直观化、内隐思维可视化、理性思维自动化，由具体的数学方法、策略的学习转向一般性思维策略的发展，进而逐步培养学生的理性思维和科学精神^［4］.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］左博文，周利君.我国思维可视化研究回顾与展望——基于中国知网2014—2019年论文分析［J］.中国教育信息化，2020（13）：14--20．

［3］孔凡哲.数学学习心理学［M］.北京：北京大学出版社，2021．

［4］胡连成，朱浩然.基于思维发展的单元复习课的实践与思考——以锐角三角函数单元复习为例［J］.中小学教学研究，2023，24（1）：56--62．