以本原性问题促进学生自然生长的单元教学探索

陈亮 张蕾

[摘 要] 单元教学不是单元中所有知识的简单罗列过程，而是学科知识自然生成的过程、学生思维发展的过程、学生学科素养养成的过程.以解一元二次方程为例，基于学生已有的知识经验，通过对不同的一元二次方程求解的探究，让学生在经历探究方法过程中感受知识的自然生长过程，建立单元学习脉络，形成经验，感受数学思想，养成了数学素养.在单元教学的课堂中，学生感受到“先见森林，后见树木”.

[关键词]单元教学；本原性问题；一元二次方程；数学素养

基金项目：淄博高新区教育规划2021年度课题“初中数学本原性问题的设计与应用研究”（2021GJY003），淄博市教育规划2023年度“基于PBL的初中数学大单元教学实践研究”（2023ZJY010）.

单元教学不是单元中所有知识的简单罗列过程，而是学科知识自然生成的过程、学生思维发展的过程、学生学科素养养成的过程.课时教学如果生硬地把连贯的知识进行分割，那么学生可能无法感悟和体会知识系统性的生长过程，也不能了解知识在单元中、学科体系中的地位和作用.本原性问题是鲍建生教授在“江苏省新修订普通高中课程方案和课程标准（高中数学）培训”中所做报告《高中数学核心素养的教学与评价》中提到的，鲍教授认为数学核心素养的教学，应“加强单元教学，通过本原性问题的探讨，聚焦本单元的大观念”.本原性问题即能反映数学教育的根源、基础、大观念、最重要部分的问题[1].在单元教学中运用本原性问题可以很好地解决这个问题，笔者以“解一元二次方程”为例，先后进行两次教学实践，探索知识的自然生成、学生的思维发展和学生数学学科素养的养成.

單元教学基于学生知识体系的自然生成

受课堂时间限制，课时教学可能把知识内容进行生硬的分割，或者按照某种知识产生的顺序进行分割，在学生眼中“只有一棵棵树，没有成片的森林”，不利于学生感受知识和方法的整体性、系统性、一致性.

单元教学可以帮助学生在已有知识体系的基础上，在探究数学问题过程中，体会知识生长、方法生长、思维生长、数学思想和核心素养的发展.教学中教师应呈现层层递进的大单元知识联系，在潜移默化中提升学生的思维品质[2].在探索过程中，学生感受知识的整体性、系统性、前后一致性，体验“先见森林，再见树木”知识之间的宏观脉络.

单元教学基于学生的思维发展

2022年版的《义务教育课程方案》和《义务教育数学课程标准》指出：“学生在数学学习过程中体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.”[3]

每单元的内容是一个整体、一个系统，知识是生长的，探究思路是一贯的，思维发展是系统的.单单一节一节课的细致学习，不利于学生感悟数学问题思维系统的生长.同时，这也不利于教师个人的专业成长，不少教师往往钻进研究题目和题目变形的“牛角尖”，而忽略感知单元整体思维的生长.

单元教学基于学生数学学科素养的养成

北京师范大学组成专家团队在研究核心素养时是这样定义的，核心素养是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.

史宁中教授更形象地用“三会”阐述数学核心素养，数学核心素养有助于学生学习数学，但影响范围大于数学学习，可以帮助学生在日常生活和其他学习中潜移默化地运用数学经验、能力、思想和品质等.在单元教学中教师讲授的不仅仅是知识、方法，更重要的是通过所设计的问题、数学活动等让学生在数学学习中形成学习数学的经验、能力、方法、思想、品质等，促进学生数学学科素养的养成，进而对学生终身学习有潜移默化的帮助.

【课程标准的要求】理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.

【教学目标】

1.通过经历探索求解一元二次方程的过程，初步了解探索数学问题的分析方法和过程，初步理解利用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解简单的一元二次方程.

2.体会求解一元二次方程方法的生成过程，初步感知“化繁为简”的数学思想，联系已学的开方、配方、因式分解等内容，培养学生学习的迁移能力.

3.体会数学探索过程，感受科学探索过程的艰苦和成功的喜悦.

【重点和难点】重点：初步理解利用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程.难点：渗透“化繁为简”的数学思想.

第一次教学尝试：

【环节一】复习回顾

问题1 我们学过哪些方程？

问题2 二元一次方程组是如何求解的？

追问：体现了什么数学思想？

设计意图 学生通过回顾已学内容，在已学知识的基础上对新知识进行建构生长.复习回顾除了对知识、方法的学习，更重要的是对“化简”数学思想的渗透.问题导学有利于促进学生创新思维、形象思维和逻辑思维的发展，引导学生深入挖掘知识的内在联系[1].

【环节二】层层递进，建立学习线索

问题1 首先大家来思考求解方程x2=25.

学生：独立思考解决，并展示.

师生归纳：（1）利用平方根的知识，对等式两边进行开方，从而解出了该方程. （2）开方是降次的一种方法，方程通过开方由x2=25变成x=5或x=-5.

巩固练习：①2x2-8=0，②（x-2）2=5，③（x+2）2=5.

学生活动：先独立思考，小组讨论求解困难的题目，然后展示解题过程.

师生归纳：（1）形如x2=a，x2-a=0或（x+b）2=a（适用范围）的方程，可用直接开平方法.（2）体现了整体思想.（3）没有一次项.

问题2 观察x2-4x+4=5和x2-4x-1=0这两个方程.

学生活动：先独立思考，然后小组讨论，如何求出它们的解？

教师巡视，如学生存在障碍，教师可以点拨.

学生展示：（1）x2-4x+4=5较容易解决，学生能快速地发现它隐含了完全平方公式，从而写成完全平方的形式.

（2）对于x2-4x-1=0，有的学生没有想出来如何求解，教师引导学生类比x2-4x+4=5，转化成完全平方式.

师生归纳：（1）有一次项的，可将常数项移到等式右侧，然后进行配方，再开平方.（2）思想方法：①转化与化归；②整体思想.（3）适用范围：所有一元二次方程.

巩固练习：x2-8x+1=0.

预留问题：既然配方法能适用于所有的一元二次方程，那么字母系数不为1的、一般形式的一元二次方程，能否解决？在后面的学习中我们会用1课时来推导公式法，并用1课时加以练习.

问题3 x2+x=0，4x2-121=0，x2-2x-15=0这三个方程如果不用配方法和直接开平方法该如何求解？

学生独立思考.

教师点拨：注意观察方程左侧整式的形式.

学生小组讨论、展示.

师生归纳：（1）三个方程的左边分别可以利用提公因式法、平方差公式、十字相乘法等转化为乘积的形式，这样就变成a×b=0的形式，得到a=0或者b=0.（2）次数的转化：二次变为一次.

设计意图 通过对不同方程如何求解的探究，在学生脑海里形成一个单元脉络，降次分为开方和因式分解两个方法.开方又可形成直接开平方法、配方法以及公式法这三种方法.

预留问题：对于用因式分解法去解一元二次方程我们在后面的学习中会拿出2课时来加以练习.

【环节三】总结

通过本节课你学到了哪些解一元二次方程的方法？

第一次教学尝试的反思：

教师设计解一元二次方程的思路是层层递进的：先通过求解方程x2=25，引出直接开平方法，然后通过求解x2-4x+4=5和x2-4x-1=0这两个方程引导学生探索配方法，最后通过3个题目初步探索提公因式法、平方差公式、十字相乘法.

不足之处：在教学设计中有教师牵着学生思路走的感觉，学生被老师的思路领着走，不利于学生感受知识的生成过程，不利于发展学生的主动探索能力.学生学完后对解一元二次方程的整体感知缺失，遇到一元二次方程不知道应该怎么想、怎么求解.同样，遇到数学问题，学生不知道如何思考，不利于学生数学核心素养的养成.另外，在总结环节，只是就知识、方法而言，没有从数学思想上進行总结，缺乏提升.

第二次教学实践：经过反思，对于环节二和总结环节进行重新调整.

【环节二】

设计意图 基于学生已有经验，问题引领，学生自主探索，建立大单元整体学习的学习脉络.

问题1 观察以下方程，有什么共同特点？（1）x2=25，（2）2x2-8=0，（3）（x-2）2=5，（4）x2-4x+4=5，（5）x2-4x-1=0，（6）x2+x=0，（7）4x2-121=0，（8）x2-2x-15=0.

学生自主思考.

学生：这8个方程中都有一个未知数，未知数的最高次数都是2.

教师预设：如果学生不能发现都是“一元二次方程”，教师可以再给出一元一次方程的例子，让学生观察比较与以上方程的不同.

设计意图 数学本原性问题是最基本的问题，是指向数学本质、触动学生数学素养的问题.“有什么共同特点”正是数学本原性问题，引导学生思考8个方程的共性，揭示“一元二次方程”的概念形成，能让学生思考数学本质，帮助学生数学素养的养成.这正是史宁中教授所说的“三会”.

问题2 上面的方程你能自主解决哪些，尝试求解.

学生自主完成，交流展示.

设计意图 在大单元教学理念下，把不同层次、不同难度、不同解法的题目一起呈现出来，让学生尝试解决，尊重学情，体现学生的主体地位，体现学生对知识的整体建构过程，帮助学生感受知识的生成性过程.学生根据自己情况解决能独立解决的题目，教师可以少讲或者不讲，课堂留出时间解决学生的问题，使课堂更高效.学生感受直接开平方、配方法、因式分解等数学方法的迁移，感受解一元二次方程从简单解法到转化我们在已有经验基础上的新方法.经历探索新的、更深层次的问题，让学生积累把新问题转化成已有的知识学习经验.通过问题引领，整个过程渗透转化与化归的数学思想，发展学生思维，养成数学素养.

预设学情：学生能直接求解的方程有：（1）（2）（3）（7）.

学生先独立思考，有困难的小组讨论，然后学生展示解法.

教师：学生展示时，注意暴露学生的问题，如直接开平方法只有正数解，没有负数解.

师生归纳：（1）利用了平方根的知识，对等式两边进行开平方，从而解出了该方程.（2）开平方是降次的一种方法，方程通过开方由x2=25变成了x=5或x=-5.（3）易错点：开平方时注意有正、负两种情况.

跟踪练习：略.

师生归纳：略.

问题3 哪些方程存在求解困难？

预设存在困难的有：（4）（5）（6）（8）.

设计意图 引导学生主动发现问题，主动分析、解决问题，有利于学生感受元认知，为后续的教师引导提供“脚手架”.

问题4 观察x2-4x+4=5等号的左边，有什么特点？

教师追问：观察比较x2-4x+4=5与（x-2）2=5.

设计意图 引导学生把等式的左边先化成平方形式，再求解.当学生遇到困难时，教师不是直接展示答案，而是适当设计“脚手架”帮助学生思维发展，帮助学生对方法的理解. x2-4x+4=5较容易解决，在复习了乘法公式的知识后，学生能快速地发现隐含其中的完全平方公式，从而写成完全平方的形式.

问题5 x2-4x-1=0的左边，我们能把它转化为类似于（4）左边的形式吗？利用配方法求解x2-4x-1=0.

预设：如果有学生想出来，由学生展示；如果没有学生想出来，教师引导学生类比x2-4x+4=5的形式，通过常数的加减把左边化成完全平方式.

師生归纳：（1）方法归纳，有一次项的，将常数项移到等式右侧，然后进行配方，再开平方.（2）思想提升，①转化形式上，从复杂到简单，从一般到特殊，从未知到已知；②整体思想.

巩固练习：x2-8x+1=0.

问题6 对于（6）（7）（8），能用刚才的方法吗？试一试.

问题：这三个方程如果不用配方法和直接开平方法该如何求解？

追问：注意观察方程左侧整式的形式和我们学过的什么知识经验有关？

设计意图 为用因式分解法设计典型题目，先让学生自主思考，学生通过体验解题过程，感受原来方法的烦琐，为简单的新方法做好对比铺垫.类比学习有利于拓展学生思维的深度；发散学习有利于拓宽学生思维的广度.

学生独立思考后小组讨论，展示交流.

学生回答：等式的左边可用因式分解法，即提公因式法、平方差公式、十字相乘法.

师生归纳：（1）形式的转化，和变为积；（2）次数的转化，二次变为一次.

预留问题：对于用因式分解法解一元二次方程我们在后面的学习中会拿出2课时来加以练习.

【总结环节】问题：你学到了什么，有什么收获？你认为下面的课时会学习哪些内容？你还有哪些困惑？

设计意图 引导学生从新学的知识、方法上进行总结，更引导学生从数学思想、知识生长上进行总结，让学生在脑海里建立一个单元整体脉络. 在学生充分表达的基础上，教师引导学生解决问题时先从简单的开始，可以把困难问题转化为简单问题，把新知识、新方法转化为原知识、原方法，渗透“化繁为简”的数学思想，促使学生数学核心素养的养成.设置“你还有哪些困惑”的问题，让学生从自身反思，感受元认知的本原性问题，评价自己，发展自己.

【教学思考】 自由，是创造力生长最好的土壤.单元教学的目的不仅仅是把知识呈现给学生，更重要的是把知识之间的关系、知识的生长过程呈现给学生，培养学生数学的眼光、数学的思维.知识系统建构能力是数学学习中一种重要的能力，可以在单元起始课中进行培养和发展[3].在“解一元二次方程”单元教学中，我们把不同的一元二次方程呈现出来，充分相信学生，让学生在已有知识经验基础上，自主思考看看哪些可以自主做出来，学生自己能解决的先自己解决.显而易见，学生对简单的一元二次方程可以用直接开平方法.学生存在困难不能直接开平方的，教师可以再引导其对方程进行分类，渗透分类讨论的数学思想.学生通过独立思考、交流表达来解决问题.对于可以转化成平方形式的，引导学生先把方程转化为平方的形式，再用开平方的方法求解；对于不能开平方的，可以引导学生利用因式分解的方法将其转化成ab=0的形式，渗透发散思维，培养化繁为简的数学思想.层层递进的代数大单元知识联系，在潜移默化中提升学生的思维品质[3].

在单元教学的课堂中，虽然不能让学生经历大量的习题练习，但是能让学生产生“先见森林，后见树木”的感觉.学生经历解一元二次方程的方法，对本原性问题的思考，感受到探索数学生成过程，积累数学经验，感受数学思想，养成了数学素养，为终身发展的培育提供了数学的土壤.

参考文献：

[1] 韦凤莲. 点评：设计本原性问题，培养学生核心素养[J]. 中学数学教学参考，2019 （20）：35-37.

[2] 周韧. 基于大单元视角的乘法公式综合课教学及思考[J]. 中学数学教学参考，2021（26）：14-16.

[3] 中华人民共和国教育部. 义务教育课程方案（2022 年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[ 4] 江继娟. 跳一跳，够更高——谈基于“最近发展区”理论的初三数学复习教学设计[J]. 数学教学通讯，2019 （29）：12-14.