MPCK视角下的“勾股定理”教学案例分析

2024-04-16姚山雪李红梅

数学教学通讯·初中版 2024年2期

姚山雪李红梅

[摘要] 结合“勾股定理”同课异构教学案例，通过课堂观察，分析三位教师在“创设情景、活动探究、猜想证明”三个教学环节中的不同MPCK呈现，对比分析三位教师关于“勾股定理”的MK，PK，CK的异同，并尝试给出教学建议：深挖教材，获得丰富MK；深度理解CK，灵活选择PK.

[关键词]MPCK；勾股定理；案例分析；课堂观察

研究背景

舒尔曼于1986年提出PCK（学科教学知识）的概念[1]，后经学者研究将数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来，形成了MPCK（数学教学内容知识）理论.黄毅英教授将MPCK分为三类知识：（1）MK（数学学科知识），包括准确理解教材与课程目标等；（2）CK（内容的知识），包括学生的知识、学习的困难等；（3）PK（一般教学法的知识），本质是在指导学生的思维方式后，确定的教学方法与教学策略[2][3].

勾股定理是基本的几何定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，对从数量的角度研究几何具有十分重要的作用，是平面几何的重要定理之一.勾股定理的教学十分重要，上好这一堂课，对数学教师的专业素质有一定的要求.

笔者选取了三位教师的“勾股定理”同课异构的教学比赛视频.经了解，授课的三位教师，第一位是有10年教龄的骨干教师A（本科学历，任教于安徽省某中学），在2019年获教学竞赛一等奖；第二位是5年教龄的青年教师B（研究生学历，任教于广东省某中学），在2021年课例展示比赛中获一等奖；第三位同样是5年教龄的青年教师C（本科学历，任教于新疆维吾尔自治区某中学），与教师B参加同场比赛，虽未获奖，但个人教学特色较强.

三位教师的教学流程都包括情境导入、活动探究、猜想证明三个环节，但教学设计存在明显的差异，这些差异反映出教师关于“勾股定理”的MK，CK，PK存在异同，从而在教学中三位教师的MPCK展现出不同呈现方式.笔者通过课堂实录分析比较三位教师在这三个教学环节中不同的MPCK呈现，对比分析她们关于“勾股定理”一课的MK，CK，PK异同，并尝试给出一些基于MPCK视角下的教学建议[4].

基于课堂观察的MPCK对比分析

课堂观察即通过对课堂运行状况进行记录、分析与研究，在此基础上谋求学生课堂学习的改善、促进教师发展的专业活动.与一般的观察活动相比，它要求观察者直接（或间接）从课堂上收集资料，材料真实性强，研究价值高，在当时疫情形势严峻的情形下，教师无须实地听课，也可以通过录课视频间接地进行课堂观察，开展研究.

环节一情景导入

1.课堂实录

教师A：宇宙浩瀚无边，有无数的星星与星球，在这茫茫的宇宙中，有外星人的存在吗？如果有的话，我们如何与外星人沟通呢（图1）？

教师A在此处留了足够长的时间，引导学生尝试用四个相同的直角三角形纸片去拼图验证，总结归纳勾股定理的结论，鼓励学生用文字、符号、图形三种语言表述勾股定理，最后补充介绍勾股定理相关历史.

教師B：将证明过程细化为四个步骤.步骤1：并线摆放图形.两个图形如图10摆放，面积为多少？步骤2：画线分割图形.如何把这个图形变换成以c为边长的正方形呢？考虑在这个图形中构造出最大的边长c，如何构造？如图11，在CD上截取CB=a，连接BB，BB的长为多少？∠ABB为多少度？为什么？

过点B作BF⊥AE，延长BG交BF于点H.图12中的四个三角形是什么关系，如何说明？此时空出来了一个四边形EFHG，四边形的边长FH等于多少呢？四边形EFHG是什么图形？为什么？步骤3：拼接重组图形.现在要构造出边长为c的正方形，已经发现了一组邻边BB， AB，你能找到另外一组邻边，即找到大正方形的第四个顶点吗？把△ABC与△BBC放置在如图13所示的位置，四边形ABBI是什么图形？为什么？步骤4：对比拼接前后的图形，如图14（面积不变，因此a2+b2=c2，证毕）.

教师B介绍的这种方法是出入相补法.最后拼出来的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出的，人们称之为“赵爽弦图”（图15）.思考变换截取点，在AC边截取边长，同样也可以得到边长为c的正方形，叫作青朱出入图，它的原理同样使用了出入相补法（图16）.

教师C：小组合作完成例题（图17），探究任意直角三角形三边的关系.

如图18，现有两个正方形如图形①摆放，小正方形边长为a，大正方形边长为b，这两个正方形的面积之和如何表示？在较大正方形的一边上选取一个点，使这条线段的长度为a，设斜边长为c，这样构造两个直角三角形（图形②），这两个直角三角形全等吗？你是怎样判断的？将这两个三角形分别旋转，得到一个新的四边形（图形③），新的四边形的面积如何来表示？

通过拼图再次进行验证，用课前准备的4个全等的直角三角形拼成一个正方形吗？（学生给出图19中的两种拼法）教师介绍图形①是我国古代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”.

2. MPCK呈現对比

三位教师MPCK的三种构成成分在猜想证明环节的表现对比如表3.

MPCK视角下的教学建议

1.深挖教材，获得丰富MK

从数学发展看，勾股定理的意义非常重要，其证明是论证数学的发端，是第一个将几何与代数结合起来的定理；它促进了无理数的发现，引发了第一次数学危机，加深了人们对数的理解；它是欧氏几何的基础定理，具有重要的实用价值.

从数学文化背景看，勾股定理蕴含的思想文化非常丰富，中西方提出勾股定理的方法、渠道、研究过程、方法都不同.尤其是其证明，中西方有着各自的证明特色.因此，教师可根据中外探索勾股定理的时间线对比，进行德育渗透，以增加学生的民族自豪感和文化自信心.

从教材内容看，勾股定理的发现、证明和应用，精确地研究直角三角形三边长的等量关系，对后续还要研究直角三角形的边角关系及锐角三角函数，以及四边形、圆与其他几何内容具有奠基作用.

从以上不同角度深挖教材，可以使教师站在不同的高度去理解教学内容，进而不断丰富自身的MK.

2.深度理解CK，灵活选择PK

学生的最近发展区是教学的起点.本节课的难点是如何自然地获得勾股定理猜想的证明思路？不同的学生认知水平、风格都不同，因此教师要根据学生的实际情况，根植于学生的最近发展区，搭建适合学生的“脚手架”.

教学过程注重问题的设计.问题是学生思维的起点，数学是思维的科学，一个问题的提出，后续问题实际上就是这个问题的逻辑展开，所以，只要涉及初始问题，后续问题就会自然而然地产生.

对于本节课，三位教师在勾股定理的探究与证明环节精心设计问题串，探究阶段从“等腰直角三角形三边有什么关系”到“一般的直角三角形三边有什么关系”，学生围绕两个关键问题，经过自主探究、小组合作等方式完成直角三角形三边长的等量关系的猜想.证明阶段，教师B的问题串设计得比较出彩，证明环节的关键问题是“思考如何把这个图形变换成以c为边长的正方形，考虑在这个图形中构造出最大的边长c，如何构造”，成功地为学生打开证明的思路，且在证明过程中，教师适时的追问也起到了很好的教学效果.总之，教师的PK要基于MK，CK，灵活地根据课堂、学生情况进行选择.无论教师采取哪一种教学方式，都一定要根据学生的思维能力选择适合他们的方式.

另外，三位教师在本节课中均实现了信息技术与数学课堂的深度融合.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于勾股定理提出“使用动态几何软件设计教学活动，利用面积的不变性帮助学生体会勾股定理的直观证明”要求[6].我国核心素养框架中也强调了信息意识，突出数字化生存能力.所以，教师应将教学与信息技术相融合，提升教师的教学水平，在教学中使用信息技术也有助于学生借助多媒体更好地理解数学，发展学生使用现代信息与通信技术等技能，进而提升学生的信息素养.