关注知识内涵 促进思维生长

作者简介：张波（1983— ），女，高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.

摘  要：以高三复习微专题“三角函数性质的应用”的教学为例，阐释在课堂教学中如何关注知识的内涵，注重对学生思维的培养，以及提高学生的应用意识，组织学生充分挖掘知识的本质，把握数学基本思想方法，进行深度学习. 旨在提升学生的应用创新思维，发展学生的数学核心素养，从而提高高三复习课的教学质量.

关键词：知识内涵；思维生长；深度学习

中图分类号：G633.64      文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）01-0042-04

引用格式：张波. 关注知识内涵  促进思维生长：以高三微专题“三角函数性质的应用”的教学

为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（1）：42-45.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人能力发展的过程中发挥着不可替代的作用. 因此，在教育改革的进程中，落实核心素养的教学，发展学生的创造力，促进学生思维的发展，提高学生分析问题和解决问题的能力，是数学教育工作者面临的一项意义重大的任务. 要想落实并完成这一关键任务，数学课堂是一个重要的平台；要想使学生在数学课堂中学会对知识本质的探究，数学教师便要在课堂教学中不断进行改进和调整，寻找有效途径. 本文将围绕“如何关注知识内涵，从而促进学生思维的发展”这一论题，以高三复习课“三角函数的性质与应用”为例，从以下四个方面进行阐述.

一、有的放矢，让高三复习课具有针对性

高三复习课要着眼于需求，择取“靶向”知识，使复习更具针对性. 在高三复习阶段，学生的时间成本异常珍贵. 由于备战高考时间紧、任务重，对此教师要科学调整课堂节奏，选取针对性知识，利用有限的课堂时间最大化提升学生的数学思维品质. 同时，要注重举一反三，以培养学生灵活应变的能力，并为学生的思维发展和人生发展奠定基础. 在择取“靶向”知识的过程中，教师不能脱离学情，而是要明确学生在数学复习中存在的问题，了解学生数学能力提高过程中的最大阻碍. 唯有如此，才能加强课堂教学的针对性，真正提高学生的数学复习效率，让学生感受到复习课的价值并产生获得感.

有效的复习课应该帮助学生在已有的认知层面将已经掌握的基础知识和基本方法进行“质”的提升. 因此，复习课绝不能对已学内容在时间维度上进行简单重复，而是要根据学生真正的需求和提升点进行教学设计. 对此，教师可以通过“前测”的方式来了解学生对知识的掌握情况，如知识的误区、思维的障碍点等.

“三角函数的性质”这部分内容在“三角函数”一章中具有重要的地位和作用，也是高考考查的重点内容. 为了充分了解学生对这部分内容的掌握程度，笔者设计了一份调查问卷，共8道题目，涉及对三角函数的图象与性质的直观描述，三角函数不同于学习过的其他初等函数的性质，三角函数对称性与周期性的关系，以及三角函数性质的应用等内容. 通过对前测的8道题目进行分析，发现学生对于基础知识掌握较好，但是从知识的应用角度来看还存在很大问题，尤其是关于程序性知识和具体的学科技能的问题. 现以一道试题的答题情况为例进行说明.

题目  如图1，已知函数[y=sin2x+φ]的图象的一部分，则[φ]的值为______.

此题学生的准确率仅为65%，问题就出现在三角函数性质的应用上. 不能够灵活应用三角函数的性质的原因，在于学生不能够理解其内在的逻辑关系和知识的内涵. 因此，在三角函数这部分内容的复习中，笔者设计了一个微专题——三角函数性质的应用，以帮助学生更好地理解三角函数的性质，提高对知识的应用能力.

二、探寻本质，让高三复习课具有逻辑性

教育心理学中的“首因效应”放置在学生的高频错题的情境中十分适恰. 在高三复习时，教师经常遇到这样的问题：学生总是在同样的题目上频繁出错. 这是由于学生在初次学习知识时便没有真正理解知识的本质，或存在认知偏差，对数学知识之间的逻辑联系不清晰. 正如文献［1］中指出：“数学学科的系统性和严谨性决定了数学知识之间深刻的内在逻辑关系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，因此要做好数学的教学，就要善于从教学内容的本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学知识的逻辑框架结构.”

在课堂实施的过程中，对调研数据进行展示后，笔者以“已知函数[fx=sinx+φ]满足[fπ3=1]，则[f5π6]的值为______”作为引入，与学生一起分析错因. 这也是前测中的一个问题，通过师生间的交流，发现大多数学生都是将[π3，1]代入函数解析式，求出具体的[φ]值，然后再将[5π6]代入解析式，求出[f5π6]的值. 只有个别学生想到最值点与最近零点之间的距离为周期的[14]倍，所以[5π6]是函数的零点. 这说明学生在知识的应用层面仍然存在一些问题，其实也反映出学生对于三角函数性质的理解不够深入. 例如，三角函数具有周期性的原因就在于其自变量是角这一独特的变量：按照角的定义，角的大小可以不同，但角的终边的位置却能不断重复. 正如函数的周期性的概念所揭示的那样，当函数的任意自变量增加或者减少同一个常数的时候，函数值总是相等；三角函数具有对称性，则是因为角的终边具有对称性所引发的. 这也是本节课设计的目的. 在对前测的数据和问题进行分析和解决后，教师出示例1.

例1  已知函數[fx=Asinωx+φ A>0，ω>0]的图象上的一段如图2所示，在区间[0，2π]上，使[fx=f0]成立的[x]的取值集合为_________.

学生先独立思考，分析问题，进而在小组内分享、交流解题思路，随后学生代表板演解法，进行讲解，运用不同解法求解的学生进行补充. 课堂中，学生的思维非常发散，共给出了三种解法.

解法1：由图2可知，[A=1].

因为[T2=5π6-π3=π2]，且[ω>0]，

所以可求得[ω=2].

因为[fx]的图象过点[0， 32]，

所以[f0=sinφ=32].

所以[φ=π3+2kπ，k∈Z].

故[fx=sin2x+π3]．

令[fx=f0=32]，

即[sin2x+π3=32，x∈0，2π]，

可得[x∈π6，π， 7π6]．

解法2：由图2可知，[A=1].

因为[T2=5π6-π3=π2]，且[ω>0]，

所以可求得[ω=2]，

即[fx=sin2x+φ].

由图2可知，[fx]的图象关于[x=π3+5π62=7π12]对称，

即[fx]的图象过点[7π12，-1].

所以[f7π12=sin7π6+φ=-1].

解得[φ=π3+2kπ，k∈Z].

后同解法1.

解法3：由图2可知，[T2=5π6-π3=π2].

所以[T=π].

因为函数[fx]的图象关于[x=7π12]对称，

所以由周期性可知函数[fx]的图象也关于[x=7π12-][π2=π12]对称.

结合函数[fx]的图象可知[f0=fπ12×2=fπ=][fπ12×2+π=32]．

所以令[fx=f0]成立的[x]的取值集合为[π6，π， 7π6]．

此题是对前测结果的检验，同时让学生体会了三角函数周期性和对称性在解决问题中的应用. 在学生思考、求解的过程中，了解学生对问题的解决方法，让解法具有代表性的学生分享解题思路，并展开学生间的交流、互动，教师进行小结提升. 然后应用几何画板软件画出函数[fx=sin2x+π3]的图象与[y=32]的交点，让学生观察，找到两个三角函数值相等的原因——有可能是周期性造成的，也有可能是对称轴导致的. 引导学生结合具体问题体会周期性和对称性在解题中的应用，培养学生的观察和应用能力. 选择这样一道例题作为重点分析的内容，主要是因为该题解法比较灵活，可以从三角方程的角度进行分析，也可以从三角函数性质的角度进行深入剖析，得出多种解法之后，引导学生进行对比，从而得出最优解法，也就是解法3. 而这需要学生深刻理解三角函数的周期性与对称性. 在三角函数中，利用周期性与对称性都可以得到三角函数值相等，而在具体问题中需要灵活处理. 通过解决例1提高学生解决问题的能力，发展学生的逻辑推理素养.

三角函数是研究函数周期性的重要模型，三角函数的图象和性质是此部分内容的核心知识，让学生从图形和代数运算两个角度认识三角函数的性质，并依据三角函数的知识分析和解决问题，进而通过三角函数的学习理解函数周期性的概念是三角函数教学中最重要的任务. 因此，在教学过程中，要帮助学生从函数的知识逻辑角度掌握周期函数的本质.

三、直通高考，让高三复习课具有实战性

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行. 高三的数学课堂要具有高考实战性. 通过前文例1的分析，让学生清楚三角函数值相等的原因有两个，一是周期性，二是对称性. 那么，高考到底会如何考查这部分知识的内在逻辑关系呢？如何考查学生的应用能力和创新能力呢？对此，在高三数学复习课中，要让学生走进高考试题，进行实战演练.

例2  设函数[fx=sinωx+φ]，[A>0，ω>0]，若[fx]在区间[π6， π2]上具有单调性，且满足等式[fπ2=][f2π3=-fπ6]，则[fx]的最小正周期为_______.

学生先独立思考此题，在独立思考的基础上，进行小组内的合作交流，小组代表进行板演讲解. 下面是学生在课堂中给出的解法.

解：由已知，[fx]在区间[π6， π2]上具有单调性，

则[T2 ≥ π2-π6=π3]，即[T ≥ 2π3]．

因为[fπ2=f2π3]，

所以[fx]的图象关于[x=7π12]对称．

因为[fx]在区间[π6， π2]上具有单调性，且有

[fπ2=-fπ6]，

所以[fx]的圖象的对称中心为[π3，0]．

因为[7π12-π3=π4

所以[T4=7π12-π3=π4]，

即[T=π]．

对于无图问题，要能够应用对称等性质，画出函数图象，从而进行求解. 此题难度较大，属于对称性和周期性的综合应用，但是学生可能会忽略“若[fx]在区间[π6， π2]上具有单调性”这一条件，所以教师可以在学生求解之后提问：“老师有三个困惑，需要你们的帮助. 第一，[fπ2=f2π3]，为什么不是周期性造成的呢？第二，为什么选择用[fπ2=-fπ6]来确定对称中心，而不是用[f2π3=-fπ6]确定对称中心？第三，为什么[x=7π12]与[π3，0]是相邻的对称轴和对称中心呢？”这三个问题的提出，实际上是希望学生能够进一步深入理解三角函数的周期性和对称性，以及进一步培养思维的连贯性和严谨性.

通过例2，既巩固了例1所分析的周期性和对称轴是造成函数值相等的原因，也提出了新的问题：对称中心是造成函数值相反的原因. 同时，学生能够经过自己的思考，发现这一事实，说明学生发现问题和分析问题的能力有所提高.

三角函数[fx=Asinωx+φ]的图象和性质是三角函数的核心知识，要能从图形与代数两个角度来认识三角函数的性质，并能依据三角函数的知识逻辑分析问题和解决问题. 例2充分考查了正弦型函数的性质，如何理解其性质的逻辑关系，以及其内在的丰富的知识逻辑，正是这道题的魅力所在. 这就是我们需要的关注本质的教学，以促进学生思维的发展.

四、总结提升，让高三复习课具有整体性

在本节课的最后，教师提出如下四个问题.

问题1：通过今天的学习，你认为三角函数部分所考查的知识内容是什么？

问题2：知识内容之间有怎样的区别和联系？

问题3：解决这类问题的关键是什么？

问题4：在三角函数的性质的应用过程中，有自己的想法吗？课后做一个思维导图来呈现你的思维过程.

设置这四个问题，目的是要让学生思考“是什么？为什么？怎么用？”这三个问题，从而使学生对本节课的学习进行反思与重现，唤醒学生的思维，从思考与内化中获得力量，提升解决问题的能力.

本节课的探究，从有图到无图，层层递进，难度逐渐加大，但是都紧紧围绕三角函数的周期性和对称性的应用进行求解. 让学生能够理解在三角函数中，造成两个三角函数值相等的原因有两个，一是周期，二是对称轴；导致两个函数值互为相反数的原因是对称中心. 同时，培养学生严谨的逻辑推理能力. 最后让学生以思维导图的形式对本节课的内容进行小结和梳理，帮助学生对知识的整体架构有更深的理解和掌握，加深学生对知识内涵和本质的理解，杜绝碎片化的学习和复习. 在这样的教学中提升学生的思维品质，发展学生的数学核心素养.

总之，作为高中数学教师，应该充分认识到高三复习课堂对培养学生创造性思维的重要性. 在复习课中，关注数学本质的教学与引导，适应如今时代对人才培养的需求. 当然，关于数学本质的教学与创造性思维的培养绝不仅仅是通过一节或者几节数学课的教學就能完成的，这将是一项任重而道远的任务，教师要做的第一步便是从思想上重视起来，再有计划、有方案地行动起来，让学生在数学的学习中把握知识的内涵与本质，促进思维的提升与发展.

参考文献：

［1］张鹤. 数学教学的逻辑［M］. 北京：首都师范大学出版社，2016.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.