高中数学自制教具的创新实践及策略分析

孙家和 朱金凤

摘  要：以人教A版《普通高中教科书·数学》的教学实践为基础，类比圆规和圆第二规教具的发明过程，从圆锥曲线轨迹的实验原理抽象出数学模型，启发学生制作抛物线规、圆锥曲线规. 总结自制教具的原理和一般方法，为学生设计其他数学教具提供参考，从而培养学生的创新意识和实践能力，发展学生的数学抽象和数学建模等素养.

关键词：教具；圆规；抛物线规；圆锥曲线规

中图分类号：G633.65     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）01-0023-04

引用格式：孙家和，朱金凤. 高中数学自制教具的创新实践及策略分析［J］. 中国数学教育（高中版），

2024（1）：23-26.

基金项目：2022年度安徽省社会科学创新发展研究课题——中华优秀传统文化融入高中数学教学的实践研究（2022CX191）；

安徽省教育科学研究项目——基于新课标的数学建模能力评价的实践研究（JK18008）.

作者简介：孙家和（1978— ），男，高级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

朱金凤（1991— ），女，一级教师，主要从事高中数学教育教学研究.

圆规是一种数学作图工具，最早出现在我国的夏朝，《史记·夏本纪》中就记载了大禹治水“左准绳，右规矩”. 在公元前15世纪的甲骨文中，已有“矩”“规”二字，当时称为“规”，即圆规. 人类借助圆的定义发明了圆规. 圆锥曲线还包括椭圆、抛物线和双曲线，有圆规，能否有抛物线规、椭圆规、双曲线规，甚至是统一的圆锥曲线规呢？

一、追根溯源——圆第二规

圆的定义有很多种，其中最常见的是“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹”，不妨称为“第一定义”.“第一定义”可以理解为模型“平面内，一条线段绕着它的一个端点旋转一周，它的另一个端点所形成的轨迹叫做圆”. 由圆的定义建立模型，发明了圆规，使用圆规时可以先确定圆规针尖的位置，即先确定圆心，再调节圆规两脚之间的距离，即确定半径，另一只脚绕着针尖旋转一周，即可作出圆. 可以看出，圆规作图的原理中有两个核心要素，即圆心与半径.

根据对圆的性质的探究，给出了圆的一种衍生定义——“平面内到两定点张角为90°的点的轨迹叫做圆”. 类比圆规的发明过程，是否可以根据圆的衍生定义建立模型，发明其他画圆的教具呢？

通过分析，建立如图1所示的模型. 圆的衍生定义中的两个定点可以看作图1中的圆的直径的端点A和端点B，当点C与点A，B不重合时，只要保证∠ACB的大小始终为直角，点C所形成的轨迹即为圆. 要将此模型转化为实物，选定两个定点并不难实现，需要重点解决的问题是始终保证∠ACB为直角. 如圖2，笔者查阅文献，结合生活经验，在直杆AD与BE之间固定直角架C，直角架C可以保证在滑动直杆AD与BE时，∠ACB始终为直角，且直角架C上安装有画笔，可以实现画圆功能. 因此，可以借助圆的衍生定义建立模型设计画圆装置，笔者将其称为圆第二规.

圆的第一定义来源于人们对生活模型的归纳总结，即数学来源于生活. 人们又以圆的第一定义原理为模型，创造发明了圆规教具，即数学是对现实生活的抽象. 进一步对圆的性质进行研究，衍生出圆的其他定义，再借助圆的衍生定义建立模型，设计圆第二规，实现再发明、再创造，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养了数学建模和数学抽象素养. 具体探究过程如图3所示.

二、类比创造——抛物线规

圆是圆锥曲线中比较简单的一类曲线，类比圆规与圆第二规教具的建模与创造过程，是否可以尝试引导学生研究其他曲线规呢？

如图4，人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）中利用信息技术探究抛物线的轨迹，得到抛物线的定义是：平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹. 教师借助GeoGebra软件进行动画演示（如图5），让学生直观感悟轨迹的生成过程. 同样可以发现，抛物线轨迹的生成离不开两个非常重要的因素：一个定点与一条定直线. 类比画圆，引导学生根据抛物线的定义设计一个可以画抛物线的作图装置. 装置设计的关键是确定一个定点与一条定直线，技术难点是在点M的运动过程中，始终保证[MF=MH]（如图4）.

师生共同讨论后，给出两种设计方案，如图6和图7所示. 两种方案的原理相同，区别是使用的材料不同. 设计的方案是否具有可行性呢？通过CAD软件优化得到最终平面设计图方案，如图8（a）所示；再通过机械软件SolidWorks2012进行实验模拟，如图8（b）所示. 发现该装置可行性较高，操作性较好. 这是一种多功能抛物线作图装置，笔者将其称为“抛物线规”.

对于图7，画椭圆的流程是：把②从①拆下；在绘图线上绘制平面直角坐标系；调整③中木条的长度；将②⑤固定在椭圆焦点的位置；将笔插入④中，开始绘图. 对于图8，通过按钮10和按钮11调节小型电动伸缩杆7和电动伸缩杆8的长度，确定其长度，然后将笔放入空心铰接链9，画出相应的曲线.

上述教具的开发，先从轨迹生成的原理出发建立模型，确定教具结构方案，根据结构特征选定材料，再借助机械软件SolidWorks2012进行信息技术实验模拟，最后完成教具的设计与发明，具体探究过程如图9所示.

三、归纳拓展——圆锥曲线规

借助一个定点与一条定线段或定直线可以画圆和抛物线，能否作出其他圆锥曲线呢？与抛物线的定义类似，教材中也呈现了椭圆和双曲线的其他定义.

教材第113页例6：动点[Mx，y]与定点[F4，0]的距离和M到定直线[l：x=254]的距离的比是常数[45]，求动点M的轨迹.

如图10，易求得动点M的轨迹是椭圆[x225+y29=1].

教材第125页例5：动点[Mx，y]与定点[F4，0]的距离和它到定直线[l：x=94]的距离的比是常数[43]，求动点M的轨迹.

如图11，易求得动点M的轨迹是双曲线[x29-y27=1].

以上两道例题，题干中均出现关键元素定点和定直线，本质上给出了椭圆与双曲线的另外一种定义，不妨称为“第二定义”. 利用GeoGebra软件从形的角度进行直观操作（如图12和图13），可以验证利用一个定点和一条定直线确实可以作出椭圆和双曲线的图象.

同样是借助一个定点和一条定直线，为何作出的曲线有的是抛物线，有的是椭圆，有的是双曲线呢？再将三个实验进行深入的对比分析.

通过GeoGebra软件动画演示与观察，不难发现图中[MF]和[MH]比值存在差异，借助GeoGebra软件度量技术，验证和总结出如下规律：当[MFMH=1]时，点M形成的轨迹是抛物线；当[01]时，点M形成的轨迹是双曲线.

在上述实验结果的基础上进一步思考：类比抛物线和圆的作图工具，能否发明一种可以画椭圆和双曲线的作图工具呢？不难想到，可以利用[MFMH]的比值来控制，发明一种集抛物线、椭圆、双曲线功能于一体的作图教具.

借助GeoGebra软件与信息技术实验模拟，经过反复模拟与动手操作验证，可以对抛物线作图装置（图8）进行改装，从而得到一种多功能圆锥曲线作图装置，如图14所示.

<＼＼10.1.5.160＼g＼中数高中2024年飞翔＼中数高中2024年第1期＼图片13.jpg>[图14  SolidWorks2012三维立体修改图]

改装方法为：将杆a和杆b改为电动伸缩杆，通过改变电动伸缩杆a，b的长度控制[ab]的值，从而可以作出抛物线、椭圆、双曲线和圆的图象.

笔者将这种多功能圆锥曲线作图装置命名为“圆锥曲线规”.

类比圆规的发明，从抛物线的定义出发，建立模型，发明抛物线规，再通过教材中双曲线和椭圆的“第二定义”，总结其共性，进行再设计、再创造，完善模型，发明了圆锥曲线规，具体流程如图15所示.

在圆锥曲线内容的教学中，笔者利用圆锥曲线的不同定义，引导学生抓住其本质，抽象出不同的数学模型，给出不同的教具设计方案，进行教具创新实验，培养了学生的创新思维和实践能力，促进了学生对知识的深入理解，提高了学生的数学建模和数学抽象等素养. 同时，模型的抽象与实物化，让学生掌握了教具设计和制作的一般方法，为以后设计其他数学教具提供了参考，培养了学生的科学精神.

参考文献：

［1］李兆新. 让“自制教具”重回高中数学课堂［J］. 数学教学通讯，2020（36）：81，86.

［2］赵爽. 一种圆锥曲线展示装置：2019211690-

34.8［P］. 2020-05-19.

［3］孫新波. 发挥自制教具在高中数学新课程实施中的作用［J］. 中国教育技术装备，2014（5）：126-127.

［4］朱婷婷，朱润，孙家和，等. 一种高中数学多功能抛物线作图装置：202120398291.X［P］. 2022-02-18.

［5］王少楠. 一种圆锥曲线规及其使用方法：202110617307.6［P］. 2021-07-30.