圆锥曲线综合问题中几何性质的应用分析

基金项目：北京市海淀区“十四五”规划重点课题——中学生数学运算能力评价方式与提升策略研究（HDGH20210212）.

作者简介：崔鹏（1984— ），男，高级教师，主要从事高中数学教学和学科德育研究．

摘  要：通过实例分析圆锥曲线中几何图形性质的应用，引导学生通过转化深入挖掘几何位置关系，进而获得坐标运算结果，总结归纳常见几何图形的几何性质及其坐标化的方法，提供了系统科学的复习方式和解题策略．

关键词：圆锥曲线；几何性质；解题策略

中图分类号：G633.65      文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）01-0061-04

引用格式：崔鹏. 圆锥曲线综合问题中几何性质的应用分析：以一道椭圆综合问题为例［J］. 中国数

学教育（高中版），2024（1）：61-64.

一、问题背景

在近些年的高考圆锥曲线试题中，对几何图形的性质考查较多，突出考查几何直观素养，因此需要整体把握圆锥曲线的复习. 在圆锥曲线的复习中，整体把握圆锥曲线的横向类比和纵向发展非常重要. 所谓横向类比，指的是从直线和圆延伸到椭圆、双曲线和抛物线的过程. 直线和圆的性质不仅可以独立设置题目单独考查，还可以与圆锥曲线综合考查. 所谓纵向发展，指的是对圆锥曲線性质的深入研究，即从简单的标准方程、几何性质的研究到较为复杂的弦长、面积、定值定点等问题的研究.

本文选取一道经典椭圆综合问题作为案例. 该题涉及的几何图形及其研究思路具有较强的代表性，通过变式研究和解题逻辑分析，为学生对圆锥曲线内容的复习提供了思路.

二、问题讨论

1. 问题描述

例  已知A，B，C是椭圆W：[x24+y2=1]上的三个点，O是坐标原点.

（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

解：（1）椭圆W：[x24+y2=1]的右顶点B的坐标为（2，0）.

因为四边形OABC为菱形，

所以AC与OB相互垂直平分.

设[A1，m]，代入椭圆方程，得[14]+ m2 = 1，

即m =[±32].

所以菱形OABC的面积是[12][OB]·[AC]=[12]× 2 × 2[m]=[3].

（2）假设四边形OABC为菱形. 点B不是椭圆W的顶点，且直线AC不过原点，设直线AC的方程为[y=kx+m][k≠0，m≠0].

联立方程，得[x24+y2=1，y=kx+m.]

整理，得[1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0].

设[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

则[x1+x2=-8km1+4k2，] [y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+4k2．]

所以线段AC的中点为[M-4km1+4k2， m1+4k2].

因为M为直线AC和直线OB的交点，

所以直线OB的斜率为[-14k].

所以直线AC与直线OB不垂直.

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.

解题逻辑分析：正确提取菱形的性质是求解该题的关键. 我们可以抓住“菱形对角线互相垂直且平分”这一条件进行分析，解题时选择对角线AC所在的直线与椭圆方程联立.

【评析】该题对于图形几何性质的考查具有很强的代表性. 在考后的追踪过程中发现，很多学生解决问题时直接利用对边相等，即令[OA=BC]，[AB=][OC]，进而得到[x1=x2-xB]和[x2=xB-x1]，最终因关系式“不对称”而无法运用根与系数的关系. 这样的思考过程真实地反映了学生对题目信息的提取和转化能力还比较欠缺. 也可以说，学生并没有掌握菱形的基本特征. 实际上，[OA=BC]，[AB=OC]仅仅表明平行四边形的对边相等，而刻画菱形至少还需要一对邻边相等. 学生在考试中看到与坐标相关的等式就直接代入坐标进行计算，而忽略了对图形的几何特征的分析，导致距离有效的坐标运算相去甚远. 在教学中，教师在把握教材的同时，更要注意培养学生对问题的理解和转化能力. 例如，此题中的菱形，其重要性质是对角线互相垂直，这虽为必要条件，却是获得“对称”形式坐标运算的最直接方式. 类似地，如果题目中涉及等腰三角形，使用三线合一或许优于直接计算等腰三角形两腰的长度；如果题目中涉及矩形，使用邻边垂直或许优于使用对角线长相等；等等. 总之，在解决问题前对几何图形的性质分析很关键，如何获得最优的坐标运算形式，需要教师在复习中引领学生重点落实.

2. 变式讨论

针对此题，提供如下三个变式，以进一步探讨.

变式1：已知A，B，C是椭圆W：[x24+y2=1]上的三个点，O是坐标原点. 当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为平行四边形，并说明理由.

解：假设四边形OABC为平行四边形. 点B不是椭圆W的顶点，且直线AC不经过原点，设直线AC的方程为[y=kx+m][k≠ 0，m≠ 0].

联立方程，得[x24+y2=1，y=kx+m.]

整理，得[1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0].

因为[Δ=8km2-41+4k24m2-4>0]，

所以[4k2-m2+1>0].

设[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

则[x1+x2=-8km1+4k2，y1+y2=kx1+x2+2m=2m1+4k2].

所以点B的坐标为[-8km1+4k2， 2m1+4k2.]

代入椭圆的方程，整理，得[4k2+1=4m2]，满足[4k2-m2+1>0].

所以四边形OABC可以是平行四边形.

解题逻辑分析：平行四边形的对角线互相平分，对边平行且相等，转化为坐标运算时，可以考虑用对角线互相平分的关系，方便运算.

變式2：已知A，B，C是椭圆W：[x24+y2=1]上的三个点，O是坐标原点. 当点B不是椭圆W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为矩形，并说明理由.

解：假设四边形OABC为矩形，则其必定为平行四边形.

因为点B不是椭圆W的顶点，且直线AC不经过原点，

所以设直线AC的方程为[y=kx+m][k≠0，m≠0].

联立方程，得[x24+y2=1，y=kx+m.]

整理，得[1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0].

因为[Δ=8km2-41+4k24m2-4>0]，

所以[4k2-m2+1>0].

设[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

则[x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2].

由于四边形OABC为平行四边形，所以由变式1可得[4k2+1=4m2].

由题意，知OA⊥OC.

所以[x1x2+y1y2=0].

代入、整理，得[x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+]

[kmx1+x2+m2=0]，

即[4k2+4=5m2].

解得[m2=3，k2=114.]

所以四边形OABC可以是矩形.

解题逻辑分析：对于矩形，学生熟知的性质是对角线相等且互相平分. 就该题来说，两条对角线的长度计算量都较大，因此推荐选择从位置关系入手考虑（如邻边相互垂直），从而简化运算.

变式3：已知椭圆[W： x42+y216=1]. 直线[l]过[1，0]，与椭圆[W]交于[A]，[B]两点，[M]为椭圆[W]的左顶点. 是否存在直线[l]使得[∠AMB=60°]？如果存在，求出直线[l]的方程；如果不存在，说明理由.

解：当直线[l]的斜率存在时，设直线[l]的方程为[y=kx-1]，设[Ax1，y1]，[Bx2，y2].

联立方程，得[y=kx-1，x24+y216=1.]

消去[y]，得[4+k2x2-2k2x+k2-16=0].

所以[x1+x2=2k24+k2]，[x1x2=k2-164+k2].

所以[MA ? MB=x1+2x2+2+y1y2]

[=x1+2x2+2+k2x1-1x2-1]

[=k2+1x1x2+2-k2x1+x2+4+k2]

[=-3k24+k2<0].

综上所述，[MA ? MB<0]恒成立，[∠AMB]为钝角.

所以不存在直线[l]使得[∠AMB=60°].

解题逻辑分析：对60°角的解读是求解该题的关键，应该先通过数量积运算判断[MA ? MB]的符号，进而转化为根与系数的关系. 如果结果小于等于0，可以直接否定结论；否则，再考虑计算相关的边长.

【评析】三个变式是对例题的延伸，也是对几何图形特征的进一步对比. 涉及几何图形的性质问题，我们首要选择能够尽快实现坐标化的方法，并且需要使运算幂次尽量低、运算结构尽量对称，从而用根与系数的关系等已知条件进行代换. 故对于变式1和变式2中出现的平行四边形和矩形，我们都有意识地避开了弦长的计算，转化为中点关系和邻边的关系进行求解. 变式3中的60°角的解读其实是一个难点. 很多学生看到60°角直接考虑用余弦定理或者向量的数量积，代入线段长度的运算中. 实际上，60°角是一个锐角，先判断数量积的符号即可以确定[∠AMB]与90°的大小关系，也便于将所求问题转化为坐标运算. 如果将60°角改为90°角，其难度就降低了.

三、解题策略分析

圆锥曲线的综合题，一般设置两道小题. 第（1）小题主要求圆锥曲线的方程，引导学生从曲线定义及几何性质的角度准确求解，并注意检验结果的正确性，一般难度不大. 第（2）小题题型变化灵活，以椭圆为背景，辅以圆、特殊多边形和直线等进行综合考查，研究对象主要有面积、弦长、方程、参数取值、角等，研究的问题主要有存在性问题、最值问题、定值定点、几何性质（如三点共线、位置关系）等，与函数和不等式等知识交会，对学生对数学思想方法的掌握情况及推理能力和运算能力要求较高，是学生备考中的难点.

复习圆锥曲线内容时应该关注以下几个维度.

（1）直观理解.

我们提倡学生善于画图，但不能局限于图. 图可以清晰、直观地反映题目中所给的条件，但是也可能限制了学生的空间想象而造成对图形和变量关系的片面理解. 只有理解了题目中的图形和变量关系，才能做出合理想象，这样对图形的认识才会更加直观、全面.

（2）关注转化.

在解题时，先看看能否将问题和条件（尤其是几何条件）适当处理后再坐标化，这样往往可以简化运算. 例如，题目中涉及角相等或三角形面积问题，可以转化为线段的比例关系；题目中涉及三点共线问题，可以转化向量平行；等等.

常见的几何量的坐标化方法有如下几种.

① 线段的长：弦长公式（两点间的距离公式）.

② 三角形的面积：[S=12aha]，[S=12absinC]，转化为四边形的面积.

③ 夹角：向量数量积，余弦定理，正弦定理及面积公式.

④ 面积之比：面积比转化为线段比，进而转化为坐标差之比.

⑤ 常見的几何图形：等腰三角形（三线合一），平行四边形（对角线互相平分），菱形（对角线垂直），矩形（临边垂直），正方形，圆，等等.

（3）深挖条件.

注意深入挖掘题目中隐含的几何特征进行坐标代换，选择恰当的解题途径，尽量避开烦琐的推导. 求解解析几何问题，在注重通性通法的同时要贴合题目的条件，从题目中条件和结论的结构特点出发寻找解决方法. 例如，“椭圆上一点P与焦点F1，F2的连线互相垂直”可以解读为[PF12+PF22=F1F22]或者[PF1 ?][PF2=0]. 显然，[PF1 ? PF2=0]的运算要简洁一些.

（4）加强计算.

圆锥曲线综合问题对运算能力有一定的要求. 学生不仅要熟悉基本的运算方法和技巧，还要在分析问题时注意解法的简化和规范. 复习时，首先，学生要掌握解决典型问题的通性通法（如直线和曲线方程联立后的二次方程的处理方法、弦长公式的基本形式等）；其次，学生要打破传统解题方法的思维定式，因为并非所有问题都需要联立方程或依赖根与系数的关系求解，坐标法解题的要领是将题目中的条件转化为方便处理的代数形式.

例如，本文例题的第（2）小题在判断四边形OABC是否为菱形时，可以采用以下方法.

设[Ax1，y1]，[Cx2，y2]，

则[OA=x12+y12=x12+1-x124=3x124+1].

同理，可得[OC=3x224+1].

若四边形OABC为菱形，

则必有[OA=OC]，即有[x1=x2].

这与点B不是椭圆W的顶点矛盾，问题得证.

本文通过一道例题及其变式，提供了针对圆锥曲线综合问题中几何图形性质的分析方法. 这些方法主要是思维层面的建议，旨在培养和发展学生的数学核心素养. 有些圆锥曲线综合问题运算量较大，可以有效考查学生的数学运算素养，锻炼学生迎难而上的意志品质. 在教学中，教师要引导学生深入思考运算思路和运算方法，帮助学生选择最优解法，从而简化运算过程，提升学生的运算能力.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］崔鹏. 一道新型最值问题的解法分析与变式应用［J］. 高中数学教与学（上半月），2022（5）：30-31，49.

［3］章建跃. 树立课程意识  落实核心素养［J］.  数学通报，2016，55（5）：1-4，14.