基于问题链的跨学科项目式学习设计

2024-04-07郑蓉蓉蒋逸卿唐恒钧

中国数学教育（高中版） 2024年1期

郑蓉蓉蒋逸卿唐恒钧

摘要：跨学科项目式学习引导学生在解决真实且具有挑战性的问题中学习不同学科领域的知识，产生整合性的成果与理解. 以“飞扬的羽毛球”为例呈现了跨学科项目从素材灵感发展到主题、目标的确定再到流程设计直至具体实施过程的完整思考线路，并以问题链为实施过程的抓手，推动学生持续探索，促进整合性理解的形成. 同时，阐述了跨学科项目式学习需要注意项目内容主线安排、各科教师协调沟通和教学延续性等方面的问题.

关键词：跨学科；项目式学习；案例设计；问题链

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）01-0006-08

引用格式：郑蓉蓉，蒋逸卿，唐恒钧. 基于问题链的跨学科项目式学习设计：以“飞扬的羽毛球”

为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（1）：6-13.

基金项目：全国教育科学规划课题教育部重点课题——指向深度理解的“问题链教学”研究（DHA200318）.

作者简介：郑蓉蓉（1999— ），女，硕士研究生，主要从事数学课程与教学研究；

蒋逸卿（2000— ），男，硕士研究生，主要从事数学课程与教学研究；

唐恒钧（1979— ），男，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学研究.

一、问题提出

现代社会需要复合型和创新型的高素质人才，要求学生具备自主思考及分析和解决现实世界中各种真实问题的能力. 但是我国分科课程的教学模式固化了学科藩篱，在一定程度上阻碍了复合型、创新型人才的培养.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指明要“强调数学与生活以及其他学科之间的联系”，《义务教育课程方案（2022年版）》明确提出不少于10%的跨学科主题要求，两者均体现出教育发展进程中学科跨界与融合的必然趋势. 这种趋势在数学学科中体现得尤为深刻. 数学学科具有天然的学科交叉性质，不仅内部各分支呈现交叉互融的态势，向外也能全方位地渗透到各个学科与各个领域之中. 立足如此学科本质的数学核心素養更具统整性和综合性，呼唤更开放的数学课程观，以凸显跨学科的必要性与重要意义.

数学跨学科教学与项目式学习均是对传统教学方式的变革，并共同指向对学生数学核心素养的培育. 但是两者也存在不同的侧重点，跨学科教学更侧重学科界限、学科逻辑与学科视角的跨越，而项目式学习则更侧重引导学生对知识的主动建构从而解决问题. 数学跨学科项目式学习基于课程统整视域重新审视项目式学习，基于学科又超越学科，是实现课程综合化、真实化和实践化的有效尝试.

目前，作为新兴的教学模式，跨学科项目式学习仍处于探索时期，实践过程中存在新旧观念对立、新旧思维转换、新旧实践冲突等多层次矛盾，导致课程设计与实施、学科整合与交流方面出现问题. 基于此，本文以羽毛球为素材，开发数学跨学科项目式学习的设计流程与设计实例，为跨学科项目式学习的设计过程提供借鉴.

二、跨学科项目设计路径

现有文献普遍认为项目主题与项目目标是跨学科项目式学习设计的起始点，并基于学科内容关联、学生的兴趣爱好等角度确定项目主题，结合不同学科课程标准的要求确定项目目标. 这样的起点设计固然有一定道理，但给人割裂之感，究其缘由是没有呈现出一个项目从素材灵感发展到确定主题和目标的关联线索. 一个跨学科项目往往起源于相关情境下的素材灵感，经过一定的整合形成初步的项目主题. 那么，如何判断该主题是否具备跨学科项目应用的价值呢？多角度的关联分析是判断、检验和确定项目主题所必需的，包括项目主题与本学科（数学）学习的关联，以及与其他学科课程的关联. 其中，学科核心概念是关联分析的落脚点，只有把握了学科核心概念，才能贯通学科知识的整合与联结点，构建跨学科知识网络. 主题界定了项目式学习的领域，而目标则确定了项目式学习的方向. 因此，主题是目标达成的载体，跨学科项目式学习设计应该先通过多角度关联检验后确定项目主题，再以主题为基础确定项目目标，进而在分析目标的过程中调整和完善项目主题. 具体路径如图1所示.

1. 跨学科项目主题确定

本案例起始于对羽毛球运动素材数理分析的想法，经过对可行性的判断及羽毛球运动相关素材的筛选，初步形成“飞扬的羽毛球”的主题. 为判断其应用价值，以关键概念为抓手，从数学学习关联和学科课程关联两个方面进行关联分析.

立足数学学习关联，以“飞扬的羽毛球”为主题的项目式学习包含“函数”这一数学学科核心概念，并基于“函数与数学模型”“导数的几何意义”“直线与方程”三个指向思维的核心知识，以及其中蕴含的函数与方程、数学建模等思想方法，发展学生的数学抽象、数学建模等素养. 由此可见，该主题具备与数学学科紧密联系的条件.

立足学科课程关联，以“飞扬的羽毛球”为主题的项目式学习与高中数学中的“函数与数学模型”“导数的概念及其意义”、初中数学中的“一次函数及其相关性质”“二次函数及其相关性质”、高中物理中的“机械运动与物理模型（尤其是‘质点一节）”、高中体育中的“球类运动”内容的关联度都很高. 由此可见，该主题具备与数学、物理、体育学科紧密关联的条件.

综合上述分析，确定该主题以“模型”为跨学科知识的整合与联结点. 首先，与高中数学函数与数学模型、导数的几何意义、直线与方程等核心知识联系，统整其他可以探究的相关知识，指向数学学科核心概念函数和坐标系；其次，与高中物理质点模型内容关联，指向物理学科核心概念机械运动和坐标系；最后，整合高中体育球类运动核心知识羽毛球规则与裁判方法、羽毛球局部战术原理，指向体育学科核心概念运动技能. 由此可见，该主题具备一定的跨学科项目应用的价值. 该主题下具体学习内容如表1所示.

注：由于体育与健康课程标准中球类运动系列只选取足球为案例，因此表中呈现足球的相关要求，羽毛球运动与此类似.

2. 跨学科项目目标确定

确定主题后，按照设计路径以主题内容为基础进行目标分析. 与一般学科项目式学习中教师把知识和技能作为主要目标不同，跨学科项目式学习项目目标的确定是以处在跨学科知识脉络上的核心知识和关键能力为目标. 项目目标详细内容如表2所示.

三、跨学科项目流程设计

1. 设计思路

项目式学习的设计强调“以终为始”，即根据最终呈现的项目成果逆向反推项目活动. 因此，只需要找准项目的初始态和最终态，再通过一系列活动消除两种状态之间的差异，最终的项目成果便得以呈现. 以“飞扬的羽毛球”项目为例，项目中具体活动的拆解思路如图2所示.

2. 项目流程

依据图2所示的项目拆解思路，可知“飞扬的羽毛球”项目中有4条逻辑线贯穿其中：项目实施流程线，活动线，知识（能力）线，素养线. 4条逻辑线体现了项目实施过程中对应的学生活动、蕴含的知识与能力及培养的综合素养，具体流程详见图3.

四、跨学科项目实施过程

1. 引入

情境创设：生命在于运动，运动使生命更具活力！大家平时喜欢做什么运动呢？羽毛球运动因其不受场地限制、容易上手颇受大众喜爱.

教师活动：播放中国国家羽毛球队的比赛片段.

引出主题：运动员的击球技术之所以精妙，是因为在日复一日的训练中形成了肌肉记忆，对击球位置、击球角度的把控已经达到了炉火纯青的地步. 那么，如何做到对击球位置、击球角度的精准把控呢？今天就让我们一起来研究.

【设计意图】羽毛球主题的提出提高了学生体育训练的兴趣及运动健康意识，是对“五育并举”总体要求的落实. 同时，播放中国国家羽毛球队的比赛片段能够增强学生的民族自信心，激发学生的民族自豪感，进而引出项目主题，为后续一系列问题的提出埋下伏笔.

2. 明确研究对象

任务1：选取击球技术.

问题1：羽毛球比赛中有哪些常见的击球动作？

教师活动：播放体育教师的教学视频，带领学生回顾羽毛球的击球动作，并选择最常见的后场扣杀球与后场网前吊球做出相应的动作技巧展示.

任务2：确定击球线路.

教师活动：放映课前物理教师带领学生利用高速摄影机拍摄的击球线路图.

问题2：后场扣杀球与后场网前吊球的击球线路如何？

【设计意图】通过引导学生回忆常见击球动作，帮助学生细化研究对象. 在利用高速摄影机拍摄的击球线路图片抽象击球线路的过程中，将运动的羽毛球看作一个质点，得到其运动线路如图4和图5所示. 运用了物理中“质点”的有关内容，培养了学生的科学思维与运动认知能力.

3. 确定研究方案

任务3：选择合适的数学模型.

问题3：如何定量刻画羽毛球的运行线路（运动轨迹）？

教师活动：激活学生的数学抽象和数学建模经验，如回顾从具体实例中抽象共同本质特征得到向量概念的过程，回顾进行数学建模活动时积累的利用函数构建模型并解决问题的过程与方法，思考定量刻画羽毛球运动轨迹的方法.

子问题1：如何选择合适的数学模型刻画羽毛球的运动变化规律？

学生活动：根据之前获得的羽毛球运动过程中不同时刻的照片，各小组依据收集到的数据，建立适当坐标系绘制散点图，并汇报所选择的函数模型.

对于后场扣杀球：

小组1：根据绘制出的散点图，发现后场扣杀球的运行线路近似为一条直线，总体呈现下降趋势，选择斜率小于0的一次函数，设函数模型为[fx=kx+b k<0].

小组2：结合图象及物理中抛体运动模型的知识，认为后场扣杀球的运行线路近似斜向下的斜抛运动，故选择开口向下的二次函数，设函数模型为[φx=ax2+][bx+c a<0].

对于后场网前吊球：

小组1：根据绘制出的散点图发现，后场网前吊球的运行线路近似抛物线，因此选择开口向下的二次函数，设函数模型为[gx=ax2+bx+c a<0].

小组2：结合图象及物理中抛体运动模型的知識，认为后场网前吊球的运行线路近似平抛运动，故选择开口向下的二次函数，设函数模型为[φx=ax2+bx+]

[c a<0].

子问题2：结合数学和物理学科知识分析，对于后场扣杀球的运行线路，为何选择一次函数模型与二次函数模型皆合理，并且拟合的效果十分接近？

【设计意图】首先，激发学生利用数学模型解决实际问题的意识，发展学生的数学建模素养；其次，在选择函数模型的过程中，学生的思维得到了发散，能从数学或物理的角度思考并解释选择的理由. 子问题2引导学生探究两种模型拟合效果相近的原因，学生需要结合实际情况考虑后场扣杀球的运动特点，并回归对函数模型选择缘由的再分析中. 此时，学生在教师的引导下不再囿于用一门学科知识探究问题，而是创造性地整合数学和物理等学科的知识和思想方法进行综合分析，形成了对极限、以直代曲思想的整合性理解.

任务4：线路量化分析.

问题4：如何借助所选择的函数模型定量刻画所有可行的击球线路？

子问题1：高质量的后场扣杀球与后场网前吊球需要满足哪些条件？

教师活动：先指导学生以小组为单位自由讨论，列出高质量后场扣杀球和后场网前吊球需要满足的条件并进行分组汇报，再带领学生回顾羽毛球场地的参数、界内界外判定的依据、后场扣杀球和后场网前吊球的动作技术要领，引导学生完善条件，结果如表3所示.

表3 后场扣杀球和后场网前吊球需要满足的条件

[击球技术需要满足的条件后场扣杀球经过球网时，球须高出球网上沿；球的落点需在界内，即不能越过底线后场网前吊球经过球网时，球尽量紧贴球网上沿飞过；球的落点需在前发球线和球网之间 ]

子问题2：如何将上述条件转化为数学语言？

教师活动：引导学生借助所選择的函数模型表示这些相等关系和不等关系.

学生活动：通过分析后场扣杀球和后场网前吊球需要满足的条件，结合函数模型，列出相应的等式（不等式）建立方程组和不等式组.

以小组1所得模型为例，列出关系式. 沿扣球方向剖面如图6所示，设击球点为[A]，球网下端点和上端点分别记为[C]和[D]，对方场地底线记为点[B]，人与球网的距离为[l l∈0，6.7]，击球点高度为[h].

根据球场参数，可知点[A]的坐标为[0，h]，点[D]的坐标为[l，1.55]，点[B]的坐标为[l+6.7，0]. 将击球条件转化为数学语言，如表4所示.

沿吊球方向剖面如图7所示，前发球线记为点[E]，落点记为[F]，设人与球网的距离为[l1][ l1∈5.94，6.7]，球网与落点之间距离为[l2 l2∈0，2]. 根据球场参数可知点[E][l1+2，0]，羽毛球落点[F][l1+l2，0]，所需满足条件的数学语言如表5所示.

子问题3：如何求解击球角度？

师生活动：教师布置任务，学生自主查找文献资料明确羽毛球击球角度的定义. 课上学生展开小组合作交流，探寻求解击球角度的数学方法，最后由组长总结汇报.

对于后场扣杀球：击球角度和球运行轨迹所在直线与[x]轴的夹角相等，根据斜率和倾斜角的关系可知，击球角度与该一次函数图象的倾斜角互补. 因此，只需要求出斜率的范围，再借助反三角函数便可以得到击球角度的恰当范围. 根据已知条件及前面所得结果列出方程组[kl+b>1.55，kl+6.7+b≤ 0，f0=h.] 由[k]的存在性，解得斜率[k]的范围为[1.55-hl，-h6.7+l]，[l]与[h]之间存在如下关系：[l ≤ 6.7h-1.551.55]，[h ≥ 1.556.7+l6.7]. 因此，理论上高质量的后场扣杀球击球角度[θ1]的范围为[θ1∈arctan1.55-hl，arctan-h6.7+l，l∈0，6.7.]

对于后场网前吊球：仍然通过计算斜率得出击球角度，只不过此时需要求出击球点[A]处的导数从而得到点[A]处切线的斜率[kA]. 根据已知条件列出方程组[al21+bl1+c=1.55，al1+l22+bl1+l2+c=0，g0=h，0 ≤ l2 ≤ 2.] 求解方程组可以得到[a=hl2-1.55l1+l2l1l2l1+l2，b=1.55l1+l22-hl22l1+l2l1l2l1+l2.] 斜率[kA=gxA=b]，因此高质量的后场网前吊球击球角度为[θ2=arctankA=arctan1.55l1+l22-hl22l1+l2l1l2l1+l2.]

【设计意图】让学生充分运用跨学科知识和能力解决击球线路量化分析中不断生成的新问题，使得经历数学建模全过程的目标得以实现，并体会数学知识在现实生活中的广泛应用性. 同时，在将描述性语言转化为符号化语言的过程中感受数学的简洁之美、逻辑之美和应用之美.

任务5：设计方案.

问题5：得到击球位置与击球角度的关系式后，如何确定个人的制胜方案？

学生活动：回顾击球角度的计算过程与结果，根据组内成员自身身体参数设计制胜方案，如表6和表7所示.

【设计意图】学生借助量化结果，合乎逻辑地设计方案以解决问题，体会数学的价值，提高实践能力，提升创新思维和科学素养.

4. 呈现研究成果

任务6：测试落网率.

问题6：如何评判设计的方案是否有效？

师生活动：教师先带领学生进行前测，记录落网率，再引导学生利用依据个人数据设计出的方案击球，测试落网率并与先前数据进行比较. 对落网频繁、动作技术生疏的学生进行针对性指导，共同寻找设计方案与实际操作过程中的问题，并在课上与课下不断完善方案.

【设计意图】在制定方案后，引导学生对方案的效果加以评估，培养学生在解决问题后形成进行评价、完善的意识，帮助学生形成严谨、求实的科学态度. 值得注意的是，学生根据自主设计的方案进行首次落网率测试应该已经经过了一定时间的训练，且之后仍需要监测落网率以对方案进行持续评估和动态调整，体现了跨学科项目式学习教学上的延续性.

五、跨学科项目注意要点

第一，关注项目内容主线的安排. 跨学科项目中涉及多学科内容，极易出现本末倒置的情况. 数学跨学科应该是数学与其他学科双向互动甚至多向转换的研究内容. 从项目整体来看，项目的逻辑起点可以在其他学科，但是核心部分的落脚点一定是在数学学科. 项目执行过程中重要的是寻找其他学科与数学学科之间的联系，进而运用数学的思想与方法分析、解决其他学科中的问题. 例如，在“飞扬的羽毛球”项目中，以羽毛球的动作技能引入，涉及物理学科的内容，但是项目最核心的部分是对羽毛球运行线路的量化分析，学生经历数学建模的全过程，运用数学建模的思想方法解决羽毛球击球技术的优化问题，奠定了数学在该项目中的首要学科地位.

第二，跨学科项目式学习并不要求教师是全能的. 在跨学科项目式学习中，重要的是各学科教师之间协调沟通，必要时集体备课. 跨学科意识是教师设计跨学科项目式学习的前提，并不要求教师门门精通. 遇到一些专业性强的内容时，主学科教师可以向其他学科教师寻求帮助，既可以促进学科间的沟通和交流，也提升了项目的科学性. 主学科教师能够以专业性知识为学生提供精准指导. 例如，在“飞扬的羽毛球”项目中，虽然以数学学科为主学科，但是其中蕴含丰富的跨学科内容，可能触及数学教师的知识盲区，因此数学教师可以与体育教师、物理教师进行交流，探讨有关内容，三科教师通力合作，为项目式学习带来更丰富的内容.

第三，跨学科项目式学习在教学上可以具有延续性. 与一般项目式学习相比，跨学科项目式学习中蕴含的跨学科内容更明显、更丰富，各学科教师之间、课堂之间的信息交互更畅通，内容更完整. 因而，项目成果展示完成并不代表项目的终结，教学可以延续到课后或者其他學科的课堂教学中. 跨学科项目式学习整合多门学科内容，甚至需要多个学科教师提供支持，这与传统的课堂不同，各学科教师可以延续项目内容，提取其中与本学科关联的关键概念继续深化教学. 例如，在“飞扬的羽毛球”项目中，在完成运动员最佳击球位置与击球角度方案的设计之后，体育教师可以转变为教学的主导者，在体育课上带领学生按照方案进行实际操作，测算成功概率以检验方案的优化效果，延续和优化项目成果，帮助学生进一步深化与理解项目式教学成果.

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