微探究教学的意义、应用与启示

彭锋 何大勇 张晓斌

作者简介：彭锋（1987— ），男，高级教师，主要从事高中数学教学和解题研究；

何大勇（1965— ），男，正高级教师，主要从事高中数学教学和解题研究；

张晓斌（1964— ），男，二级研究员，重庆市特级教师，重庆市政府学术技术带头人，第五届苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学教育和教学评价研究.

摘  要：微探究教学立足服务学生的学，关注学生思维的最近发展区. 通过参与微探究，让学生在经历知识的形成与应用的过程中，真正理解数学知识，培养学生的主动性、创造性和应用意识，促使学生将知识转化为能力，有助于学生在学习的过程中形成数学核心素养.

关键词：微探究教学；意义；应用；启示；三角形面积公式

中图分类号：G633.64     文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）01-0014-03

引用格式：彭锋，何大勇，张晓斌. 微探究教学的意义、应用与启示：以三角形的面积公式为例［J］.

中国数学教育（高中版），2024（1）：14-16.

求解三角形面积是中学数学中比较重要的知识点.在计算三角形面积时，仍然有部分学生对公式的选择不合理，理解不深刻，导致运算复杂甚至计算错误. 三角形面积公式的推导蕴含着知识的延伸和综合，新课程改革倡导在基本公式的教学中要展现公式的来龙去脉及推导过程，鼓励学生用不同的推导方法加深对公式的认识，把握公式间的联系.

一、微探究教学的意义

数学教学设计需要注重以数学知识的发生过程和学生数学思维过程的融合为线索，通过合理的教学活动促使学生在掌握“四基”的过程中落实数学核心素养.

微探究活动是围绕某个小知识点或某一问题，以学生已有的知识和经验为基础的数学探究活动. 微探究教学属于数学探究活动的某些片断的教学（课堂引入、概念获得、原理分析、问题解决和归纳总结等某个教学环节），也可以是某个活动过程（发现问题的活动、交流互动的活动、汇报活动等）. 在探究过程中，教师为主导，学生为主体，数学为载体，思维为形式，以此培养学生的主动性、创造性、应用意识和实践意识，促使学生养成深层次思考问题的习惯，将知识转化为能力，将经验提升为素养.

二、微探究教学的应用

目前，在人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）三角形面积公式的教学中，教师基本上在得到正弦形式的三角形面积公式后就直接带领学生做相关习题，很少引导学生进一步探究不同形式的三角形面积公式之间的联系，也很少让学生阅读教材中的“海伦和秦九韶”内容，忽略了对数学史知识的渗透. 这样的三角形面积公式教学，不能充分挖掘公式的思维价值，也不利于学生推理能力的发展和知识的建构. 把“三角形的面积公式”放在教材习题6.4的复习巩固、综合运用与拓广探索中，为了让学生灵活掌握三角形的面积公式，笔者设计了推导三角形面积公式的微探究课，其教学过程如下.

环节1：回顾旧知.

师：我们现在已经学习了三角形面积的哪些计算公式？

学生回答后，教师展示公式[S=12aha=12bhb=12chc].

师：利用已有知识，还可以发现和证明一些新的三角形面积的计算公式吗？

学生活动：学生分六个小组进行合作交流.

环节2：推理论证.

生1：如图1，在[Rt△ABC]中，由[h=bsinA]，得[S=12bcsinA]. 同理，可得[S=12acsinB]，[S=12absinC].

生2：由正弦定理，知[a=2RsinA，b=2RsinB，][c=2RsinC]，所以三角形的面积公式又可以表示为[S=2R2sinAsinBsinC].

生3：三角形的面积公式也可以用边表示，得[S=][abc4R]. 还可以用边和角共同表示，得[S=12a2sinBsinCsinA=][12a2sinBsinCsinB+C].

师：很棒！同学们善于应用新知识解决问题，应用意识很强. 我们从正弦定理的角度出发得到了非常优美的计算公式，有没有同学从余弦定理的角度出发考虑呢？

经过思考，生4在黑板上板书公式[S=12absinC=][12a2+b2-c22cosCsinC=14a2+b2-c2tanC]. 生5也在黑板上写出公式[S=12acsinB=12ac1-cos2B=ac21-a2+c2-b22ac2=][12c2a2-c2+a2-b222]. 生5写完后指出这是阅读材料“海伦和秦九韶”中介绍的秦九韶的“三斜求积”公式.

师：很不错！两位同学对余弦定理知识的理解很深刻，应用能力很强. 生5的钻研精神值得大家学习. 阅读材料“海伦和秦九韶”中还介绍了海伦公式，与秦九韶的“三斜求积”公式本质上是一样的，你能证明一下吗？

学生陷入沉思，生5继续板书.

[S=12c2a2-c2+a2-b222=2ac2-a2+c2-b2216=1162ac+a2+c2-b22ac-a2-c2+b2=116a+c2-b2b2-a-c2=a+b+c2 ? a+c-b2 ? a+b-c2 ? b+c-a2=pp-ap-bp-c.  p=a+b+c2.]

师：当已知一个三角形的三边时，使用這个公式计算三角形的面积就比较方便. 在这里介绍一位值得中国人骄傲的数学家——秦九韶，他是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数书九章》对数学发展产生了广泛的影响. 他是一位既重视理论与实践，又善于继承、勇于创新的伟大的数学家，被国外科学史家称为“他是那个民族、那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.

生6：由此想到计算三角形面积的另一个公式[S=12a+b+cr=pr]（[r]为三角形内切圆的半径）.

师：生6揭示了三角形的面积公式与三角形周长和内切圆半径之间的关系，非常简洁且有利于理解和记忆. 通过大家积极主动的探索，我们得到了很多表达形式不同、内在联系丰富的三角形面积公式，体现了研究精神，提升了探究能力.

环节3：多视角探索论证.

师：前面已经学习了平面向量，能否从向量的角度表示三角形面积公式呢？

学生进行小组交流.

生7：[S=12acsinB=12BCBAsinB=12BCBAcosB ?] [tanB=12BC ? BA ?tanB]. 同理可得[S=12AB ? AC ? tanA=]

[12CB ? CA ? tanC].

师：能否用坐标形式表示这个三角形的面积公式呢？

学生进行充分思考和交流.

生8板书如下.

设[BA=x1，y1， BC=x2，y2]，则有

[S=][12BCBAsinB]

[=12BC2 ? BA2sin2B]

[=12BC2 ? BA21-cos2B=12BC2 ? BA2-BC ? BA ?cosB2]

[=12x21+y21x22+y22-x1x2+y1y22]

=[12x1y2-x2y12]

[=12x1y2-x2y1].

生8的推導很有想象力，过程十分精彩. 可以看出，从向量的视角得出的三角形面积公式的形式也非常漂亮. 三角形的面积公式形式丰富，教师让学生课后梳理各种表达形式，认真归纳总结，并在解题实践中正确选择和灵活应用.

环节4：课后拓展探究.

已知任意凸四边形[ABCD]，[E]为边[AB]的中点，[F]为边[BC]的中点，[G]为边[AD]的中点，如图2所示. 连接[EF]，其线段长为[a]；连接[FG]，其线段长为[b]；连接[EG]，其线段长为[c]. 证明：任意凸四边形[ABCD]的面积为[S=4pp-ap-bp-c，p=a+b+c2].

[C][F][B][E][G][A][D][图2]

三、微探究教学的思考与启示

1. 积累数学活动经验

在教师的精心组织和引导下，对公式教学实施微探究，让学生亲身经历结论的发现过程，从数学内部去发现知识间的逻辑联系并掌握规律，从中体验探究的乐趣，使数学课堂教学焕发新的活力. 课堂教学中开展数学微探究活动是促进学生参与教学活动、学会数学地思考、体验数学再创造的过程，可以积累基本的数学活动经验，有益于学生日后有所发现和创造.

2. 促进学生深度理解

公式、法则等的教学是数学课堂教学的重点. 这些数学规则是客观存在的，可以依据一定的方法思考探索出来. 为了避免数学公式被机械接受，将公式的生成过程设计成一串微探究任务，由学生自己发现其中的内在联系，促进学生对知识的理解与应用，发展学生的思维，激发学生的学习潜能，能够使学习达到事半功倍的效果.

通过上面的探究活动，学生对正弦定理和余弦定理的应用有了更深的理解，能够较好地记忆和运用三角形面积公式之间的内在联系和表达形式. 对于数学知识的学习，如果只是鹦鹉学舌般地记住结论是远远不够的，关键是要让学生具备应用所学知识推理、探究正确结论的能力，养成乐于探究和善于思考的习惯，帮助学生深度理解知识.

3. 提升数学核心素养

课堂上，教师应该尽量尊重学生的想法，充分暴露学生的思维过程，通过为学生创造微探究的机会，激活其原有认知结构中的已有知识和思维，调动学生有意义的学习倾向. 这样做可以让学生获得学习的主动权，体验数学知识的应用价值，加强对知识的理解和掌握. 公式生成过程的微探究问题的设计要站在学生的角度，尊重学生的主体地位，调动学生的积极性，坚持“跳一跳，够得着”的设计理念，关注学生思维的“最近发展区”，发掘学生的潜能，充分发挥其主观能动性，在学习的过程中培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析的能力，提升学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］苏洪雨. 基于问题设计的数学微探究评价体系构建［J］. 数学教育学报，2019，28（1）：19-24.

［3］卓斌. 让数学探究成为学习数学的习惯：以“函数的零点”教学为例［J］. 数学通报，2016，55（3）：27-29，33.

［4］周军. 巧设“微探究”，让数学课堂更出彩［J］. 数学教学通讯，2018（2）：9-11，49.