从可见的复制到思维的创造

袁晓萍

【摘   要】轴对称图形是图形的运动方式之一，“认识轴对称图形”是开启“图形的运动”学习的关键内容。教师从“学”的角度对“认识轴对称图形”的教学进行重构，通过形成强体验的“关联设计”、制造强思维的“认知冲突”、延伸强迁移的“学习边界”，让学生在经历思维活动的过程中，将“认识轴对称图形”的学习从可见的复制升级为思维的创造。

【关键词】轴对称图形；图形的运动；对称轴

轴对称图形是图形的运动方式之一，属于发生位置变化的图形运动。它具有极其丰富的几何内涵，在哲学、美学、建筑学等领域都有着广泛的应用。“认识轴对称图形”是开启“图形的运动”学习的关键内容。在教学中，为了避免浮泛的觀察操作和简单的知识学习，避免学生局限于浅表的图形欣赏和判断，笔者从“学”的角度对该内容进行了教学重构，以激活、充实、改造学生的图形学习经验，让学生在经历思维活动的过程中，将“认识轴对称图形”的学习从可见的复制升级为思维的创造。

一、形成强体验的“关联设计”

教师在设计教学时，应创设具有综合性与结构化的学习情境，设计真实、复杂的学习任务链，将概念的学习融入学习活动中，引导学生调动多感官去体验，与同伴合作，与材料互动，形成属于自己的图形运动的认知结构和学习心智。

（一）连续任务，形成思维进阶的活动链

结构化的学习任务能确保思维的连续性。“认识轴对称图形”的教学从真实问题的解决出发，设计层级化、多维度的连续任务，以“寻找—改造—创造”的探索活动，从寻找生活中、图形中的轴对称现象，到将非轴对称图形改造为轴对称图形，再到自主变换对称轴的位置进行轴对称图形的创造，不断丰富学生的翻折经验，引导学生以“对称轴”为线索，将相关的知识联结成结构化的知识链，如图1所示。

上述每个学习任务的设计都有其目标，又彼此关联，以“对称轴”为内在主线，保持学生思维的活跃状态，形成各种学习情境、学习任务的连贯进阶，使学生在连续任务中深化对轴对称图形概念的理解。

（二）多样情境，扩大学习素材的覆盖面

数学学习要以生活经验为基础，与已有知识相联系，用数学的眼光观察现实世界，这样学生才能体会到数学与生活、数学与数学的关系。本内容在引入部分不仅采用了学生熟悉的植物、昆虫等生活素材，还使用了剪纸作品、京剧脸谱、古风建筑等中华优秀传统文化素材，将它们以图片、微视频等方式呈现在学生眼前，引导学生体会轴对称图形的平衡之美、庄重之美，增强学生的文化自信。

【教学片段1】

（教师直接出示课题：轴对称图形）

师：今天，老师要和大家一起来学习“轴对称图形”。有谁知道什么是轴对称图形？能不能从屏幕上找个图形作例子，和大家说一说？

生：我发现屏幕上的这只蝴蝶是轴对称图形。如果将这只蝴蝶对折就会发现，这只蝴蝶的两边可以完全重叠。

师：这名同学研究这个图形是不是轴对称图形时，在头脑里对这只蝴蝶做了一件非常重要的事情。这件事情是什么？

生（齐答）：对折。

（教师出示一张蝴蝶图片）

师：老师带来了一只“蝴蝶”，现在大家可以直接动手折了。谁来给我们折一折，让我们看到刚才这名同学在大脑里的判断过程？

（一名学生边操作边表达）

师：要说明平面图形是不是对称图形，不仅可以通过观察和想象，还可以采用对折的方法。刚才这名同学对折时留下的折痕就像一根轴一样，可以使“蝴蝶”的左右两部分完全重合，这在数学上就叫作“对称轴”，可以用一条虚线表示。

（教师根据学生回答板书：完全相等、完全重合、对折、对称轴）

师：屏幕上还能找到其他轴对称图形吗？

生：（在三叶草上比画对称轴）这片三叶草也是一个轴对称图形，这是它的对称轴。

生：沿着三叶草每瓣叶片上的缝都可以找到一条对称轴。

生：原来有的轴对称图形的对称轴不止一条。

师：刚才大家只是相互说一说、聊一聊，就了解了这么多轴对称图形的知识。现在老师奖励大家看个小视频，找找生活中的轴对称现象和轴对称图形。请大家一边看一边用一个动作把“你为什么这样判断”表演出来。

（教师播放如图2所示的微课，学生跟着视频进行比画）

师：看了小视频以后，你对轴对称图形有什么新的认识？

生：轴对称图形不仅可以左右两边完全重合，也可以上下两边完全重合。

生：轴对称图形不一定是“正”的，也可以是“斜”的。

生：轴对称现象在生活中无处不在。

除了生活素材，教师还要将教学的重点放在学生熟悉的平面图形的判断上（如图3），借助格点图上提供的各种正向、反向的学习材料，包括是轴对称图形的长方形、正方形、圆形，以及不是轴对称图形的一般三角形和平行四边形，引导学生基于轴对称的视角重新研究熟悉的平面图形，通过动脑想象和动手实践，逐步归纳、提炼出轴对称图形的本质，为学生后续学习平面图形的特征开启新的认知维度。

（三）具身学习，增加学科探究的体验点

有不少学生直到六年级仍会把一般的平行四边形误判为轴对称图形，主要原因是他们在学习轴对称图形时缺乏翻折的经验。要获得对“轴对称图形”的精准认知，仅仅依靠静态的、纸上谈兵式的观察判断是不可能实现的。因此，教师教学时要充分调动学生的多种感官参与活动，让每一名学生在动手翻折、动眼观察、动脑比较、动口表述、用耳倾听等活动（如图4）中纠正错误直觉，深化对轴对称图形概念内涵与外延的理解。

“做中学”“动中练”的设计，增加了学生的探究体验，让学生在一个个充满思考的、有趣的活动场域中进行探索，在多样的活动体验中进行聚类归纳，深刻体会对称图形不是静态的平面图形，它的本质是图形的运动，在操作中学，在想象中学，在反思中学，从运动的视角重新认识图形，从而掌握学科知识、发展实践能力。

二、制造强思维的“认知冲突”

学生是“天生的”问题解决者，教学的意义不是让学生获得知识，而是要通过不断制造“认知冲突”，引导学生在好奇、疑惑、思考、探索中进行自我否定与自我认知，成为主动的探索者和思考者。

（一）刻意营造困难：先想象判断，再操作验证

从学生学习数学概念的过程来看，“尝试失败”比“低效成功”有更长远的意义。笔者对学习过“轴对称图形”的学生进行测试，发现他们积累的关于轴对称图形的基本活动经验，基本停留在静态的视觉层面的“两边完全一样”，而不是动态的想象层面的“对折后完全重合”。因此，教师在教学中要通过刻意营造困难，将原有的“操作—判断”的学习路径，调整为“想象—判断—操作”的探索路径，让学生在操作前想象翻折过程，在想象中判断图形属性，在判断后操作验证想象是否正确。这样的挑战性学习需要学生进行多角度的尝试，在尝试解决问题中产生各种失败和错误，而这种“尝试失败”对后续的学习是有意义的。

【教学片段2】

师：你们能在图3的5个平面图形中找到哪些是轴对称图形吗？有没有哪个图形比较特殊？谁来讲一讲你们在研究这个轴对称图形时有什么特别的发现？

生：我们研究的是平行四边形。这个图形在想象里是轴对称图形，但最后折的时候发现它不是轴对称图形。

生：这个平行四边形很有意思，看起来是轴对称图形，折起来才知道不是。

生：我们研究的是圆形，发现圆形有很多对折的方法。

生：我们把所有想到的对称轴都画上了，但发现还有很多很多条对称轴，我们觉得圆有无数条对称轴。

生：我们研究是正方形，研究时发现它有8条对称轴。

师：请你带着同学们一起折一折，找一找这8条对称轴。

生：老师，我这次只能折4条对称轴，不知道为什么折不出8条对称轴了。

师：谢谢你的操作，你让我们看到了正方形的对称轴，水平竖直有2条，斜着的也有2条。

生：老师，他刚才说的8条对称轴是把同一对称轴算了2次。我还发现，这4条对称轴都要经过一个中心点。

生：我们发现长方形有2条对称轴，一条是通过中心点横着的，一条是通过中心点竖着的。

师：那这个长方形能不能像正方形一样，添上斜着的2条对称轴呢？

生：不能。如果斜着折，沿着折痕不能使两部分完全重合。

生：这个三角形也是怎么对折都不能完全重合，所以它不是轴对称图形。

师：哦，老师知道了，所有的三角形都不是轴对称图形。

生：不对，等边三角形、等腰直角三角形是轴对称图形。

师：他说的这两个三角形长什么样？用手比画一下，它们的对称轴在哪里？

（根据学生的回答对这些图形的对称轴进行梳理并板书，如图5所示）

学习过程中，教师引导学生对“平行四边形是否是轴对称图形”“长方形到底有几条对称轴”“所有的三角形都不是轴对称图形吗”等易错易混的学习内容展开自我申辩、交流思辨，在互教互学中产生思维碰撞，一步步抽丝剥茧，形成对轴对称图形本质的感悟。

（二）实施反向创作：先确定对称轴，再设计图案

从翻折的方位看，不少学生局限于水平和垂直两个方位，斜向翻折的经验相对较弱。教师聚焦“对称轴”这一重要概念，设计具有可塑性的“创造轴对称图形”的活动，引导学生通过不断“变换对称轴”的方位，创设有趣的设计场景，自主设计多样的轴对称图形。

【教学片段3】

师：刚才我们找了许多轴对称图形，接下来请大家自己动手“做”一个轴对称图形吧。用上刚才的三角形，你能不能补上一块同样的三角形，把整个图形变成轴对称图形呢？

（学生板演拼擺，如图6所示）

师：（将对称轴斜放）能不能移动对称轴，使轴对称图形长得不一样呢？

（学生创作作品，如图7所示）

师：同学们创作的这些轴对称图形，给你们带来什么新的启示？

生：对称轴可以在图形内，也可以在图形外。

生：原来对称轴的位置不一样，设计出来的轴对称图形也就不一样。

生：不管怎样设计，只要图形沿着对称轴对折后能够完全重合，那它就是轴对称图形。

随着学生创造出各种轴对称图形，他们掌握了根据对称轴进行图形判断的思维方式，修正了自己的前认知概念，丰富了图形动态运动的经验，获得了对轴对称图形特征的深度把握，实现了富有创造性的迁移。

（三）提供轻量支持：先有效失败，再适恰支持

在学生学习过程中，教师作为学习活动的“设计者”“指导者”和“支持者”，要减少材料干预和操作指导的支持量。教学中，教师要摒弃提供具体、详细的操作步骤，简化判断轴对称图形的方法讲解，推迟规范性的指导，让学生在自主探索、同伴互动中经历“尝试失败”，产生探而不明、思而不清的学习状态，再通过追问、引导反思、提炼要旨等方式为学生提供适恰的支持，引发学生新经验的生长。

三、延伸强迁移的“学习边界”

推进教学时，教师不仅要关注一个课时的教学目标和内容，更要打通学段间、学科间的纵横联系，从整体的、综合的、整合的视角进行关联，打破掌握知识与发展能力之间的细碎状态，为学生在整体学习背景中进行系统化思考赋能。

（一）与后续的轴对称学习内容相关联

为了帮助学生更好地建立与后续轴对称学习内容的关联，教师在提供探究素材时就要将所有的平面图形放在格点图的背景中，引导学生借助图形上点的位置来进行刻画、判断、想象。在“将非轴对称的图形改造成轴对称图形”的教学过程中，教师可以让学生利用图形上点的位置变化来动态刻画改造过程，通过想象改造后图形点与点重合、边与边重合的对应关系，对轴对称图形中“对称点到对称轴的距离相等”建立初步的体验，为进一步认识轴对称图形的性质做好必要的铺垫。

（二）与整体的图形运动体系相呼应

数学是一种系统思维，教师应将所教内容置于整体的知识结构中去系统思考。作为“图形的运动”学习的起始内容，在图形的鉴赏与创作环节，教师将对折这一运动方式与平移、旋转等图形运动方式进行联系，将轴对称图形的学习置于整个图形运动的大背景中，让学生获得结构化、网络化的背景知识支持，提升学生的关系思维。

【教学片段4】

师：我们一起找到了各种各样的轴对称图形，还把非轴对称图形改造成了轴对称图形，并用简简单单的三角形创造了各种各样的轴对称图形。生活中的图形，除了可以通过轴对称运动来构建，还可以运用很多其他的图形运动方式。

（教师利用动态操作演示，如图8所示，启发学生进行比较）

师：图中的三角形是怎么运动的？

生：平平地移动。

生：旋转。

生：这两种方式在生活中也经常见到。

师：生活中，除了可以利用对折翻转形成轴对称图形，还能运用很多其他的图形运动方式，形成更多的图案。我们要带着运动的眼光去观察生活中的图形，发现更多的数学美。

在整体构建中，学生不但掌握了轴对称图形的特征，还厘清了学习内容之间的边界，获得了图形运动背景下的整体感知，生成了新的图形学习视野。

（三）与课后实践探究相连接

学习不应局限于课堂，还可以延伸到课后。通过设计综合、开放的数学实践作业（如图9），能满足学生对图形创作的“更高期待”，让学生利用所学知识去应用和创造。

通过设计“在大小相同的圆中，自选2个圆、3个圆、4个圆、5个圆，创作各种轴对称图形”这一有限制条件的实践作业，能激活学生的创造力，延伸学生的学习空间，让学生带着兴趣、知识、方法走出课堂，到课外进行更灵动的图形创作。

（浙江省杭州市西湖区教育发展研究院）