在“倍”概念建构中发展学生模型意识

陈坤华 何优优

【摘   要】“倍”是表达两个量之间关系的数学概念，也是一個表征量与量之间关系的数学模型。教师结合“倍”的教学内容与学情基础，分析“倍”模型的学习起点，通过“设计从经验到模型的学习活动，建构‘倍模型”和“在解决问题中巩固‘倍模型，凸显模型的应用”，探索“倍”模型的教学策略，发展学生的模型意识。

【关键词】“倍”模型；倍的认识；模型意识

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）指出，模型意识是对数学模型普适性的初步感悟，数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。“倍”是表达两个量之间关系的数学概念，也是一个表征量与量之间关系的数学模型。教学中，如何引导学生经历“倍”模型的建构过程？如何引导学生借助“倍”模型解释、解决具体问题，感受模型应用的意义？如何借助“倍”模型发展学生的模型意识？本文对上述问题进行了相关的实践研究。

一、寻源：分析“倍”模型的学习起点

学习是引导学生从原有经验出发，积累新的经验的过程。在学习“倍的认识”内容之前，学生对两个量之间关系的认识主要停留在“比多比少”层面，即相差关系。倍作为一种比率关系，与相差关系之间有一定的联系（如表1）。

比较两个数量的大小有两种基本方法，一种是比较它们的相差关系（相差问题），另一种是比较它们的倍数关系（倍数问题）。实践表明：表示相差关系的结果是一个具体的量，学生对此具有丰富的生活经验，更容易理解；表示倍数关系时是将一个量确定为标准量，通过判断另一个量（比较量）里面有多少个标准量来比较，这样的关系较为抽象，学生第一次接触，理解起来有一定的困难。从知识的生长性来看，倍、分数（表示率）、百分数、比等概念的本质都是“比率”，因此，“倍的认识”是后续诸多学习内容的基础，对于引导学生探索比率关系有着重要的认知价值与学习意义。

那么，对于倍的关系表征，学生在学习前又有怎样的认知基础呢？对此，笔者进行了两个方面的前测。

（一）关系理解的基础调研

【测评题】如图，黑圆个数和白圆个数有什么关系？

以176名三年级学生（使用人教版教材）为测试对象，前测结果如表2所示。

前测数据表明：约14.20%的学生不清楚两种圆个数间的关系指的是什么，不能从关系的角度看待相关数量。约85.80%的学生能清楚写出两者的相差关系或倍数关系，知道“关系”表示什么，并能用具体的量表达两者间的关系。其中，约60.80%的学生能用完整的语言表达两量的相差关系。由此可见，学生对两量间的相差关系有较好的认知基础。约31.82%的学生面对直观的学习材料，能用倍来表示两个量之间的关系（包括用倍表达不恰当的情况），这表明近三分之一的学生对“倍”的概念有认知基础。

（二）“倍”关系模型的认知调研

【测评题】你知道“倍”吗？能用自己的方法表示出3倍吗？

以42名三年级学生（使用人教版教材）为测试对象，前测结果如下。

前测结果中出现了4种典型结果（如图1）。被测学生中，有31人能画出类似作品①的结果，约占总人数的73.81%；只有11人能用自己的方法正确表示出3倍（作品②、作品③、作品④），约占总人数的26.19%。从前测结果可以看出，学生理解“几个几”的意义，已经具备学习倍的相关知识；但只有少数学生听说过倍，对倍的概念较为模糊。

基于上述分析，教师应从学生经验出发，通过多种操作性活动，并借助几何直观，帮助学生丰富“用倍表示关系”的表象，逐步实现知识的结构化，从而抽象出表示关系的“倍”模型，为今后学习分数、百分数、比等相关知识打好基础。

二、探径：探索“倍”模型教学策略

数学模型有两种基本的表征方式：一是思维表征，它体现在思维过程中，具有隐性特征；二是形式表征，它反映在模型的形式表达中，具有显性特征。“倍”是一个较为抽象的数学模型，不仅需要形式上的归纳，还需要思维方法上的理解。［1］在教学实践中，可以从以下几个方面进行尝试。

（一）设计从经验到模型的学习活动，建构“倍”模型

教师要让学生经历分析、思考、归纳、推理等数学活动，并在活动过程中积累丰富的学习经验，从而形成模型意识。“倍”模型的建构也不例外。教学时，教师可以通过两个层次的数学活动，引导学生经历将学习经验转化为“倍”模型的过程。

1.经历多维的数学活动，体验“倍”模型的建构过程

◆活动一：由个人经验上升到集体感悟

（1）教师展示学生的前测作品——图1中的学生作品②、作品③和作品④。

（2）引导学生圈一圈，说一说谁是谁的3倍，初步感知“3倍”。

（3）组织全班学生再次创造：画出不一样的“3倍”，丰富“3倍”的表征。

（4）先组织全班学生反馈交流，分享不同的“3倍”作品（如图2）。再提问：为什么画法不同，却都可以表示“3倍”？最后引导学生体会：3倍就是一个数量中包含3份另一个数量。

此学习活动将学生的个人经验拓展为集体感悟，让学生充分经历动手操作、语言描述、画图表征、算式表征等归纳过程，揭示倍表示量与量之间关系的本质，初步建立“倍”模型。

◆活动二：于变与不变中明晰“倍”模型

（1）教师出示图3：胡萝卜有2根，红萝卜有6根，白萝卜有12根。

（2）让学生根据信息，提出数学问题并解答。

①红萝卜的根数是胡萝卜的几倍？

②白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？

③白萝卜的根数是红萝卜的几倍？

（3）变换情境，集体交流。

①标准量不变，对比量变化：如果小兔子吃掉了2根白萝卜，白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？再吃掉2根呢？

②标准量变化，对比量不变：如果小兔子吃掉了1根紅萝卜，白萝卜的根数是红萝卜的几倍？再吃掉4根呢？

教师通过设计这样的不同情境，改变两个比较量的大小，让学生在“变化”中进一步认识“倍”模型，感受倍数关系中标准量的重要性，感悟找倍数关系时要明确“谁和谁进行比较”。

2.借助几何直观，体验“倍”模型的抽象过程

2022年版课标指出，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。数学抽象是对各个具体情境的一种超越。［2］在“倍”模型的建构中，可以通过以下三个不同角度体现抽象过程。

（1）角度一：倍数不变，一份和多份相应变化。如在说一说谁是谁的3倍、创造不一样的“3倍”等数学活动中，通过呈现示意图、线段图等直观表征，让学生认识“标准量变化，比较量随之变化”，从而建立“3倍”的直观模型。

（2）角度二：标准量不变，比较量变化，进一步认识“几倍”。在活动二中，通过吃掉白萝卜的根数等活动，引导学生认识5倍、4倍等，并引导学生思考：你发现了什么？引导学生归纳：白萝卜有这样的几份就是胡萝卜的几倍。教师引导学生借助比较将数量关系直观化，为抽象出“倍”模型提供帮助。基于此，学生更容易理解 “1倍”的关系。

（3）角度三：比较量不变，标准量变。在“红萝卜的根数是胡萝卜的几倍”问题的探究中，在胡萝卜个数变化的情况下，让学生通过圈一圈、想一想等直观形式，探究倍数发生变化的原因，感受比较时标准量的重要性。

学生初次接触“倍”模型，因此，教师要引导学生参与数学活动，并利用直观表征，帮助他们理解数学知识的本质，发展模型意识。

（二）在解决问题中巩固“倍”模型，凸显模型的应用

倍作为一个相对抽象的数学概念，学生并不能通过一节课的学习就掌握，需要在后续的学习中加以巩固，深入认识与理解“倍”的概念，发展模型意识。

人教版教材“倍的认识”单元中的练习十一共编排了12道练习题，这些习题主要应用“倍”模型解决两类问题：求一个数是另一个数的几倍和求一个数的几倍是多少。大部分习题都以图文结合的形式呈现。同时还设置了一些开放性习题，目的是让学生通过动手操作，自主提出存在倍数关系的数学问题。以第7题的第（2）小题（如图4）为例，学生提出问题，比较两个量的倍数关系，结果可能不能整除，还有可能比1小。如“小鹿的只数是天鹅只数的几倍”，结果是2倍多2只。它们之间虽然不是整数倍关系，但也可以借助倍来表达关系，将来它们之间的倍数关系可以用小数或分数来表示。

然而，教材编排的这些习题中还缺少一类与倍相关的问题，即已知一个数的几倍是多少，求这个数是多少。教学时，教师可以在练习中适当增加这样的问题：李奶奶养了42只鸭，鸭的只数是鹅的7倍，李奶奶养了多少只鹅？引导学生在解决问题的过程中体会“倍”模型的应用，加深对“倍”模型的理解。

总之，“倍”模型作为数量关系中的基本数学结构，承载着丰富的数学内涵。在教学时，教师应以课程理念为指导，不仅关注“倍”模型的建构过程，还要凸显其对于发展核心素养的重要价值，从而发展学生的模型意识。

参考文献：

［1］费岭峰.聚焦课堂教学：一位小学数学特级教师的研课手记［M］.上海：华东师范大学出版社，2022.

［2］刘加霞.从加法结构到乘法结构：“倍”是转折点：评析高丽杰老师的“倍的初步认识”［J］.小学教学（数学版），2010（7/8）：17-19.

（1.浙江省桐乡市人民小学 2.浙江省嘉兴市嘉善县第二实验小学）