另解“算理”

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》所说的算理实际是“计算之理”，是确保计算结果可靠的逻辑基础。这样的学科逻辑缺失了对运算“何时出现”以及“为何而算”的理解，因此需要进一步探究认知方面的算理，即指向运算意义理解的“运算之理”，使得算理的含义更加全面，谨防教学中片面强化计算之理，而忽视运算之理。

【关键词】算法；算理；计算之理；运算之理

本刊上期刊发的《“算法”的双刃性与“算理”的局限性》［1］一文（以下简称“文1”）已经阐明，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）中所说的“算理”实质是“计算之理”，其中的“计算”是针对符号所构成的算式，应用相应的算法，通过执行与操作，从而获得结果的过程。“计算之理”特指确保计算结果可靠的逻辑基础，也就是通常所说的运算律，是算法执行与操作的依据，是支配、管控算法的规则。

这样的算理与算法的表征形式同属符号世界，使得算理与算法的关系成为“用符号解释符号”，即符号世界内部的自圆其说，缺失了符号以及符号间的转换所指代的实际意义。这样的计算之理能够成为逻辑上的真条件，但难以实现认知意义上的理解。因此需要重新认识算理，将逻辑意义上的“计算之理”拓展到认知意义上的“运算之理”。为此，需要区分“运算”与“计算”两个词语的含义。

一、运算与计算的区别

数学课程中的运算与计算并不同义，计算的含义在文1中已经说明。汉语中所说的“运算”对应的英文单词是“operation”，本义是人具身的“外显动作（Overt Act）”［2］。比如將2本书和另外4本书放入书包，就会产生将两个局部“合并”为一个整体的动作，像这样合并的动作就是运算的本义。在日常活动中，各种合并的动作经常、反复地发生，使人的思维中自然地形成了合并动作的“影像”（或“意象”，英译：image）。即使当下没有外显动作的真实发生，思维中也会出现此类动作的影像，这种思维中的动作的影像叫作“思维运算（Mental Operation）”［3］。当思维中的合并动作稳定为一种模式时，就成为思维中的“图式（Schema）”。在具身认知理论中，这种由意象所形成的图式被称为“意象图式（Image Schema）”［4］。在此基础上，思维中就自然而然地形成了加法的“运算概念（Operative Concept）”［5］。同样的加法运算概念，所指代的动作可以是多样的。在小学数学课程中，整数的加法运算主要包括如下类型。

l 部分—整体的“分”与“合”：院子中有2只公鸡和4只母鸡，院子中共有几只鸡？

l 容器内外的“入”与“出”：树上有2只小鸟，又飞来4只小鸟。树上共有几只小鸟？

l 运动变化的“先”与“后”：（1）一棵高度为2米的小树，一年后长高了4米。问：小树现在的高度是几米？（2）向前步行2步后，继续向前步行4步，共步行了几步？

l 不同对象的“彼”与“此”：左手有2块糖，右手中糖的数量比左手中多4块。问：右手中有几块糖？

人在日常活动中可能发生的动作是多种多样的，思维中形成的意象图式也各不相同，因此会产生不同的运算概念。如果说局部“合并”为整体的动作是形成加法运算概念的动因，那么与之相反的从整体中“拿走”或“离开”的动作所形成的运算概念，就成为加法运算的逆运算，即减法。同样，如果“前进”的动作是加法运算，那么“后退”的动作就是减法运算。

因此，“运算”一词本义指的是动作，这样的动作兼具行为与思维的含义。思维中的运算概念一旦形成，就自然产生了用符号表达和记录的需求，出现了用语言表达的运算，即“符号运算（Symbolic Operation）”，也就是对符号的操作。比如，前面示例中的动作都可以用阿拉伯数字符号表达为“2+4”，操作的结果可以用符号表达为“6”。在小学数学课程中，“运算”一词的含义表现为事物世界、思维世界与符号世界的交互，具体体现为：

l 发生于客观的事物世界

l 留痕于主观的思维世界

l 表征于抽象的符号世界

由此可见，运算与计算的含义是不同的。运算偏向于名词的词性，指代动作的“类型”。对运算的认知就是对类型的识别与选择，是将事物世界的动作转换为思维世界和符号世界的动作概念并进行表达的过程。计算偏向于动词的含义，指向对既定的算式或算法的“执行”。比如可以说“计算圆的面积”，而不说“运算圆的面积”，原因在于已经既定了圆的面积公式为πr2，只需要代入数据执行与操作即可，无需对运算类型进行识别与选择。

鉴于计算与运算的不同，指向运算意义理解的运算之理与指向计算逻辑基础的计算之理也应当是有区别的。

二、运算之理

如果把算理在数学课程与教学中的作用定位于对符号运算的理解，那么理解的过程就应当是超越符号世界，建立符号世界的运算与事物世界的运算之间的联系，用事物世界的动作解释符号世界的运算，彰显运算“所以然”的道理［6］。在全美数学教师理事会2000年公布的《美国学校数学教育的原则和标准》中，把这样的算理表述为“运算的意义（Meanings of Operations）”，主要指符号运算“何时出现”以及“为何而算”［7］。

任何符号以及符号之间的转换，其本身并无意义。以文1中的14×12为例，从符号世界的内部看，虽然可以用横式或竖式计算出正确结果168，但这样的过程只是符号与符号之间的转换，对运算“何时出现”以及“为何而算”仍可能一无所知，只有明晰符号与指代对象之间的关系，运算的意义才会生成。

用符号表征的乘法运算14×12=168，在事物世界或思维世界中所指代的动作或事件并不是唯一确定的。比如将14箱苹果（每箱12个）搬运到一辆卡车上，这时符号算式14×12=168所表达的意义是“等组合并”，也即通常所说的“相同加数求和”。但如果将事物世界的事件改变为“一个长方形的长和宽分别为14厘米和12厘米”，这时长方形的面积也可以用符号运算14×12=168来表征，但其意义就不再是“等组合并”，而是一种思维建构。建构的过程可以概括为三个步骤。

l 1厘米×1厘米=1平方厘米

l 1平方厘米×14=14平方厘米

l 14平方厘米×12=168平方厘米

此时算式14×12=168中的14和12所指代的对象不再是线段的长度，而是长方形网格中具有方向含义的行数与列数。这一建构过程在思维中的动作主要是对面积单位的规定和比例推理［8］。由此看出，用符号表达的运算具有意义多样的特点。表1中列出了14×12=168表示的意义的几种类型。

从表1中可以看出，运算之理指向的是符号运算的意义，即运算出现的原因以及目的，是人所自有的思维活动，并非自外而入的获得，是认识现实世界的量及其运算的内部动因与主观生成，体现眼光的差异性、思维的多元性和表达的丰富性，与作为逻辑基础的“计算之理”明显不同。

三、全面认识“算理”

综上所述，运算之理是事物世界、思维世界与符号世界交互过程中的思维生成，具有超越符号世界的开放性。这样的交互并非简单的“一一对应”：事物世界或思维世界中同样的动作可以用多样的符号表征；反之，同样的符号表征形式可以指代事物世界和思维世界中多样的动作。因此，作为运算之理的算理具有认知上的“复杂性”。

表1中仅仅呈现出自然数乘法运算的意义，随着数学课程内容中数域范围的逐步拓展，这样的意义也会随之变化、延伸，因此作为运算意义的算理并非一成不变的，而是在数学课程中呈现出不断拓展与变化的“动态性”。

从更为广泛的意义看，可以把算理视为生成算法的想法。我国清代数学家华蘅芳（1833—1902）在其所著的《学算笔谈》中论及算理时说：“人之心中若果懵懵然茫无知觉，则亦不必谈及算学。若其稍有知觉而能思维计较者，即已有算学之理，与有生以俱来。试观孩儿嬉戏，见果必争，取其大者，因其胸中已有一多寡之见存焉也。由是知算学之理，为人心所自有，并非自外而入。” 论及算法与算理关系时称：“一切算法，其初皆从算理而出。惟既得其法，則其理即寓于法之中，可以从法以得理，亦可舍理以用法。”［9］

华蘅芳关于算理与算法之间关系的论述含有三层意蕴：第一，算法源于算理；第二，算法具有可见的显性特征，而算理是隐性的思想内容，是不可见的，算理寓于算法之中；第三，从显性的算法可以透视隐性的算理，在不明算理的情况下也可以执行并操作算法。运算之理的含义与华蘅芳所说的算学之理含义接近，典型的属性是自内而外的“思想性”。至此，可以概括出运算之理四个方面的基本属性。

l 超越符号的开放性

l 认知过程的复杂性

l 课程内容的动态性

l 自内而外的思想性

相较于运算之理的基本属性，2022年版课标中所说的计算之理则呈现出符号世界内部的封闭性、思维世界的简约性、相对确定的静态性以及自外而内的客观性。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（Hans Freudenthal，1905—1990）在《作为教育任务的数学》一书中，将数学分为“算法数学（Algorithmic Mathematics）”和“思维数学（Conceptual Mathematics）”［10］。按照这样的划分，2022年版课标中的计算之理应当属于算法数学，而运算之理应当归属于思维数学。

将算理的含义从计算之理拓展到运算之理，不是对计算之理的否定与拒绝。事实上，计算之理作为计算的逻辑基础，在数学课程与教学中同样具有重要作用。比如，对于小学数学中除法运算所规定的“余数要比除数小”，从事物世界“分配”的动作就无法解释“为什么”的问题。7个苹果平均分配给2个人，未必一定要每人分3个，剩余1个，如下分法都是可能并且合理的。

l 每人分得1个，剩余5个：7÷2=1……5

l 每人分得2个，剩余3个：7÷2=2……3

l 每人分得3个，剩余1个：7÷2=3……1

但从逻辑的角度看，运算的结果需要遵循“单值性”的规则（参见文1），也即对于给定的运算，其结果应当是唯一确定的，这样才能保证数学推理的可行、易行与远行［11］。比如对于两个除法算式a1÷b1=c1……r1和a2÷b2=c2……r2，如果被除数与被除数相等（a1=a2），除数与除数相等（b1=b2），数学中的推理就需要除法运算结果也相等，即c1=c2，且r1= r2。因此就需要运算具有单值性，以确保这样的推理可行，而单值性作为人为规定的逻辑规则，就成为“余数要比除数小”的道理［12］。

在学科课程与教学研究中，存在学科的知识逻辑与教学的认知逻辑的矛盾，对任何一方的强化都可能导致另一方的弱化。实际教学中，要意识到计算之理并非“算理”的全部含义，至少还有认知方面的运算之理。因此在计算教学中，应当对算理形成全面的认识，让计算之理与运算之理并重，谨防片面强化计算之理，而忽视运算之理。

参考文献：

［1］郜舒竹.“算法”的双刃性与“算理”的局限性［J］.教学月刊·小学版（数学），2023（12）：4-8.

［2］ENGEN H V. An analysis of meaning in arithmetic. Ⅱ［J］.The Elementary School Journal，1949，49（7）：395-400.

［3］PROULX J. Mental mathematics，emergence of strategies，and the enactivist theory of cognition［J］.Educational Studies in Mathematics，2013，84（3）：309-328.

［4］SANTIB??EZ F. The object image-schema and other dependent schemas［J］. Atlantis，2002，24（2）：183-201.

［5］BENDER P，SCHREIBER A. The principle of operative concept formation in geometry teaching［J］. Educational Studies in Mathematics，1980，11（1）：59-90.

［6］杨国荣.说“道理”［J］.世界哲学，2006（2）：98-103.

［7］NCTM. Principles and standards for school mathematics［M］.Reston：The National Council of Teachers of Mathematics，2000：32.

［8］郜舒竹，李娟.“长×宽”为什么等于“长方形的面积”［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（6）：4-9，14.

［9］王渝生.华蘅芳：中国近代科学的先行者和传播者［J］.自然辩证法通讯，1985（2）：60-74，80.

［10］弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995：43.

［11］郜舒竹，李娟.函数定义中“唯一”的释义［J］.数学通报，2023，62（9）：30-33.

［12］郜舒竹.小学数学这样教［M］.上海：华东师范大学出版社，2015：15.

（首都师范大学初等教育学院）