缀述高中数学教科书中的“杨辉三角”*

付云菲 代 钦

(内蒙古师范大学科学技术史研究院 010010)

1 前言

中国古代数学取得了令人瞩目的辉煌成就．中小学数学教科书承载着中华优秀传统文化传承和育人的重要功能,现行六个版本的高中数学教科书在编写二项式定理内容时均以不同形式介绍了“开方作法本源”(图1①(1)①“开方作法本源”图出自明代《永乐大典》中抄录的杨辉《详解九章算法》．人教B版、北师大版、苏教版、湘教版、沪教版高中数学教科书也称“杨辉三角”为“贾宪三角”.),并采纳华罗庚的建议[1]将其称为“杨辉三角”．实际上,该算表为贾宪②(2)②贾宪(约11世纪)为北宋数学家,生平籍贯不详．贾宪总结《九章算术》以来的开方程序,提出立成释锁法,创造“开方作法本源”图．所著,杨辉明确指出“开方作法本源出《释锁》算书,贾宪用此术．”[2]故称其为“贾宪三角”更为合理．沪教版[3]和鄂教版[4]教科书仅出示贾宪三角中的数码,并未体现“开方作法本源”图原貌．人教版[5-6]、北师大版[7]、苏教版[8]和湘教版[9]均引用贾宪三角原图．

图1 开方作法本源

高中数学教科书多出示贾宪三角让学生探究二项式系数和组合数的性质,教科书的编排更多侧重于贾宪三角数码形式上的排列、数列性质的推导及其在当时领先于世界的斐然成就,对贾宪三角中的名词术语和歌诀或不予理会③(3)③如北师大版、湘教版教科书．,只专注于数码的排列,或只简单地介绍④(4)④人教A版教科书简单介绍了“平方”“立方”“三乘方”及歌诀的作用,并未说明歌诀的含义．,未提供数学思想方法上的有益信息,甚至出现讹误⑤(5)⑤苏教版教科书对歌诀作出的字面解释最为详尽,但对“以廉乘商方”的解释有误,后文将详细说明．另外,湘教版教科书对杨辉对贾宪三角中数码排列的解释出现误读,后文将具体阐述．,体现在对歌诀及数码排列方式的误读．以致学生对图中出现的名词术语和歌诀不明其意,更不了解其背后蕴含的深刻的中国传统数学智慧．同时,也让教师处于为人师却不能解其惑的尴尬境地．基于此,了解贾宪三角的结构和功能,考察贾宪三角数码构造的历史方法,解析其中名词术语及歌诀的深刻内涵成为亟待解决的问题．下面就贾宪三角中的名词术语、数码和歌诀三个方面加以阐释,以期为数学教科书中相关问题的编纂和高中数学教师的课堂教学提供数学史方面的资源支持．

2 贾宪三角释义

贾宪三角由排列成三角形的数码、中国古代数学的名词术语和横线下方的五句歌诀构成．“开方作法本源”所讲相当于(a+b)n(当n=0,1,…,6时)的展开系数表及构造法[10]217．出自《释锁》⑥(6)⑥贾宪有数学著作3部,即《黄帝九章算经细草》9卷、《算法敩古集》2卷和《释锁》,都早已失传．算书,贾宪借助该算表进行开方的方法被形象地比喻为开锁,可见此算表对中国古代开方术而言如同钥匙般能够使计算变得简便．

2.1 名词术语释义

贾宪三角中自上而下共出现“左积”“右隅”“本积”“商除”“平方”“立方”“三乘”“四乘”“五乘”九个名词术语．这里的“积”“隅”包括歌诀中出现的“廉”,都是古代数学开方①(7)①开方是从已知正方形中不断割去正方形及曲尺图形的运算[11]281．专用术语,源自其几何解释．“积”取乘积之意．“隅”在《说文解字》中释为山角[12],在数学中则是多角形或多面体之角顶之意[13]．“廉”指堂屋的侧边[14]．以开平方为例,在(a+b)2的几何图示中(图2(1)),a2是一个大正方形,称为“积”,也被称为“方”(图2(2)[15])．b2是右下角的小正方形,称为“隅”,而2ab位于图形的两侧,称为“廉”．在贾宪三角中,“积”表示(a+b)n中an的系数,“隅”表示bn的系数,“廉”表示中间项an-rbr(1≤r

图2

“左积”即左侧斜行的“一”,包括最上方的“一”(又被称为“本积”)．“右隅”即右侧斜行的“一”.“左积”“右隅”说明了算表的排列方式和结构基础．开方运算“有实而无法,商约而除之”②(8)②意为开方运算只有被除数而没有除数,只能估商而除[15]451．．“商除”指的是通过先估商,再用商乘除数与被除数相减的开方方法③(9)③“以法与实商议而得商,用商乘法以减实,称为商除”[15]109．．在现代数学看来,“本积”和“商除”分别对应着(a+b)0和(a+b)1的展开系数,可使算表更完备．“平方”“立方”对应的数据是开平方根和开立方根的系数．相应地,“三乘”“四乘”“五乘”对应着求四次幂、五次幂、六次幂根时多项式的展开系数．在我国古代数学中,“自乘”代表平方,如《周髀算经》所述“勾、股各自乘,并之为弦实”[16]．“再乘”代表立方,程大位《算法统宗》卷六中的“开立方歌”明确指出“自乘为平方,再乘为立方”[15]499,所以“三乘”是开四次方,“四乘”是开五次方,依此类推．

2.2 数码释义

贾宪三角的核心是由28个数码构成的三角形,贾宪的构造方法与现代教科书中的构造方法有较大区别．湘教版高中数学教科书指出“杨辉在书中说明:表中每一行两端都是数字1,而其余位置上的每个数都等于它‘肩上’两个数的和”[9]199．这句话是不严谨的．贾宪三角的现代构造法确实如此,但杨辉在《详解九章算法》中说明贾宪的增乘方求廉法是自下而上,自右而左的．“以隅算一,自下增入前位,至首位而止……复以隅算如前升增,递低一位求之”[2]450(图3)．

图3 “开方作法本源”计算顺序

下面具体说明贾宪三角的构造方法．首先在右斜行写六个一作为“隅”,第二斜行的五个数是通过依次累加“隅”得到的,第二斜行的六是由1+1+ 1+1+1+1=6算出,五是由1+1+1+1+1=5算出,依次类推第二斜行计算完毕．接下来,不算右侧的六,将第二斜行的其他“廉”与“隅”相加,得5+4+3+2+1=15,作为第三斜行的首位,依次算出4+3+2+1=10, 3+2+1=6,2+1=3,第三斜行计算完毕．继续不算右侧的十五,算第三斜行的其他“廉”与“隅”相加,得10+6+3+1=20,作为第四斜行的首位,再依次算出6+3+1=10,3+1=4,第四斜行计算完毕．同理,第五斜行的数由第四斜行除二十外的其他“廉”与“隅”相加,即10+4+1=15,4+ 1=5计算而来.最后,第六斜行由5+1=6得来.至此所有的“廉”计算完毕[10]221-222(表1)．通过这样的方法可以计算n次乘方的任何“廉”．算完“廉”之后,将“积”补充在算表的左斜行,便完成了“左积”“右隅”“中藏者皆廉”的贾宪三角．

2.3 歌诀释义

贾宪三角的下方歌诀为:左袤乃积数,右袤乃隅算,中藏者皆廉,以廉乘商方,命实而除之．这里的“左袤”“右袤”是“左邪”“右邪”的误写[17]．“邪”古体作“衺”,和“袤”字形相近,“邪”又通“斜”①(11)①见[17].另,孙宏安认为,“袤”并未误写,长方形土地东西的长叫做广,南北的长叫做袤,南北引申为上下[18]．．

表1 贾宪释锁求廉法

歌诀的前三句说明了贾宪三角的结构特征．“左袤乃积数”与“左积”呼应,“右袤乃隅算”②(12)②“隅算”即“隅数”[13]．与“右隅”呼应．“中藏者皆廉”中的多个“廉”有不同的称谓,如在算表“五乘”中,从第二位起,从左至右依次为上廉、二廉、三廉、四廉、下廉[19]．

歌诀后两句“以廉乘商方,命实而除之”③(13)③“实”是古代数学除法中的被除数,在开方术中为被开方数．这里的“除”是“除去、减去”的意思[13]．,苏教版高中数学教科书中给出这两句话的解释:“以廉乘商方”说的是用各次廉乘商(一位得数)的相应次方;“命实而除之”是说从被开方数“实”中减去最后所得的廉与商的乘积[8]91-92．教科书中将“商方”释为“商的相应次方”有待商榷．事实上,这两句歌诀是中国古代数学开方术的关键步骤．钱宝琮认为,在“以廉乘商方,命实而除之”的前面还应加入“以隅乘商廉”．意思为:以商乘隅加入廉法,以商乘廉加入方法,以商乘方法从“实”中减去,增乘开方法就是这样验算的[17]41．梅荣照、李兆华也认为,后两句说明该图之用法．做开方运算时,如方根是两位数或多于两位数,在求得第一位数之后,并经减根变换,原开方式便变成以图中各廉为系数之方程．商得第二位数后,以商得数乘隅并入廉,乘廉从实内减去．此即“以廉乘商方命实而除之”．文中只提以廉乘商,未提以商乘隅,当是省略[15]536．

贾宪的开平方法用算筹布置“实”“方法”“下法”④(14)④“下法”中的“下”表示最下层,“法”有除数的含义,在开方术中用来辅助计算．三层,开立方法布置“实”“方法”“廉法”“下法”四层[17]37．这里“方”“廉”“隅”对应着开方过程中算筹摆放相邻的三个位置．下面以x3=1 953 125为例说明贾宪增乘开方法的步骤:

①置积为实,別置一算,名曰下法．

②实上商置第一位得数(1)．以上商乘下法置廉(1×1 000 000=1 000 000),乘廉为方(1×= 1 000 000),除实(1 953 125-1 000 000= 953 125)讫．

③复以上商乘下法入廉(1×1 000 000+ 1 000 000=2 000 000),乘廉入方(1×2 000 000+1 000 000=3 000 000)．

④又乘下法入廉(1×1 000 000+2 000 000=3 000 000)．

⑤其方一(300 000)、廉二(20 000)、下(1 000)三退．

⑥再于第一位商数之次,复商第二位得数(2)．以乘下法入廉(2×1 000+30 000=32 000),乘廉入方(32 000×2+3 000 000=364 000)．

⑦命上商,(364 000×2=728 000)除实(953 125-728 000=225 125)讫．复以次商乘下法入廉(2×1 000+32 000=34 000),乘廉入方(34 000×2+364 000=432 000)．

⑧又乘下法入廉(2×1 000+34 000=36 000)．

⑨其方一(43 200)、廉二(360)、下(1)三退,如前．

⑩上商第三位得数(5),乘下法入廉(5×1+360=365),乘廉入方(5×365+43 200=45 025),命上商(225 125-45 025×5=0)除实．适尽．得立方一面之数．

最后求得1 953 125的立方根为125．对应的现代解法如下:

图4 增乘开方法解题步骤演示

由增乘开方法开立方根的过程可知,“以廉乘商方,命实而除之”是中国古代开方法的关键步骤.中国古代开方术在不断的“廉乘商入方”“命上商除实”中实现减根变换的过程．

3 结语

中华传统文化博大精深,中国古代的数学成就如同一颗明珠在世界文化史中熠熠生辉．但由于中国古代数学与现代数学在名词术语和计算方法上存在较大的差异,教科书中介绍的中华优秀传统数学文化大多局限于介绍数学家生平、数学成就及其世界影响,而对中国传统数学中巧妙的算理算法、数学思想等核心内容介绍不够明确或全面,以致学生难以接触到中华优秀传统数学文化的精髓,多滞留于表面.正如高中数学教科书中的贾宪三角,学生只知其名称,不知其内涵,更不知名词术语中隐含的文化底蕴和数形结合的思想方法,对于其背后蕴含的中国古代数学智慧的结晶——增乘开方法更无从谈起．

中华优秀传统数学文化融入中小学数学课程是中国特色数学课程发展的重要途径,同时也要认识到将中华优秀传统数学文化融入数学课程并非生搬硬套,也绝非形式主义,而是需要更多的数学教育工作者将中华优秀传统数学文化“掰开揉碎”,以现代数学语言讲述中国古代数学的思想方法,在现行教科书中的课程结构中融合中华优秀传统数学文化,让学生体会中国古代数学思想方法的魅力,从而激发学生数学学习的热情,赋予高中数学课程更加旺盛的生命力．