平方根新授课的难点辨析及教学突破*

刘东升

(江苏省南通市教育科学研究院 226000)

1 从一次平方根优课评比的观课说起

最近参加本地区一次市级优秀课评比活动,短时间密集听了10节“平方根”新授课．参赛选手都经过了学校、县区层层选拔．参赛课题“平方根”提前一个月就公布,参赛教师有一个月的磨课、试教过程,所展示出来的教学设计非常精致,课堂呈现非常顺畅,“演课”味道偏浓．这里摘录一位获得一等奖的参赛教师的板书(图1)．

图1 平方根板书

从这位教师的板书中可以看出,该课遵循了数学知识的逻辑,也体现了数学教学的逻辑[2]．比如,开课阶段从乘方运算的逆运算出发,引出数的开方运算;进一步学习平方根时,按研究路径“生成定义→符号表示→归纳性质→解题运用”渐次展开．然而这样“一顺到底”的优课展示总是让人感到缺少了一点东西,失去了一些味道．正如海淀区数学教研员张鹤老师所指出的“教学仅展示正确的过程是不够的,也应暴露其中的曲折．”[1]下文主要围绕平方根新授课的难点辨析及教学突破谈谈笔者的一些思考．

2 平方根新授课教学难点的辨析

学生进入初中阶段之后,先学习有理数的加、减、乘、除、乘方这五种运算,它们的结果分别对应着和、差、积、商、幂,其中加与减、乘与除是互逆运算.接着学习乘方的逆运算——开方运算,从最简单的开平方出发,这些都是很自然的,对学生来说并不构成理解上的难点．

3 一次“课堂生成”助推了平方根教学难点的突破

教学往事 2018年底,笔者时任县区教研员,到一所乡村初中(江苏省海安市大公初级中学)执教随堂课(教研员到基层学校上课,一方面是与学校教师共同研讨,另一方面方便调研和诊评学情)．开课课题正是“平方根”．笔者从乘方的逆运算出发,引出开方运算的定义、平方根的定义之后,笔者安排学生同桌之间互相举例,巩固新学内容．接着安排几个同桌代表,一人出题,另一人回答,以下是教学片断．

生1:4的平方根是几?

生1同桌:±2.

生2:25的平方根是几?

生2同桌:±5.

生3:49的平方根是几?

生3同桌:±7.

生4(女生):26的平方根是几?

生4同桌(男生):(满脸涨得通红)不会.

师:同桌不会,生4你会做吗?

生4摇摇头,也不会．(众生大笑,生4很尴尬,满脸也胀得通红)

师:同学们,为什么笑?我请科代表帮助解释一下．

科代表:她出的题是错的!因为26不是哪个数的平方．

师:好的,请大家对照平方根的定义,再看看生4提出的“求26的平方根”是否符合定义?

科代表:好像是可以的,但我们不好求．

生4同桌:19的平方根是几?

师:很好!现在你们对平方根的理解更加准确了．

教后思考 这是一次“预设之外”(笔者本来准备在学生举几组例题理解平方根之后就直接讲授平方根的符号表示)的课堂生成,一位被“众生取笑”的“错题”引出了平方根的符号表示,让学生回到定义并类比有理数的减法学习并理解根号的意义,同时又化解了提出一个“错题”的“生4”的尴尬处境．让学生在真实的教学场景中学习新知、接纳新知,自然而然又印象深刻．

4 人教版与苏科版教材对比研究

人教版、苏科版教材在引入平方根时有所不同(见表1)．两种版本的教材都安排了一段情境引出新知,人教版的情境属于生活现实,随后给出算术平方根的定义是自然的,但给出算术平方根的符号表示则比较“生硬”,因为之前情境中的开方求值并不需要符号表示;而苏科版的新知引出的情境属于数学现实,出现了“直角三角形中已知两直角边为4,5,求斜边的长”,形成认知冲突——有理数范围内不可解,为后续引出平方根的符号表示提供了真实情境．

表1 人教版、苏科版教材平方根的引入方式对比

5 平方根新知引入的教学微设计

问题1图2、图3是两个完全相同的正方形,将它们沿对角线剪开后拼出如图4所示的大正方形．

图2

(1)若图2所示正方形面积为4,则它的边长是多少?

(2)若图4所示正方形面积为9,则它的边长是多少?

(3)若图2、图3所示正方形的面积均为8,则图4所示正方形的边长是多少?

(4)若图2、图3所示正方形的边长均为2,则图4所示正方形的边长是多少?

教学组织与立意阐释 第(1)—(3)问可以同时出示,教师追问学生是如何求解的．师生对话时要突出这里的算法体现了乘方运算的逆运算．进而教师给出开平方运算的定义,并将其结果命名为“算术平方根”,进一步安排学生围绕图示正方形面积进行举例,巩固所学开平方运算及算术平方根．如果学生举出一些开方开不尽的数,则引发课堂上的认知冲突,组织学生辨析,教师为了帮助学生解决疑惑,讲授算术平方根的符号表示．如果学生比较“聪明”,举例中都没有涉及开方开不尽的情形,则教师出示第(4)问,促成“认知冲突”,引出符号表示．顺便指出,以上教学情境的创设,主要促进学生在实验、观察与探索未知的过程中获得“操作性理解”[5],即当学生观察一个图形时,可以通过操作图形来得到解题的灵感,而在以不同的方式更改图形之后,得到操作性理解.

后续可安排例题或习题,巩固训练平方根、算术平方根等概念．(限于篇幅,这里略去相关例、习题内容)

6 写在后面

教师在开展教学设计之前要精准定位教学目标,想清教学重点、辨明教学难点,随后再选编或重组学材,设计相应的教学活动,突出教学重点、突破教学难点,达成教学目标．很多情况下,那些上得“一顺到底”的“精致”课堂,往往是教师对教学难点“一带而过”,掩盖了学生的疑惑点、易错点．本文以平方根教学难点的辨析为例,试图“以小见大”,期待看到更多同行关注和研究课时难点这些教学基本问题．