高阶思维视域下高中数学问题设计策略*

杨 勇

(江苏省镇江市实验高级中学 212003)

高阶思维又称高级思维或高层次思维,其英文是“higher-order thinking”,简称HOT．高阶思维的提出始于布鲁姆(B.S.Bloom)的认知领域教育目标分类学,通常将识记、领会和应用作为低阶思维,分析、综合和评价作为高阶思维,相较于低阶思维,灵敏性、深刻性、创新性是高阶思维的主要特征．数学是思维的科学,而问题是数学的心脏,在数学知识的形成过程中一直扮演着不可或缺的角色,因此在数学教学中对学生思维能力的培养自然离不开问题．让学生发现、提出问题是思维的开始,问题得到解决则标志着思维完成进阶,而要想让学生的思维完整经历从开始萌芽到完成进阶的过程,则需要教师在教学中精心地进行问题设计,通过问题引导学生“像数学家一样地思考,像工程师一样地解决问题”．可见高质量的问题设计是激发和支撑学习者思维的源泉,是培养思维能力的重要抓手．

目前的高中数学教学中,有的问题设计简单、肤浅,探究价值不大,只呈现表面的热闹,学生的思维得不到锻炼;有的问题又超出学生的能力水平,探究不下去,取而代之的是直接向学生实施知识的“填与灌”,学生缺乏主动建构知识的过程,导致对知识的建构不稳固,思维的培养和素养的落实无所依托．这种现象背后的根本原因是教师对以问题促进思维提升的策略研究不够深入,本文从下面三个方面谈一下如何通过问题设计促进学生高阶思维的培养．

1 在知识“联结点”设计问题,引导问题的发现和提出,增强思维的灵敏性

建构主义教学观认为对于新概念的学习,教师应从学生原有的知识基础和生活经验出发,通过提供适当的问题情境和实例引起必要的认知冲突,引导学生发现和提出问题,关注学生真实的思维活动,让学生在自主建构新的认知结构中增强灵活性,促进高阶思维能力的提升．

案例1苏教版“指数(第1课时)”

为研究指数函数,需要把指数幂运算的范围进一步推广.教材从已知的平方根、立方根的意义入手先学习n次方根,再从几个特殊的例子归纳发现分数指数幂与n次方根概念的联系,规定了分数指数幂的意义.在教学实践中,学生会比较容易接受这一过程,但是会疑惑为什么先学根式,像被老师牵着走.因此,本节课从学生初中已经熟悉的整数指数幂的定义及运算性质入手,采用初中时引入零指数幂和负整数指数幂的定义过程,在“使整数指数幂的运算性质仍然成立”的思想指引下,将整数指数幂推广到分数指数幂,建立分数指数幂与n次方根的联系,得到分数指数幂的意义.既让学生认识分数指数幂的含义,又能体会指数幂运算的推广过程的核心思想是“使原有的运算性质仍然成立”.基于这样的思考,设计如下两个问题．

问题1某景区统计了近几个月的游客人次,发现在免门票政策带动下,每月的游客人次都是上一个月游客人次的1.1倍,如果按照此规律增长下去,那么

(1)2个月后的游客人次为现在的多少倍?

(2)3个月后的游客人次为现在的多少倍?

(3)3个半月后的游客人次为现在的多少倍?

师:这是我们初中学过的幂运算an,当指数为正整数时,其意义是n个a自乘;当指数为小数或分数时,需要把幂的指数拓展.怎么拓展呢?

师生活动 教师引导学生回忆数系的扩充过程,从而得到指数的拓展路径.

设计意图指数的拓展过程与数及其运算的扩充过程有关联.问题(3)是要激发认知冲突,让学生认识到拓展指数的必要性,通过回忆将本节课内容放在数系扩充的大背景下进行,体会数学的整体性的同时培养提出问题的能力.

问题2零指数幂a0和负整数指数幂a-n是如何引入的?(回忆初中由正整数指数幂到整数指数幂的拓展过程)

师生活动 学生回答a0和a-n的意义,教师适当引导,使学生体会指数的拓展是为了使正整数指数幂的运算性质适用范围得到扩充.最后指出,负整数指数幂的引入消除了运算性质中的限制,扩大了适用范围,简化了运算性质.其中幂的乘法对应指数的加法,幂的除法对应指数的减法,引入负数后,加减运算统一,从而幂的乘除运算统一,运算性质合并为三条.

设计意图学生通过回顾初中正整数指数幂到整数指数幂的拓展过程,体会指数幂运算的拓展过程的核心思想是原有的运算性质在新的范围中仍然成立,这样在知识形成“联结点”设计问题,培养学生提出问题、分析问题的思维能力．

2 在探究“关键点”设计问题,促进问题的分析与解决,增强思维的深刻性

问题探究是用来帮助学生不断跨越最近发展区的桥梁,在问题难度的把握上要有梯度,要在“关键点”处搭台阶,能够不断让学生跨越中间地带顺利达到下一邻近发展区,这样既能使学生在任务面前有适度的紧张,又不会压力过度,在问题串下,让学生感觉到问题是自己解决的,对学生思维发展的促进作用会更强．

案例2苏教版“等比数列前n项和公式(第1课时)”

“错位相减”作为等比数列求和公式推导的重要方法,是历史遗留下来的经典方法．教材中通过“国王赏麦”的故事抽象出以1为首项、2为公比的等比数列的前64项和问题后直接给出一般形式的错位相减法．通过查阅文献,追溯等比数列前n项和公式推导的历史脉络,特殊的等比数列求和公式最早出现在公元前300年,但具体的计算过程未知．公元前3世纪,欧几里得利用比例的性质,得到了等比数列前n项和公式．9世纪印度数学家马哈维拉在《计算方法纲要》中给出了一般性推导．错位相减法直到18世纪才在欧拉的《代数学基础》中登场．历史相似性理论提出“个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序”,“错位相减法”的迟迟登场,也侧面说明学生较难自主构建该方法．基于这样的思考,设计如下问题串．

问题1有一天,老师在街上看到某大型复印公司贴出如下广告:“本部承接超大型工程图纸复印业务,规格可达A1、A0……”同学们,A1、A0的纸有多大?能不能根据手边常见复印纸的大小,推算出A1和A0纸的大小?把A5到A1的纸按从小到大的顺序平铺(图1),其总面积是A5纸的多少倍?你是怎样计算的?

图1

生:记A5纸的面积为单位1,观察这个A系列纸张的生成图(图2),从中获得S5=1+2+ 22+23+24=31=25-1．继续操作下去,可以推得Sn=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1．

师:对于更一般的等比数列,其前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,能否用一个简洁明了、方便计算的式子来表示前n项和Sn与序号n之间的对应关系呢?

设计意图“A系列纸张”这一情境不仅蕴含着等比数列求和的问题背景,也隐藏着解决等比数列求和问题的方法——图解证明．

问题21+3+32+…+3n-1=3n-1吗?

和公比为2一样,我们先解决前几项和,比如n=4．请同学们根据问题1的经验,猜测一下前4项和与数列的哪一项有关?

设计意图在这一环节中,学生通过操作图形(图3)找到面积之间的关联,再翻译为数学语言,实现数学思维的可视化．这一图解方法较为直观地展现了式子求和后,只剩下第n+1项与首项的过程,并且按此方法继续推理,可以得出以1为首项、3为公比的等比数列前n项和公式．

图3

问题3在刚才的探究活动中,我们得到了:

1+2+22+…+2n-1=2n-1,

设计意图从问题1到问题3,学生利用图解证明,得到q=2,3,4时1+q+q2+…+qn-1的求和公式,找出一些规律,猜想推测出满足规律的公式,并对q是否为1的情况进行讨论.

问题4事实上,数学中的很多定理都经历了先猜想、后证明的过程．如何证明我们的猜想呢?

师:回顾图解证明的过程,对首项为1、公比为2的等比数列,其前n项和转化为第n+1项减去首项;观察等式的左右两边,等式的左边只有数列的第1项至第n项,右边却出现了数列的第n+1项,那么这第n+1项是从哪里来的?等式的左边只有加号,右边怎么出现了减号?第2项到第n项怎么消失了?中间省略了哪些环节?

生:根据等比数列的定义,an·q可以得到an+1,数列的相邻项之间都差了q倍,因此,在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①左右两边同时乘以q,得到qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn②.(下略)

师:非常棒,你和大数学家欧拉用了一样的方法——错位相减法,得到了等比数列的前n项和公式．通过乘以公比派生出新式子,作差将不定项求和转化为两项差,进而得到公式．

设计意图首先是归纳,通过对简单、特殊的等比数列求和,找出一些规律,然后猜想满足规律的公式,最后通过证明确保公式的正确性．这种通过归纳—猜想—证明的研究过程是思维深刻性的体现．

3 在变式“发散点”设计问题,渗透问题反思和评价,增强思维的创新性

高阶思维培养是一个复杂且抽象的过程,往往需要通过问题变式来实现.在教学中,教师可以创设系统完整的问题网络,引导学生主动参与、相互协作,对于一些开放性问题,接受标新立异,鼓励学生畅所欲言,勇敢表达自己观点．让学生在积极的思维反应过程中主动建构知识,探寻知识和问题间的联系,大胆创新,进一步发展高阶思维能力．

案例3苏教版“基本不等式(第1课时)”

从知识结构全局看,相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础．本节课是在学习了不等式基本性质基础之后研究的一种重要且基本的不等式类型,它在解决其他不等式问题中具有重要作用.

这种“基本”主要体现在以下三个方面:(1)它与很多重要的数学概念和性质相关;(2)基本不等式的证明方法或推导方法很多;(3)基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例,借助这个模型可以求一些代数式的最大值和最小值．

基于以上分析,设计如下问题串:

问题1欣赏数学家大会会标及其抽象图例(图4),提炼出里面蕴含的不等关系并通过微课探究重要不等式等号成立的条件;在实数范围内证明重要不等式．

图4

思考1.1 从会标中可以抽象出哪些几何图形?

思考1.2 如果从正方形和直角三角形的面积这个角度出发,你能找到什么样的不等关系?

思考1.3 对于任意的直角三角形,上述不等关系恒成立吗?

思考1.4 对于任意实数a,b,不等式a2+b2≥2ab依然成立吗?

设计意图通过适度点拨,引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系,抽象出重要不等式,增强学生用“形”表现“数”、用“数”解释“形”的意识．

问题2借助重要不等式推导基本不等式,给出基本不等式的定义并探究基本不等式与重要不等式的联系和区别．

思考2.2 重要不等式与基本不等式的联系和区别．

设计意图在实际教学中,为了让学生能自然联想到用替代法从重要不等式推导出基本不等式并让学生认识到重要不等式体现的是两个实数平方和与乘积之间的不等关系,所以提出问题“那我们如何从重要不等式中得到两个数和与积的不等关系呢?”通过这样的设问引导,让学生经历从一般到特殊的逻辑推理过程．在得到基本不等式的过程中,体会重要不等式和基本不等式实际上是一脉相承的．通过探究二者之间的联系和区别,更加深刻地认识基本不等式的适用范围、等号成立条件以及其代数结构特征．

问题3能给出基本不等式的几何解释吗?

在教师的引领示范下,学生以小组讨论的形式探究并展示基本不等式的几何解释．

设计意图已知基本不等式,寻求它的几何解释．使学生体会从数到形的转化过程,让学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度再次认识基本不等式;通过运用数学符号语言、自然语言和图形语言三种方式刻画基本不等式,将几何意义和代数意义一起讲解,最终达到加深对基本不等式深入理解的目的．通过小组讨论,利用信息技术进行成果展示,给学生足够的课堂参与机会和自我领悟提升的空间.让学生在自主探究、合作交流中获取知识和过程性经验,发展“四基”“四能”．

问题4通过这节课的学习,有什么学习心得?可以从知识层面、方法层面进行分享．

教师用思维导图形式进行展示(图5).

图5

设计意图通过问题促进学生对本节课进行回顾,在回顾中明确本节课的学习内容,强化学习重点,巩固所学知识;通过思维导图,形成知识框架,促进学生评价、反思能力的提升．

总之,以发展学生高阶思维为目的的问题教学可促进学生思维能力的提升,可以在实践中让教与学达到双赢．通过找准问题设计的视角,在知识形成“联结点”、探究问题“关键点”、问题变式“发散点”这三处设计教学问题,能有效地提高学生的分析、评价、创造以及批判等高阶思维能力．思维,尤其是高阶思维的培养是一个长期且复杂的过程,可以在教学工作中从问卷编制、样本选择、课堂实践等方面继续完善和丰富,进一步探索培养高阶思维更有效的策略．