指向数学抽象素养水平进阶的教学设计——以“直线与平面垂直”一课为例*

吕建林

(江苏省南京市第一中学 210001)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自国家级示范高中,学习基础好,有一定的数学抽象、空间想象、逻辑推理能力．

1.2 教材分析

所用教材为苏教版《普通高中教科书·数学(必修2)》,“直线与平面垂直”是第13章“立体几何初步”第2.3节“直线与平面的位置关系”第2小节的内容,它是研究直线与平面垂直、平面与平面垂直等位置关系,求解空间角和距离问题的重要基础,也是本章的重点和难点．

1.3 学习目标

课标要求 通过直观感知,了解空间中直线与平面的垂直关系,归纳出直线与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的性质定理．能运用已获得证明的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．

学习目标 (1)通过观察和分析过空间一点与已知直线垂直的直线的特点,能得出直线和平面垂直的定义,提高直观感知、数学抽象能力;

(2)通过运用工具操作确认,能发现并归纳出直线和平面垂直的判定定理,了解如何用向量方法论证该定理,发展逻辑推理素养;

(3)会运用线面垂直的定义和判定定理证明相关命题,提升推理论证能力;

(4)能从实际情境中发现和提出与线面垂直相关的问题,得出线面垂直的性质定理等结论,发展数学抽象、直观想象、数学建模素养．

2 教学过程

2.1 把握知识联系,助力概念抽象

问题1经过空间一点A和一条已知直线a垂直的直线有几条?

问题2请同学们尝试用笔代替直线,操作感受并判断经过空间一点A与已知直线a垂直的这些直线有什么共同特点?

定义 如果直线a和平面α内的任意一条直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直,记作a⊥α．

设计意图日常生活中直线与平面垂直的位置关系随处可见,学生的学习难点是与线线垂直相联系．为此,笔者从“线动成面”的视角,让学生发现过空间一点与已知直线垂直的无数条线形成一个平面,学生从中直观认识到直线与平面垂直的位置关系,由于该点可以是平面内任意一点,容易发现平面内的任意一条直线都与该直线垂直．这样的设计,基于学生认知基础,直击定义核心,便于理解建构,有助于提高学生数学抽象和直观想象能力．

2.2 巧设学习任务,促进素养进阶

活动1请同学们做一个实验,将一支铅笔(形状为正六棱柱)竖立在桌面上,判断铅笔所在直线与桌面所在平面的位置关系,并作出解释．

直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直．

问题3如何证明该定理?

例题已知:三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,SA=AB,M为SB的中点,求证:AM⊥平面SBC(图1)．

图1

设计意图学生的知识基础和思维能力存在差异,有必要设计面向不同素养水平学生的探究活动．活动1的实验给予学生宽广的探究空间,有的学生使用三角板上的直角抵靠在线面交界处进行检验;有的从直线上一点出发引出一条线段,看线段的另一端点与线面交点的距离是否等于定长;有的直接从铅笔侧棱与底面六边形的两边是否垂直得出结论．丰富的视角带来了思维的碰撞,不同程度地提升了学生的探究意识和素养水平．

活动2天下武功,唯快不破．电影《武状元苏乞儿》里(图2),赵无极使用了一种绝世武功,叫做“移形换位”．他迅速从僧格林沁的身后平移到身前,却没有看到任何动作,身形之快,令人惊叹．请从上述电影场景中抽象出一个与线面垂直有关的命题并尝试论证．

图2

结论1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面．

结论2 (直线与平面垂直的性质定理)垂直于同一个平面的两条直线平行．

设计意图丰富有趣的生活情境,有利于激发学生的探究兴趣,能更好地检验学生发现数学问题、提出新命题、主动运用数学知识解决问题的能力．学生从电影片段中观察到人物的位置变化,联系立体几何知识,从中抽象出两条直线与平面垂直的位置关系．学生如果从“与平面垂直的一条直线平移后仍然保持与该平面垂直”的视角出发,可以发现结论1;如果从“前后两条直线都垂直于平面”的视角出发,可以发现结论2．这样的场景设计,给了学生开放的探究空间、多样的选择,给了学生研究的动力,帮助学生主动建构新的定理和结论．

2.3 设置实践作业,留出生长空间

课后作业 略．

课外探究 如果把学校围墙外的一栋楼房看成一个长方体,请你在校内检测该楼房的一条侧棱是否与地面垂直．请制定一个检测方案,并尝试论证你的检测结果．

学后反思 (1)画出本主题学习的概念图;(2)结合本主题提出一个新的问题或研究方向．

设计意图学习不仅发生在课堂,也应延伸到课外．评价任务既可以是巩固当天学习内容的书面作业,还可以是一些可选择的、可动手操作的实践作业．实践作业不仅能丰富作业的层次,也能引导学生进一步探究．本节课留置的课外探究问题,学生不难想到用一根铅垂线去检验,但是仅从单一角度观察铅垂线与大楼侧棱重合,并不能得出侧棱垂直于地面．进而启发学生抽象出“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直”“若两个相交平面都和地面垂直,则这两个平面的交线也垂直于地面”等命题．这个探索将空间点、线、面垂直关系的研究拓展到了两个平面互相垂直,为学生打开了新的研究方向．学后反思的设计进一步指导学生完善本单元知识结构,学生可以主动类比空间平行关系开展垂直关系的探究,培养了学生基于课堂学习、课后探究开展反思学习、迁移学习的能力．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

核心素养的培育应该融入学习和评价任务,贯穿于学习的全过程．本节课的设计,重视结合学生的数学抽象素养发展水平,设计符合学生认知特点、具有开放性的学习活动．从课题引入、定义生成,到判定定理、相关性质的探究,以及结合真实情境的评价任务设计,都体现了对数学抽象素养的进阶要求．在充分尊重学生的知识经验的基础上,通过合适的任务,发挥其主观能动性,让他们主动发现问题、解决问题,开展空间想象和推理建构,有计划、有层次地提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养．

3.2 教学反思

(1)基于认知经验,设计贴近学生数学抽象水平的学习任务.传统教学设计,通常是从旗杆与地面等场景的直观感知出发给出定义,简单直接．考虑到本节课授课对象是国家级示范高中的学生,基于学生的学习能力和已有三维空间中线线垂直关系的知识基础,设置了一个达到抽象水平二的学习任务．让学生从关联的情境出发,抽象出直线与平面垂直的定义,既有利于学生理解定义中“与平面内任意一条直线垂直”这一核心要素,也有利于构建直线与直线垂直、直线与平面垂直之间的联系．

(2)基于生活经验,设计提升数学抽象素养的探究活动.教学设计的难点在于,教师要将知识合理地贯穿到适当的学习情境中去,避免生硬灌输,要让学生自然发现、主动探究、合理归纳、严谨论证、灵活应用．本节课在性质定理探讨中设置了一个抽象水平三的探究任务,让学生从电影场景中抽象出数学命题并自主探究论证．在知识的交汇点上设计探究活动,让学生从生动的、开放的问题情境中发现新的数学命题,得出多个结论．学生积极参与、自主建构,取得了较好的教学效果．

(3)基于探究经验,设计富于挑战的素养评价任务.核心素养水平的考查离不开真实情境下的综合性问题解决．课外探究设计的是检测楼房侧棱是否与地面垂直的问题,它既是一次探究活动,也是一项评价任务,对学生综合能力的要求较高．不仅考查学生在真实场景中运用本节所学知识和方法解决实际问题的能力,而且能促使学生深入研究,在解决问题的过程中发现新问题,自主抽象出平面与平面垂直等新课题,进行探索论证．培养学生合作探究的意识、动手实践的能力,养成优秀的学习品质．