构图艺术中的数学:黄金分割

张维忠 林梦奇

(浙江师范大学教育学院 321004)

当你绘制一幅图画时,你会如何使这幅画更美?会将人物和景点铺满整个画面,还是根据画面的意境将人与景放在一定的位置上?会使这幅画中所有的颜色占相同的面积,还是根据绘画的内容确定颜色的搭配与比例?

不妨先来看看中国古代画家是通过怎样的构图,使作品更加具有美感的．《溪山行旅图》(图1)是北宋山水画家范宽的代表作,被董其昌誉为“宋画第一”,在构图、技法、墨色等方面都体现了其高超的造诣．画中的巨峰巍然耸立,占据画面的三分之二．山脚在画面三分之一处,近处大石兀立、老树挺立、溪水潺潺、雾气氤氲．山路上一队旅人赶着四头驴走过,呈现一幅夏日山阴赶路图,人畜虽皆画得小如蚁,却真实生动．如此丰富的景观位于画面的三分之一处,与占据全图三分之二的山峰形成小与大、复杂与单纯的对比,有如天地与苍生之间的关系,一种天人呼应的崇高美感油然而生．

图1 溪山行旅图

范宽在构图时紧紧抓住了近似1∶2的比例,使画面整体和谐而又气势磅礴．通过精确的测量我们发现,这个比例大约为0.618．这个比例像诗一样美妙,也被称作“黄金分割”．利用黄金分割进行构图的“黄金分割构图法”被广泛应用于中西方绘画作品中,使画面给人自然、舒适、妙不可言的感觉．除了构图艺术中的应用,黄金分割还应用于美学、生物学、生产生活等各个领域．黄金分割从何而来?又是怎样给人带来美的感受?让我们来一起探寻“美的密码”——黄金分割．

1 黄金分割与黄金图形

1.1 黄金分割

据说在古希腊时期,一天数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,前580?—前500?)走在大街上,当经过铁匠铺时,他听到铁匠打铁的声音非常好听,便驻足倾听．他发现铁匠打铁的节奏很有规律,这个节奏的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来,即黄金分割．

图2

在西方数学传入中国之前,中国人不曾直接论述黄金分割．但是在中国古代数学中也有记载,且实际上也蕴含着黄金分割,只是表达方式有所不同．中国古代数学中的黄金分割不像西方数学中演绎得清楚明白,但仍可以从许多中国古代的例子中推导和演绎出黄金分割．从勾股定理到《周易》的“大衍之数五十,其用四十有九”;从《河图》《洛书》神秘的数字组合图案到“贾宪三角形”的各项系数;从老子“三生万物”的数字级数到中医“五运六气”学说的主运模式,无不渗透着黄金分割的思想．李廷基、梅文鼎、杨作枚等清初历算学家在《几何原本》的基础上,结合自身认识对黄金分割进行推理论证,展现出中国算术特有的论证模式．与西方对其理解运用不同,中国的算术学更加注重数学的应用性[2]．虽然中国古代对黄金分割的研究没有古希腊早,但它是由中国古代数学家独立创造的,后来传入了印度、阿拉伯等国家．在文艺复兴时期前后,黄金分割又被阿拉伯人传入了欧洲,被称为最神圣的比例．而后这一数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而获得许多新的性质．

1.2 黄金图形

有一些图形的边角关系中也暗含着近似0.618的比例,这样的图形被称作“黄金图形”．

图3

2 中国古代国画中的构图奥秘

《溪山行旅图》(图1)整体采用的是中轴式、巨碑式构图,层次分明,中正平衡,画面朴实稳定,比例精妙．山脚的树木将整体画面按黄金分割进行划分,这样精确的比例分割,使主体突出,对比强烈．远景山形圆浑,占满了画面的约0.618,中峰巍峨,顶天立地,雄伟壮观．在有限的画布上绘出了天地自然的宏大,满幅的效果,充斥着永恒、稳定、包容的视觉感．图中山体右侧的山涧中有一条瀑布直泻而下,峻厚的山峦长着茂密的树木,岩石的皴纹历历可辨,显示出逼人的磅礴气势．对画面主体山峦的外轮廓进行切割,一个矩形被划分了出来．其顶部的短边是基于山体顶部的最高点画成的,短边与长边之比与黄金比例相差无几,构成了一个和谐的黄金矩形．而这个黄金矩形也恰好包含了这幅作品中的主要表现对象．

“古人有法而不言法”．虽然没有史料可以佐证范宽对黄金分割的具体运用,但从其画作中却可以看到他对黄金比例的细致把握．这些黄金比例的关系,或许是范宽凭借着绝佳的审美直觉,研究出的美的数学比例．原来,这些令人赏心悦目的作品背后还隐藏着数学的密码．

除了《溪山行旅图》,许多著名国画中都巧妙地运用了黄金分割,使作品具有艺术性、和谐性．被誉为“画中之兰亭”的《富春山居图》(图4)用墨淡雅,节奏变化丰富．作者黄公望以浙江的富春江为背景,善用黄金比例,使景与留白、山与水之间的比例疏密得当,画面呈现一种极致的美感．北宋著名画家郭熙的《早春图》(图5),其主山与全山的比例中也蕴含着黄金分割[3]．画面气势浑成,情趣盎然,表现了初春时北方高山大壑的雄伟气势,渲染出画面宁谧而生机勃勃的氛围．

图4 富春山居图

中国十大传世名画之一《千里江山图》(图6)画面色调明亮、层次分明．底色与蓝绿色的面积比、山石中绿色与蓝色的面积比,整个画面的色调都在巧妙地运用黄金分割．王希孟的创作细致入微,不愧为集北宋以来水墨山水画之大成．黄金比例的灵活运用能够使画面关系明确、主次分明,给人以自然舒适、和谐愉悦之感．

中国古代画家们虽然没有明确提出黄金分割法的使用,但是从流传的作品中可以看到,在他们的艺术实践中细致地把握着这一数学的黄金原则．黄金分割法的使用,从内容到色彩,大到整个画面,小到把握一根线条,无处不在．

3 黄金分割构图法

3.1 画家如何利用黄金分割构图

黄金分割在数学中是非常准确的数值,但在艺术中并不能机械地运用,数学是理性的,艺术是感性的,艺术只要大概符合这个比例即可．在黄金分割构图(图7)的基础上,衍生出九宫格构图法(图8)、黄金螺旋线构图法、对角线构图法等方法．

图7 黄金分割构图法

其实,在中国传统绘画中就有类似黄金分割的论述,在中国的《画论》中叫做“三七停”．三七停构图先用黄金分割将画面横竖各分成3份,取 1∶0.618的点,而绘制出九宫格图．主体可以处于中间的任意一交点上,打破画面的均衡,也易于形成韵律节奏,使画面活灵活现．但这样的方法实际操作起来确有不便,因此,常用三等分九宫格．这种绘画的构图方式在西方油画中也有运用,从摄影诞生后也同样被借鉴到了摄影艺术之中．

国画《九寨多泉瀑》(图9)中,作者以上下分段取势,整体上虚下实,使画面既有空灵感又有韵律感,具有诗情画意．除了国画,西方油画中同样也适用九宫格构图法．达·芬奇的名画《最后的晚餐》 (图10)也采用了这样的构图方式,利用九宫格构图法将画面中的人物分割成几个不同的板块,呈现12门徒或震惊、或愤怒、或激动、或紧张的神态．

图9 九寨多泉瀑

九宫格构图能使画面具有方正的静态之美．而黄金螺旋线(图3)能够给人带来无限延伸的动态美的感受,画家在绘画中也常以此进行构图:以画面的主体作为起点,也就是“黄金螺旋线”绕得最紧的那一段,画面的其他部分则绕着螺线慢慢旋转展开．这样的构图通过无形的螺旋线条,吸引观赏者的视线,创造出富于变化的动态美感．

著名画家达·芬奇也是一位数学家,他是黄金分割的超级“粉丝”．他的名画《蒙娜丽莎》(图11)中,蒙娜丽莎的脸型接近于黄金矩形,头宽和肩宽的比例也接近黄金分割．沿着蒙娜丽莎的鼻子、下巴、头顶、肩膀和手等重要部位绘制光滑的曲线,可以画出一条黄金螺旋线．原来,蒙娜丽莎微笑的秘密,就是黄金分割．

图11 蒙娜丽莎

当然,在实际创作中,画家不可能一味地拿着直尺测量,机械地运用黄金分割进行构图．除了构图中运用黄金分割,其实它也可以运用在画面的内容、色彩、笔墨、浓淡干湿等各种关系．画家借助数学的魔法,赋予了艺术作品和谐、美妙的感受．

3.2 中考与高考中的黄金分割

黄金分割所衍生的黄金分割比、黄金分割螺线、黄金分割三角形、黄金分割矩形中蕴藏着丰富的中华优秀传统数学文化,近些年来,它已成为中高考题的热门题材．下面,我们再来看看数学中考与高考试题中有哪些关于黄金分割的内容．

图12

(1)若AC=20 cm,则AB的长为．

(2)如图14,对边长20 cm的正方形进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折到CE上,点B对应点H,得折痕CG．试说明:G是AB的黄金分割点．

图14

(3)如图15,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE>DE),连接BE,作CF⊥BE,交AB于点F,延长EF,CB交于点P．他发现当PB与BC满足某关系时,E,F恰好分别是AD,AB的黄金分割点．请猜想小明的发现,并说明理由．

图16 断臂维纳斯

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

(参考答案:B)

4 如何运用黄金分割构图法完成一幅绘画作品

黄金分割能给人带来美的享受,黄金分割构图法则能使一幅画呈现和谐之美．你能运用黄金分割构图法完成一幅美丽的绘画作品吗?请完成如下活动．

活动1 黄金矩形因其长宽比为黄金比例有着独特的美感．当绘画作品的画布为黄金矩形时,画面更富有和谐之美．那么怎样才能得到黄金矩形的画布呢?下面给出了两种方案,请你根据提示,得出一张长为30 cm的黄金矩形画布,并试着证明这两种方案的合理性．

方案1(折叠法)请根据如下提示,动手操作,利用宽为30 cm的矩形长纸条,折出一张长为30 cm的黄金矩形作为绘画的画布．

(1)在矩形长纸条的一端,利用图17的方法折出一个正方形,然后把纸片展开;(2)把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平(图18); (3)折出内侧矩形的对角线AB,并把它折到图19中的AD处;(4)展平纸片,按照所得D点折出E点,矩形BCDE就是黄金矩形(图20)．

图17

图19

方案2(尺规作图法)阅读数学家海伦(Heron of Alexandria,10?—70?)利用尺规作出黄金比例的方法．根据海伦的方法,进行动手操作,利用尺规裁剪出一张长为30 cm的黄金矩形作为绘画的画布．

图21

活动2 思考还有其他方案能得出黄金矩形吗?进一步证明得出的矩形是黄金矩形．

活动3 运用“黄金分割构图法”进行构图,绘制一幅美丽的图画．

活动4 向你的同学、家长或老师展示绘画作品与活动报告,并汇报设计理念．

活动5 完成如下活动评价表(表1),并进行回顾反思．

表1 数学活动评价表

5 无处不在的黄金分割

5.1 黄金分割在美学中的应用

在古代中国,常利用黄金分割使国画构图、书法笔阵、礼乐器物、图案纹饰等更具美感．早在公元前14年,殷商甲骨文中的“旬”(图22)、“士”等字就与黄金螺旋线有关[4]．《兰亭序》《毛公鼎》等著名书法作品中大部分的字都符合黄金比例．2008年北京奥运会的会徽“中国印·舞动的北京”(图23)以印章作为主体表现形式,蕴含着浓厚的中国韵味,其图像主体(白色“京”字)部分的面积与剩余部分的面积之比同样符合黄金分割[5]．原来像这样既承载着中华优秀传统文化又蕴含着昂扬的时代激情的图案也蕴藏着数学的奥秘．

图22 甲骨文“旬”

在注重祭祀礼制的中国古代,黄金比例也被广泛地运用到了器物的制作中．像司母戊大方鼎(图24)、商大禾方鼎等礼器的长宽都符合黄金比例,这使鼎美观而庄重．传统纹样中也常用黄金螺旋线来装饰,从上古岩画到战国铜镜上的蟠螭纹(图25),还有我们熟悉的祥云图、飞天图,都展现着绵延不绝的生生之美．

图24 司母戊大方鼎

仔细观察中国武术的一招一式,你会发现表演者的身形总能呈现一种美的比例．这其实是黄金分割蕴含的数学原理对武术动作的规范与运动规律的把握提供了参考[6]．类似地,芭蕾舞演员总是踮着脚起舞,这也是因为踮脚能够使其身材比例更接近黄金比例,而使舞姿更富有美感．

在西方,黄金分割也在绘画、雕塑中唤起人们的审美感受．号称世界上最美的雕塑——断臂维纳斯,她从脚下到肚脐的高度跟整个雕塑的高度符合黄金分割比．同样运用黄金比例展现艺术之美的雕塑还有《大卫》《宙斯》等等．数学的密码与艺术的结合带来了非凡的和谐与美的感受．

5.2 黄金分割在音乐中的应用

也许自从毕达哥拉斯让数学走进音乐,音乐与黄金分割的融合似乎成了必由之路．作为中国传统音乐文化符号,古琴的形制体现了中国“天人合一”的哲学理念,部分官制琴的琴身比例与黄金分割一致．由“三分损益”原理设计的骨笛、笙管、钟鼓等乐器,无一不体现着黄金分割的思想．

其实在音律、音程、调式、曲式中,都有黄金分割的存在,而且还成为了乐曲历久弥新的法宝．《义勇军进行曲》全曲37小节,前奏、第一段与第二段之间的小节数均符合黄金分割．全曲利用乐句之间的变化,营造出一种迸发的趋势,形成一种不可遏制的力量．《黄河大合唱》《游击队之歌》等曲式结构中也包含了这样的美学比例．莫扎特(Wolfgang Amadeus Mozart,1756—1791)《D大调奏鸣曲》第一乐章的高潮位于第99小节,乐章全长160小节,两者之比恰为0.618．莫扎特的大部分钢琴曲中都应用了这个方法,以至于有人评价莫扎特是一位喜欢数字游戏的天才．当乐器激荡起乐章时,悠扬的旋律起起落落,数学上的比例之美,通过乐声得到了传达．

5.3 黄金分割在建筑中的应用

黄金分割的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的价值,在建筑中显示了巨大的作用．

在中国的寺庙建筑中,黄金分割常常与天圆地方的概念相结合．山西的五台山佛光寺大殿、北魏时期的嵩岳寺塔、辽代的应县木塔中都有黄金分割的出现．故宫中最大的宫殿太和殿位于故宫中轴线上,是故宫的核心．太和殿广场长宽与黄金分割比十分接近．不仅是古代建筑,上海东方明珠塔同样也运用了黄金比例．建筑师们巧妙地在塔身0.618高的位置上装置了球体与太空舱,既可供游人登高俯瞰城市景色,又使塔身有了曲线变化,使整体协调美观．

古希腊人民为祀奉智慧女神雅典娜所建造的帕特农神庙,其宽高比约为0.618,分析其结构关系,会发现与黄金螺旋线密不可分．胡夫金字塔是古埃及法老胡夫的陵墓,被誉为“世界古代七大奇迹之一”,金字塔的高与底面的边长之比也接近黄金分割．埃菲尔铁塔、圣彼得大教堂、巴黎圣母院等西方经典建筑中都通过黄金分割使其更加庄严雄伟又具神秘色彩．从古至今,人类对美的追求有着共通的成分,验证了黄金分割比的天然合理性．

5.4 黄金分割在自然界中的应用

在自然界中,黄金分割更是神奇地存在．

我国是世界上天文学发展最早的国家之一．世界上最早的星表之一——我国的《石式星经》确定了赤道坐标体系与黄道倾角．东汉天文学家张衡、唐代的徐昂、元代数学家郭守敬等人通过不同方式的计算得出黄道面与赤道面夹角的数值之比为黄金比例[7]．

植物种子的排列也与这个神秘的数有关,向日葵种子的排列由逆时针的螺旋线和顺时针的螺旋线构成．仔细观察向日葵种子螺旋线数目,会惊喜地发现顺时针有34条,逆时针55条,两者之比约等于0.618．在松果、菠萝中也存在这样的比例．这能使植物在有限的空间中开出足够多的花并结出足够多的种子．在漫长的进化过程中,自然选择让向日葵有了可以用黄金分割来解释的数学之美．树枝的分叉、树叶的脉络中也黄金比例的出现．鹦鹉螺身上每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径之比、昆虫身上的分节竟然也符合黄金分割．蜗牛壳、海螺壳、玫瑰花、龙卷风与旋涡中的螺线,也是美丽的黄金螺旋线(图26)．哪怕在人类世界,人从胚胎、婴儿、孩童到成年的发育时间,也遵循着黄金分割．养生学家发现,动和静也应有黄金比例,大致四分动六分静才是较佳养生之法．

图26 自然界中的黄金螺线

5.5 “黄金分割”在生产生活中的应用

日常生活中所见到的书籍、报刊等的形状通常是黄金矩形．甚至连火柴盒、国旗的长宽比例都恪守黄金比例．在音乐会上,主持人在舞台上的最佳位置,是舞台宽度的0.618之处．拍摄照片时,照片的默认比例16∶9或4∶3也与黄金比例相近．建造旋转楼梯时,会按照黄金螺旋线来设计．设计师设计LOGO时也会使用黄金分割使其具有艺术感．生活中的黄金分割无处不在．

我国著名数学家华罗庚先生在20世纪70年代推广的优选法与黄金分割密切相关,因其简洁高效被运用电子、机械、化工、石油、交通运输、粮食加工等多个领域.在优选时将尝试点放在黄金分割点上寻找最优选择,也称为黄金分割法．优选法以较少的试验次数,找到合理的组合方案、合适的工艺条件．黄金分割不仅给人带来美的感受,也符合自然界中的许多规律,又与现实生活深深交织在一起.黄金分割更是数学的密码,蕴含着丰富的跨学科知识,已成为提升学生数学核心素养的重要数学素材．