基于生活情境 研讨问题转化 探索知识框图——以苏科版“锐角三角函数”章首课为例*

张晓兵

(江苏省苏州高新区实验初级中学 215151)

1 引言

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:“教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体．在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系．一方面了解数学知识的产生和来源、结构与关联、价值与意义,了解课程内容和教学内容的安排意图;另一方面强化对数学本质的理解,关注数学概念的现实背景,引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发,建立起有意义的知识结构．”[1]

初中数学章起始课是一章正式授课的第1节课,通常借助章头图、章引言、章节第1节内容,围绕全章的单元框架展开,对全章学习的内容、方法等要素进行主线梳理,是承载整章学习内容的先导课．章起始课旨在帮助学生对知识背景、内容结构、逻辑顺序、应用方向等形成初步认识,为章节学习活动奠定基调,并与章中课、章小结课共同构成完整的教学过程,是教学中重要的组成部分．

《锐角三角函数》这一章节是在学生已经研究了一次函数、反比例函数、二次函数及三角形相似的基础上进行的．苏科版教材中此章的章引言部分主要设计的是研究“气球的高度”“大坝坝底的宽度”“用不同的办法测量旗杆的高度”等,教材中给出的情境离学生的生活较远,同时情境之间缺少联系,这一方面增加了学生的认知负荷,另一方面也难以帮助学生形成系统的认知经验[2]．

数学要接近学生的生活实际,章起始课的设计,尤其是情境引入环节要贴近学生的生活,就在学生身边,这样才会引起共鸣．基于此,笔者就从学生在校园内常遇到的生活情境入手,利用问题串逐步探索与本章相关的内容,不断唤起前后联系,借旧知类比思索新知构成,逐步构成知识框架和研究框图．

2 教学过程

基于以上的学情分析和教情分析,将本节课的教学目标确定如下:(1)通过观察生活中不同的斜坡,明确用坡角或坡度来描述斜坡的倾斜程度;(2)通过观察并研究斜坡的倾斜程度,探索锐角三角函数的概念;(3)了解锐角三角函数与相似、函数等相关知识的联系,构建知识框图,感悟知识生成,提升数学学习能力．

本节课的教学重点是锐角三角函数知识框图的构建,教学难点是直角三角形中锐角的度数与边的比值之间的对应关系．

2.1 创设研究情境

情境1 生活体会——斜坡平缓与角度相关

师:同学们,我们经常看到有同学推行自行车从负一楼的车库到地面,推行时要经过两个不同的斜坡．根据你们的生活经验和现场观察,推行自行车经过哪一处斜坡会感觉轻松一点?为什么?

生:我是观察斜坡与地面的夹角,发现夹角越大越陡峭、越小越平缓,所以根据估测夹角,发现第一处斜坡平缓一点,感觉会轻松一点．

生:我认为第二处自行车推行会轻松一点,因为第二处可以站在斜坡旁的台阶上推行自行车,所以会轻松一点,第一处斜坡推行时因为无法借力,所以会滑一点．

师:这两位同学从不同的角度说明了在这两处斜坡上推行自行车时的感受.一位同学是从夹角的大小来进行判断,另一位从推行能否借力的体验说出了自己的实际感受.考虑到第二处的斜坡较长,将它分成5段帮助推行,每一段均设计了可以借力的台阶,这是学校充分考虑同学们的推行难度而进行的人性化设计,这正契合我校所提倡的要培养有温度的人．如果只从数学的角度研究这两个斜坡的平缓程度,我们发现可以借助斜坡与地面的夹角的大小来判定和描述．(板书:倾斜程度——角度相关)

情境2 对比观察——测量夹角可以通过平移实现

师:美丽的校园中处处都有我们想研究的场景,同学们说说看,我们的校园里还能看到什么可供研究的倾斜现象?

生:课前我们在校园里进行观察,发现了许多的倾斜现象．譬如不同的台阶呈现的倾斜现象、栏杆呈现的倾斜现象、房屋屋顶呈现的倾斜现象……

师:对比观察不同的斜坡,它们的倾斜程度如何判断?你准备怎样研究?请在小组内先进行交流,然后进行全班展示．

生:用量角器量一下斜坡坡面与地面的夹角的度数．

生:有时发现量取夹角有困难,我们可以通过添加平行线来平移角．

情境3 探索发现——台阶的倾斜程度与比值相关

师:我沿着台阶往上走,这个台阶呈现出来的倾斜程度如何去研究?

生:取其中一段台阶进行研究．

生:台阶底座的倾斜程度就是台阶的倾斜程度．

师:这张图片是运动场旁边的台阶,你能确定这个台阶底座的倾斜程度吗?(出示图片,略)

(学生们轰然一笑)

生:无法确定．

生:可以借助工具来研究,譬如用测角仪．

师:如果我只有一把刻度尺,如何研究?

生:可以度量一级台阶的水平宽度和竖直高度,可以用竖直高度与水平宽度的比值来描述斜坡的倾斜程度．(板书:倾斜程度与比值相关)

设计意图通过研究校园内的斜坡和台阶的倾斜程度,学生体会到生活中数学处处存在.经历对比,发现倾斜程度与角度或比值相关,从而链接起角度与比值的对应关系．

2.2 提炼生成概念

师:我们发现斜坡的倾斜程度与角度有关,也与相关的比值有关,那么角度和比值之间会有怎样的关系?

生:我们先研究斜坡与地面的夹角和竖直高度与水平宽度的比值之间的联系．

生:我进行了对比研究,度量了两个不同台阶这几个量的数据,并进行了计算,发现两个台阶,当它们的夹角角度相同时,竖直高度与水平宽度的比值也相同．

生:我同样测量了两个不同台阶的数据,经过计算图1和图2的数据并根据相似的相关知识,发现夹角角度较大时,对应的比值也大,夹角角度较小时,对应的比值也相应较小．

图1

生:我通过研究,发现夹角度数确定时,对应的比值也唯一确定．结合刚刚几位同学的说法,我发现夹角的度数和相对应的比值呈现一种函数关系,但是这个函数和以前我们学过的函数有区别．

师:同学们通过测量和计算,发现斜坡与地面的夹角和竖直高度与水平宽度的比值有关系,请借助直角三角形(图3),来研究它们之间是否具有函数关系.

图3

生:前面我们学过了函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每个值,y都有唯一的值与它对应,就可以称y是x的函数．

生:根据函数的定义,我们发现在Rt△ABC中∠C=90°,∠A的度数和∠A的对边与邻边的比值之间满足函数关系．

师:这就是本章要学习的正切函数,详细的研究过程我们后续进行,再请同学们观察并研究,这个直角三角形中类似的关系还有吗?

学生按照小组进行研究并讨论．

生:我们小组发现,这个直角三角形中,从∠A的角度出发,这个直角三角形的三边长分别是它的对边、邻边、斜边,两两之间的比有6种.所以我们认为有6个比值与∠A之间存在函数关系．

生:从∠B的角度出发,也有类似的发现．

师:直角三角形中当∠A确定时,这6个比值确定吗?

生:确定．反过来,这6个比值中,只要有一个比值确定,那对应的∠A的度数也确定．

生:只要直角三角形的锐角度数确定,我们会找到很多的相似三角形,由相似的性质,三边比值确定．

师:当锐角大小变化时,任意两边的比值也会随之变化吗?可以利用哪些知识帮助我们解决?

生:会变,利用相似帮助我们解决．

师:小结一下,我们发现,在直角三角形中有两个变量,一个是角度、一个是比值;当角度发生变化时,对应的比值也随之发生变化,当角度确定时,对应的比值有唯一确定的值与它对应．它们是一个对应的关系,我们称之为锐角三角函数,具体的内容我们将在后续学习时一一讲解．

设计意图让学生在情境引入中收获对锐角和比值之间对应关系的初步感知,再在研究过程中发现可以借助直角三角形进行研究,经历“角度和比值相同—角度不同但水平宽度或竖直高度相同—角度不同且水平宽度和竖直高度也不同”的研究,通过相似三角形逐步体会到锐角角度和比值之间的函数关系,进而引出锐角三角函数的定义．经历概念提炼的过程,逐步提升对本章研究主体——锐角三角函数的进一步认知,对本章的研究重点及关键点有了更深刻的认识．

2.3 构建知识框图

师:我们前面已经研究过函数、正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数,请你根据前面研究的经验,思考本章可能会研究哪些方面的内容,并形成结构框图．

生:结合已学的函数知识,以及本节课所学,我们绘制了如图4的知识框图．

图4

设计意图章起始课既是为了引入章节学习,明确知识基础、学情基础,也要起到引领的作用.通过章起始课的学习,明确本章学习的基本方向及其延伸趋势．本节课让不同的学生根据自己的思考绘制思维导图,既起到承前启后的作用,也通过章起始课的学习提升单元教学的统整和统领作用．

2.4 课堂小结(略)

3 教学感悟

3.1 基于问题情境,渗透模态学习

初中数学学科教学应致力于学习方式的转变,倡导积极主动、勇于探索的学习方式,让学生通过不同的自主学习、探索活动来体验数学的发现与创造的历程,发展他们的创新意识,让学生的数学学习活动成为一个灵动的、主动的和富有个性的过程．这就需要在平时的数学教学过程中,创设符合学生认知的数学问题情境.情境的创设要贴近学生生活,本节课通过创设问题情境——探究在不同斜坡上推行自行车和研究校园内不同台阶呈现的倾斜程度,让学生经历“观察—发现—测量—探究”,用不同模态呈现知识,从而提出情境背后的联系和发现,并通过模态呈现、模式发现、模型解决,探求一种能让学生“数学地”解决数学问题的策略与方法．同时经历“数学之观”“数学之作”“数学之思”,让数学教学实现情境模态化、表达模态化、反馈模态化．

3.2 研讨问题转化,提升认知水平

初中数学教学过程中,应基于学生的已有认知水平进行教学设计,培养学生的数学观察力、数学探究能力和创新能力,以实现学生高认知水平提升．在学习锐角三角函数之前,学生已经对函数部分有了较为清晰的认识,但是锐角三角函数与前面学习的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数既有类似,也有区别．我们要找到其中的共性进行设计,引发类比、转化等数学思想方法的渗透,同时也要抓住个性问题进行突破,寻脉络、扣关键,抓住知识的生成培养学生高认知水平．这样的教学实践依托新课程标准和认知学习理论,立足于学生高认知水平的提升,强调对数学本质的认识,注重提高学生的数学思维能力和创造力,推进学生数学素养的形成．

3.3 探索知识框图,优化认知结构

初中数学章起始课教学可以优化学生数学学习的认知结构．章起始课教学具有“先行组织者”的作用,拉长知识的“生长链”符合学生认知发展规律,优化学生的认识结构．其中探索知识框图的构建,更是促进学生由 点连线、以线联面的问题提炼和知识总结的能力．本节课中让学生对研究内容进行回忆、反思、小结、反馈,并绘制思维导图,从而让课堂教学引发的思考得以延续和深入,尤其是知识统整时,让学生系统化地认识这一章节,让学习内容系统化,有助于学生建立知识框架,更深刻地理解本章节内容．

初中数学章起始课教学可以让学生享受完整的数学学习过程,这符合课程标准所倡导的“数学知识的教学,要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’,把每堂课教学的知识置于整体知识体系中”这一教学理念[3],打破了常规教学中只重视单个知识点、限制学生视野的状况,旨在挖掘知识与方法的关联性,指导学生构建知识体系,规划研究路径,寻找研究方法．