基于“四基四能”教学 探索数学育人路径——以一节几何专题复习课为例*

何 萍

(浙江省温州市第三十中学 325019)

胡瞿博

(浙江省乐清市城南中学 325600)

对于一线教师而言,推进立德树人目标落地的突破口在于强化学科教学的育人功能[1].数学式立德树人要以数学的方式开展育人活动,即在一般观念的引领下,通过数学活动,让学生学会思维,并由理性思维逐步走向理性精神,体验情感、态度、价值观,发展数学素养,成为一个真正的理性人,由此实现立德树人的教育目标.

基于“四基四能”的教学是实现学科立德树人目标的必由路径.“四基”强调了数学内容的本质联系,促进学生领悟数学思想和积累数学活动经验并进行条理化,有利于获得主观性体验和感悟.“四能”更重视问题的发现,通过让学生经历科学探索的过程,培养他们用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界,有利于发展创新性和实践性能力.从“四基”到“四能”,是实现“三会”的核心教学线索.2022年5月,笔者受邀送教龙港,与学生共同演绎了一节基于“四基四能”的数学课,现与读者交流分享.

1 “四基四能”教学实践:由条件看结果——从一个矩形说起

1.1 教学立意

传统几何专题复习课一般是训练基本技能让学生运用各种基本图形的性质证明结论、求解答案,至于这个问题是怎么发现、提出的,常常不愿花时间让学生去探讨.而“四能”教学立足于问题发现、提出、分析、解决的全过程,引导学生在具体的情境中用数学的眼光去观察现象、发现问题,用数学的语言进行数学抽象,用数学的思维方式分析问题,用数学的方法解决问题.这个过程不仅促进了学生“四基”的发展,而且在数学交流与表达、主动运用数学的意识与态度上加强了数学学习的情感体验,融入了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学素养的培育,有利于“三会”能力的发展.矩形是初中几何里重要的基本图形,包含了等腰三角形和直角三角形的图形结构.选取矩形为背景,能体现出对等腰三角形、直角三角形、轴对称、旋转等初中主要几何知识的综合考查.

1.2 教学目标

(1)通过经历由条件发现和提出数学问题的过程,认识几何图形性质的本质,积累从特例中发现和提出问题的活动经验,发展数学抽象和数学建模素养;(2)通过解决问题,复习运用相似、三角函数、等腰三角形性质、直角三角形性质、轴对称性质、旋转性质等知识,培养分解图形、运用基本图形解决问题的能力,发展空间观念;(3)通过运用科学的方法经历探索过程,发展数学推理能力,践行科学精神,体验真善美,发展唯物主义辩证观.

1.3 教学实施

·如何发现和提出数学问题?

情境1如图1,矩形ABCD中,AB=4,点E是边AD的中点,点F是对角线BD上一动点,∠ADB=30°,连接EF.

图1

(1)明确研究对象

师:观察点F运动的路径,在这个范围内,哪些量不变?哪些量改变?把不变的结论求出来．

学生交流后得到:不变的量有△ABD、△BDC、矩形ABCD的内角、边长、面积、周长,变量有线段EF,DF,BF的长,∠EFD,∠DEF,∠AEF,∠EFB的大小,线段EF与BD(AD)的位置关系.

师:你选择哪些变量为研究对象?你是如何选择的?

学生讨论后得到以下结论:∠EFD,∠DEF,∠AEF,∠EFB有关联,所以研究其中一个角就可以研究其余的角;四边形ABFE和△EFD有关联,研究其中一个图形就可以研究另一个图形;线段DF和线段BF的和为定值,所以研究其中一条线段就可以研究另一条线段;这些变量都与线段EF有关.

经过充分的交流后,学生将研究对象聚焦到“随线段EF的变化而产生的图形的大小和位置”,随后展开后续学习.

(2)发现和提出问题

师:点F从点D运动到点B,线段EF长度变化的趋势如何?∠EFD变化的趋势如何?四边形ABFE面积变化的趋势如何?你发现哪些特殊情况?你会提出哪些数学问题?

学生交流后得到:线段EF先变小后变大;∠EFD由钝角变到锐角,存在∠EFD是直角的特殊位置,∠FED由锐角变到钝角,存在∠FED是直角的特殊位置;△DEF的形状会变化,存在等腰、直角(此时△DEF相似于△DAB)、梯形ABFE的特殊位置;四边形ABFE面积一直在减少.

教学说明 “提出问题的教学”是近年来流行的一种教学方式,但是大部分“提出问题的教学”像一块西瓜皮,滑到哪里算哪里.学生提出的问题没有方向,想到什么就提什么,这样的“提出问题的教学”无利于学生思维的发展.我们更需要在“明确研究对象”上,引导学生积累如何用数学的眼光观察一类事物、在哪些方面提出问题等的数学活动经验.以矩形为背景,让学生经历“观察变化-分析变量-选择对象-聚焦性质-发现特例-提出问题”的数学活动过程,充分体验数学问题是怎么产生的;明确“研究几何图形性质就是研究图形相关要素之间的位置关系和数量关系”,可以在“图形相关要素之间特殊的位置关系和数量关系”上提出数学问题.由此引申、归纳平面几何的一般研究内容和方法.这样的学习才有价值.

·如何发现解决问题的方法?

情境2如图2,矩形ABCD中,AB=4,点E是边AD的中点,点F是对角线BD上一动点,∠ADB=30°,连接EF.作点D关于直线EF的对称点P,直线EP交BD于点Q.

图2

师:点P运动的路径是什么?

有学生错误地认为点P运动到与点A重合即止(图3).

师追问:你是如何确定点P最终与点A重合的?此时点F的位置在哪里?

学生受到启发,联想点F从点D运动到点B,得到点P的运动路径(图4).

师:点Q运动的路径是什么?

学生观察到点Q运动的路径是线段DB.

师:关注直线EP的变化,在这个过程中,∠EQD变化的趋势如何?线段EQ长度变化的趋势如何?有哪些特殊情况?请提出一个数学问题并解决它.

学生观察到∠EQD一直在变小,线段EQ的长先变小再变大,然后根据特殊情况提出了一些新的问题.课堂上选择了其中的两个问题进行进一步求解.

问题1:若EP⊥BD,求DF的长.

1.2 调查方法 采用自制问卷，调查了解西部地区基层中医师岗位职业能力情况。调查问卷包括了调查对象的一般情况(如性别、年龄、在基层工作时间、健康状况、资格证书等)、岗位职业能力适应情况。岗位适应情况调查又包括了工作环境适应能力、人际沟通能力、中医诊疗能力、仪器设备使用操作能力等。由经统一培训的专业调查人员进行预调查，对存在的问题进行修改，问卷最后由专家审核后统一实施现场调查。

有学生错误地只画了点P在矩形内的情况(图5).

图5

师追问:此时点P的位置是唯一的吗?点P的运动路径是什么?

学生受到启发,补画了点P在矩形外的情况(图6).

当点P在矩形内时(图5),学生给出3种解法:①在顶角为120°的等腰△EFD中求出DF=2; ②解Rt△DEQ和Rt△EQF求出DF=2;③在正△EPD中求出DF=2.当点P在矩形外时(图6),∠DEQ=60°,则∠PED=120°,由对称性得∠PEM=∠DEM=60°,则∠FEQ=60°,得DF=6.

问题2:直线EP交DB于点Q,若△DEQ是锐角三角形,求DF长的取值范围.

图8

教学说明 学生经常错误地认为数学就是解题,教师要有意识地在教学中帮助学生树立正确的学习观和认识观.教师怎么教决定了学生认识事物的态度和方法.以上过程呈现出“问题解决”的完整过程.首先,让学生运用“获得研究对象”的经验去发现和提出问题,随后展开分析问题和解决问题的数学活动.学生运用基础知识和基本技能解决问题时,在“如何获得数学对象—如何研究数学对象—如何应用数学对象”上积累数学活动经验,体验了“研究一个数学对象”的基本思路.这个过程,在获得“四基”中发展了“四能”,在“四能”的数学活动中巩固了“四基”.学生在经历独立探究、合作交流、讨论疑点、辨伪证实的学习过程中,逐步学会用数学的思维去思考世界,用数学的语言去表达世界,发展逻辑推理能力和科学理性思维,形成完整的认识信念,从而学会学习,脱离题海,提高学习效率.

2 立德树人视角下的初中数学“四基四能”教学育人路径

基于“四基四能”的教学,提倡以问题为导向、活动为载体,重视问题解决的全过程,增强了数学活动的实践性和应用性.在开展“三会”活动的空间里,学生独特的数学眼光、反常规的数学思维、不拘一格的数学表达都会得到鼓励和指导,这种数学学习的情感体验让学生成为了一个完整的人,赋予了学生一种具有数学创新意识的秉性,提高了学生数学思维的品质.

2.1 发展育人:从“四基”“四能”到“三会”,发展核心素养

未来教育更加重视人的核心素养与综合技能的提升,致力培养学生的批判思维和创造性思维[2].数学学科以培养理性思维为育人目标,使学生通过数学学习达到“三会”.从“四基”到“四能”再到“三会”,展示出一个明晰的发展学生核心素养的教学线索.“四基”立足于打好数学学习基础,体现出基础性、整合性、结构性;“四能”立足于问题解决活动,体现出情境性、过程性、探索性;“三会”立足于行为养成,体现出实践性、创新性、发展性[3].

本节课以矩形为载体,利用点的运动和轴对称变化,让学生经历数学知识发生发展的过程,在情境中明确研究对象,积累从特殊情况提出问题的经验,养成从本质和结构对几何图形问题进行一般性思考的习惯,并以本质、结构、定理、数学工具为研究基石,不断发现新的几何问题,得出各种各样的定性关系和定量关系.这个知识发生发展的过程体现了数学的思维方式,是数学课堂育人的根基.学生通过自主学习和探索学习,获得数学知识,领悟数学思想,在日积月累、潜移默化中逐步形成数学的思维方式和能力,从而提升数学学科核心素养.

2.2 情感育人:创设自由可见的学习活动,促进生命成长

学校教育最重要的是营造一个良好的外在环境,让孩子内心的成长动力与外在的环境积极地呼应,教师的作用就是去激发它、保护它,让每一个孩子都像一颗正常发育的种子一样,有内在的生命张力,吸收土壤、水、阳光和空气,慢慢长成他自己.以“自由可见”的学习方式让学生积极参与到课堂学习中,让学生的数学学习更加适合他自己.

教师以两个核心问题“如何提出数学问题”“如何探寻解决问题的方法”主导数学学习,开展独立思考、合作交流、自主解决、交流表达、评价议疑等数学活动.教师是引导者、组织者,在学生学习疑难处和学习关键处时及时出手.以驱动性问题明晰数学活动的目的和方向,以追问引导启发对知识本质的思考,让学生有所发现、有所感悟.采取“学、教一致”的方式,让教学活动服从于学生学习的需要,服务于学生学习的需要,体现了“以学生为本”的教育思想.

“自由学习”给每个孩子的生命成长创造了各种可能性,“可见的学习”以做中学、动手操作、实践体验等方式促进学生思维的内化,教师支持他、引导他,培养其讲理的习惯,更好地激发了学生学习数学的兴趣和自信,有助于学生树立积极的人生观和世界观,做一个讲道理、明事理、守规则的人.

2.3 导向育人:渗透数学的文化价值,发展科学理性精神

就本质而言,数学的文化价值主要体现为理性探索精神,数学的理性精神之根本就是求真、求善、求美[4].遵循数学理性探索精神的原则,面对学生的学习难点和疑点,不批评、不嘲笑,而是积极鼓励学生发表看法,面对困难时不断反思,完善自己的认知结构.从数学家们研究问题的角度设计问题链是进行数学文化教育的有效途径.通过类比、联想、特殊化、一般化等思维活动发现和提出数学问题、形成研究思路、找到研究方法,以数学家研究问题的基本规范展开数学学习,以理性探索精神指导实践行为,让学生在数学学习过程中获得真、善、美,这也是数学学科立德树人的核心.

本节课引导学生体验研究一个几何对象的内容、过程、方法等,注重数学的整体性、思想的一致性、逻辑的连贯性和思维的系统性,体现了“数学的方式”,让学生从证伪到证实,逐步猜想和发现,不断检验和修正,感悟问题的核心和问题之间的联系,并学会演绎地证明[5],对促进学生学会学习、感悟数学家们创新思维中的文化基因大有裨益,有益于发展其科学理性精神.